Análisis multivariante de varianza

En estadística , el análisis de varianza multivariable ( MANOVA ) es un procedimiento para comparar medias de muestras multivariables . Como procedimiento multivariable, se utiliza cuando hay dos o más variables dependientes , ^[1] y suele ir seguido de pruebas de significación que involucran variables dependientes individuales por separado. ^[2]

Sin relación con la imagen, las variables dependientes pueden ser k puntuaciones de satisfacción con la vida medidas en puntos temporales secuenciales y p puntuaciones de satisfacción laboral medidas en puntos temporales secuenciales. En este caso hay k+p variables dependientes cuya combinación lineal sigue una distribución normal multivariada, homogeneidad de matriz de varianza-covarianza multivariada y relación lineal, sin multicolinealidad y sin valores atípicos.

Supongamos que las observaciones son de dimensión 1, donde la observación 'ésima se asigna al grupo y se distribuye alrededor del centro del grupo con ruido gaussiano multivariado : donde es la matriz de covarianza . Luego formulamos nuestra hipótesis nula como ${\textstyle n}$ ${\textstyle q}$${\textstyle i}$${\textstyle y_{i}}$${\textstyle g(i)\en \{1,\puntos ,m\}}$${\textstyle \mu ^{(g(i))}\in \mathbb {R} ^{q}}$$${\displaystyle y_{i}=\mu ^{(g(i))}+\varepsilon _{i}\quad \varepsilon _{i}{\overset {\text{iid}}{\sim }}{\mathcal {N}}_{q}(0,\Sigma )\quad {\text{ para }}i=1,\dots ,n,}$$${\textstyle\Sigma}$$${\displaystyle H_{0}\!:\;\mu ^{(1)}=\mu ^{(2)}=\dots =\mu ^{(m)}.}$$

MANOVA es una forma generalizada de análisis de varianza univariado (ANOVA), ^[1] aunque, a diferencia del ANOVA univariado , utiliza la covarianza entre las variables de resultado para probar la significancia estadística de las diferencias de medias.

Donde en el análisis de varianza univariado aparecen sumas de cuadrados , en el análisis de varianza multivariado aparecen ciertas matrices definidas positivas . Las entradas diagonales son los mismos tipos de sumas de cuadrados que aparecen en el ANOVA univariado. Las entradas fuera de la diagonal son sumas de productos correspondientes. Bajo supuestos de normalidad sobre distribuciones de error , la contraparte de la suma de cuadrados debido al error tiene una distribución de Wishart .

Primero, defina las siguientes matrices: ${\textstyle n\times q}$

• ${\textstyle Y}$:donde la fila -ésima es igual a${\textstyle i}$${\textstyle y_{i}}$

• ${\textstyle {\hat {Y}}}$: donde la fila -ésima es la mejor predicción dada la pertenencia al grupo . Es decir, la media de todas las observaciones del grupo : .${\textstyle i}$${\textstyle g(i)}$${\textstyle g(i)}$${\textstyle {\frac {1}{{\text{tamaño del grupo}}g(i)}}\sum _{k:g(k)=g(i)}y_{k}}$

• ${\textstyle {\bar {Y}}}$: donde la fila -ésima es la mejor predicción sin información. Es decir, la media empírica de todas las observaciones.${\textstyle i}$${\textstyle n}$${\textstyle {\frac {1}{n}}\sum _ {k=1}^{n}y_ {k}}$

Entonces la matriz es una generalización de la suma de cuadrados explicada por el grupo, y es una generalización de la suma de cuadrados residual . ^{[3] [4]} Nótese que alternativamente también se podría hablar de covarianzas cuando las matrices mencionadas anteriormente se escalan por 1/(n-1) ya que las estadísticas de prueba posteriores no cambian al multiplicar y por la misma constante distinta de cero. ${\textstyle S_{\text{modelo}}:=({\sombrero {Y}}-{\bar {Y}})^{T}({\sombrero {Y}}-{\bar {Y}} )}$${\textstyle S_{\text{res}}:=(Y-{\hat {Y}})^{T}(Y-{\hat {Y}})}$ ${\textstyle S_{\text{modelo}}}$${\textstyle S_{\text{res}}}$

Las estadísticas más comunes ^{[3] [5]} son ​​resúmenes basados ​​en las raíces (o valores propios) de la matriz.${\textstyle \lambda _{p}}$${\textstyle A:=S_{\text{modelo}}S_{\text{res}}^{-1}}$

• Samuel Stanley Wilks ' distribuido como lambda (Λ)${\displaystyle \Lambda _{\text{Wilks}}=\prod _{1,\ldots ,p}(1/(1+\lambda _{p}))=\det(I+A)^{-1}=\det(S_{\text{res}})/\det(S_{\text{res}}+S_{\text{modelo}})}$
• el rastro de KC Sreedharan Pillai – MS Bartlett , ^[6]${\displaystyle \Lambda _{\text{Pillai}}=\sum _{1,\ldots ,p}(\lambda _{p}/(1+\lambda _{p}))=\operatorname {tr} (A(I+A)^{-1})}$
• el rastro Lawley- Hotelling ,${\displaystyle \Lambda _{\text{LH}}=\sum _{1,\ldots ,p}(\lambda _{p})=\operatorname {tr} (A)}$
• La raíz más grande de Roy (también llamada la raíz más grande de Roy ),${\displaystyle \Lambda _{\text{Roy}}=\max _{p}(\lambda _{p})}$

La discusión continúa sobre los méritos de cada una de ellas, ^[1] aunque la raíz más grande sólo conduce a un límite de significación que no suele tener interés práctico. Una complicación adicional es que, a excepción de la raíz más grande de Roy, la distribución de estas estadísticas bajo la hipótesis nula no es sencilla y sólo se puede aproximar excepto en unos pocos casos de baja dimensión. En ^[7] se derivó un algoritmo para la distribución de la raíz más grande de Roy bajo la hipótesis nula , mientras que en ^[8] se estudia la distribución bajo la alternativa.

La aproximación más conocida para lambda de Wilks fue derivada por CR Rao .

En el caso de dos grupos, todas las estadísticas son equivalentes y la prueba se reduce al cuadrado T de Hotelling .

También se puede comprobar si hay un efecto de grupo después de ajustar las covariables. Para ello, siga el procedimiento anterior pero sustituya con las predicciones del modelo lineal general , que contiene el grupo y las covariables, y sustituya con las predicciones del modelo lineal general que contiene solo las covariables (y una intersección). Entonces, la suma adicional de cuadrados se explica añadiendo la información de agrupación y es la suma residual de cuadrados del modelo que contiene la agrupación y las covariables. ^[4]${\textstyle {\hat {Y}}}$${\textstyle {\bar {Y}}}$${\textstyle S_{\text{modelo}}}$${\textstyle S_{\text{res}}}$

Tenga en cuenta que en el caso de datos no balanceados, el orden de adición de las covariables importa.

La potencia del MANOVA se ve afectada por las correlaciones de las variables dependientes y por los tamaños del efecto asociados con esas variables. Por ejemplo, cuando hay dos grupos y dos variables dependientes, la potencia del MANOVA es mínima cuando la correlación es igual a la relación entre el tamaño del efecto estandarizado más pequeño y el más grande. ^[9]

• Análisis de varianza permutacional para una alternativa no paramétrica
• Análisis de la función discriminante
• Análisis de correlación canónica
• Análisis multivariado de varianza (Wikiversidad)
• Diseño de medidas repetidas