Distribución T al cuadrado de Hotelling

En estadística , particularmente en pruebas de hipótesis , la distribución T al ^cuadrado de Hotelling ( T² ), propuesta por Harold Hotelling , ^{[ 1 ]} es una distribución de probabilidad multivariante estrechamente relacionada con la distribución F y destaca por surgir como la distribución de un conjunto de estadísticos muestrales que son generalizaciones naturales de los estadísticos subyacentes a la distribución t de Student . El estadístico t al cuadrado de Hotelling ( t² ⁾ es una generalización del estadístico t de Student que se utiliza en pruebas de hipótesis multivariantes . ^{[ 2 ]}

La distribución surge en estadística multivariante al realizar pruebas de diferencias entre las medias (multivariantes) de diferentes poblaciones, mientras que las pruebas para problemas univariantes utilizarían una prueba t . La distribución recibe su nombre de Harold Hotelling , quien la desarrolló como una generalización de la distribución t de Student . ^{[ 1 ]}

Si el vector ${\displaystyle d}$ es una distribución multivariada gaussiana con media cero y matriz de covarianza unitaria${\displaystyle N(\mathbf {0} _{p},\mathbf {I} _{p,p})}$y${\displaystyle M}$es un${\displaystyle p\times p}$matriz aleatoria con una distribución de Wishart${\displaystyle W(\mathbf {I} _{p,p},m)}$con una matriz de escala unitaria y m grados de libertad , y d y M son independientes entre sí, entonces la forma cuadrática${\displaystyle X}$tiene una distribución de Hotelling (con parámetros${\displaystyle p}$y${\displaystyle m}$): ^{[ 3 ]}$${\displaystyle X=md^{T}M^{-1}d\sim T^{2}(p,m).}$$

Se puede demostrar que si una variable aleatoria X tiene la distribución T al cuadrado de Hotelling ,${\displaystyle X\sim T_{p,m}^{2}}$, entonces: ^{[ 1 ]}$${\displaystyle {\frac {m-p+1}{pm}}X\sim F_{p,m-p+1}}$$ dónde${\displaystyle F_{p,m-p+1}}$es la distribución F con parámetros p y m − p + 1.    

Dejar${\displaystyle {\hat {\mathbf {\Sigma } }}}$sea ​​la covarianza de la muestra :

$${\displaystyle {\hat {\mathbf {\Sigma } }}={\frac {1}{n-1}}\sum _{i=1}^{n}\left(\mathbf {x} _{i}-{\overline {\mathbf {x} }}\right)\left(\mathbf {x} _{i}-{\overline {\mathbf {x} }}\right)'}$$

donde denotamos la transposición con un apóstrofo . Se puede demostrar que${\displaystyle {\hat {\mathbf {\Sigma } }}}$es una matriz (semi)definida positiva y${\displaystyle (n-1){\hat {\mathbf {\Sigma } }}}$sigue una distribución de Wishart p -variada con n − 1 grados de libertad. ^{[ 4 ]} La matriz de covarianza muestral de la media es:  ${\displaystyle {\hat {\mathbf {\Sigma } }}_{\overline {\mathbf {x} }}={\hat {\mathbf {\Sigma } }}/n}$. ^{[ 5 ]}

El estadístico t -cuadrado de Hotelling se define entonces como: ^{[ 6 ]}

$${\displaystyle t^{2}=({\overline {\mathbf {x} }}-{\boldsymbol {\mu }})'{\hat {\mathbf {\Sigma } }}_{\overline {\mathbf {x} }}^{-1}({\overline {\mathbf {x} }}-{\boldsymbol {\mathbf {\mu } }})=n({\overline {\mathbf {x} }}-{\boldsymbol {\mu }})'{\hat {\mathbf {\Sigma } }}^{-1}({\overline {\mathbf {x} }}-{\boldsymbol {\mathbf {\mu } }}),}$$

que es proporcional a la distancia de Mahalanobis entre la media de la muestra y${\displaystyle {\boldsymbol {\mu }}}$. Por este motivo, cabe esperar que la estadística tome valores bajos si${\displaystyle {\overline {\mathbf {x} }}\approx {\boldsymbol {\mu }}}$y valores altos si son diferentes.

De la distribución ,

$${\displaystyle t^{2}\sim T_{p,n-1}^{2}={\frac {p(n-1)}{np}}F_{p,np},}$$

dónde${\displaystyle F_{p,np}}$es la distribución F con parámetros p y n  − p . 

Para calcular un valor p (no relacionado con la variable p aquí), tenga en cuenta que la distribución de${\displaystyle t^{2}}$equivalentemente implica que

$${\displaystyle {\frac {np}{p(n-1)}}t^{2}\sim F_{p,np}.}$$

Luego, utilice la cantidad del lado izquierdo para evaluar el valor p correspondiente a la muestra, que proviene de la distribución F. También se puede determinar una región de confianza mediante una lógica similar.

Si${\displaystyle {\mathbf {x} }_{1},\dots ,{\mathbf {x} }_{n_{x}}\sim N_{p}({\boldsymbol {\mu }},{\mathbf {\Sigma } })}$y${\displaystyle {\mathbf {y} }_{1},\dots ,{\mathbf {y} }_{n_{y}}\sim N_{p}({\boldsymbol {\mu }},{\mathbf {\Sigma } })}$, con las muestras extraídas independientemente de dos distribuciones normales multivariadas independientes con la misma media y covarianza, y definimos

$${\displaystyle {\overline {\mathbf {x} }}={\frac {1}{n_{x}}}\sum _{i=1}^{n_{x}}\mathbf {x} _{i}\qquad {\overline {\mathbf {y} }}={\frac {1}{n_{y}}}\sum _{i=1}^{n_{y}}\mathbf {y} _{i}}$$

como medias de muestra, y

$${\displaystyle {\begin{aligned}{\hat {\mathbf {\Sigma } }}_{\mathbf {x} }&={\frac {1}{n_{x}-1}}\sum _{i=1}^{n_{x}}\left(\mathbf {x} _{i}-{\overline {\mathbf {x} }}\right)\left(\mathbf {x} _{i}-{\overline {\mathbf {x} }}\right)'\\{\hat {\mathbf {\Sigma } }}_{\mathbf {y} }&={\frac {1}{n_{y}-1}}\sum _{i=1}^{n_{y}}\left(\mathbf {y} _{i}-{\overline {\mathbf {y} }}\right)\left(\mathbf {y} _{i}-{\overline {\mathbf {y} }}\right)'\end{aligned}}}$$

como las respectivas matrices de covarianza de muestra. Entonces

$${\displaystyle {\hat {\mathbf {\Sigma } }}={\frac {(n_{x}-1){\hat {\mathbf {\Sigma } }}_{\mathbf {x} }+(n_{y}-1){\hat {\mathbf {\Sigma } }}_{\mathbf {y} }}{n_{x}+n_{y}-2}}}$$

es la estimación insesgada de la matriz de covarianza combinada (una extensión de la varianza combinada ).

Finalmente, el estadístico t- cuadrado de dos muestras de Hotelling es

$${\displaystyle t^{2}={\frac {n_{x}n_{y}}{n_{x}+n_{y}}}({\overline {\mathbf {x} }}-{\overline {\mathbf {y} }})'{\hat {\mathbf {\Sigma } }}^{-1}({\overline {\mathbf {x} }}-{\overline {\mathbf {y} }})\sim T^{2}(p,n_{x}+n_{y}-2)}$$

• Prueba t de Student en estadística univariada
• Distribución t de Student en la teoría de probabilidad univariada
• Distribución t de Student multivariada
• Distribución F (comúnmente tabulada o disponible en bibliotecas de software, y por lo tanto utilizada para probar la estadística T -cuadrada utilizando la relación dada anteriormente).
• Distribución lambda de Wilks (en estadística multivariante , la Λ de Wilks es a ^la T² de Hotelling como la F de Snedecor es a la t de Student en estadística univariante).

• Prokhorov, AV (2001) [1994], Distribución T2 " Distribución T2 ^{de Hotelling "} , Enciclopedia de Matemáticas , EMS Press