Red multidimensional

En teoría de redes , las redes multidimensionales , un tipo especial de red multicapa , son redes con múltiples tipos de relaciones. ^{[1] [2] [3] [4] [5] [6] [7]} Los intentos cada vez más sofisticados de modelar sistemas del mundo real como redes multidimensionales han producido información valiosa en los campos del análisis de redes sociales , ^{[3] [4 ] [8] [9] [10] [11] [12] economía,} transporte urbano e internacional , ^{[13] [14] [15]} ecología , ^{[16] [17] [18] [19]} psicología, ^{[20] [21]} medicina, biología, ^[22] comercio, climatología, física, ^[23] neurociencia computacional , ^{[24] [25] [26] [27]} gestión de operaciones y finanzas.

La rápida exploración de redes complejas en los últimos años se ha visto afectada por la falta de convenciones de nomenclatura estandarizadas, ya que varios grupos utilizan terminología superpuesta y contradictoria ^{[28] [29]} para describir configuraciones de red específicas (por ejemplo, multiplex, multicapa, multinivel, multidimensional, multirelacional, interconectada). Para aprovechar al máximo la información del conjunto de datos sobre la naturaleza direccional de las comunicaciones, algunos autores consideran solo redes directas sin etiquetas en los vértices e introducen la definición de multigrafos etiquetados en los bordes que pueden cubrir muchas situaciones multidimensionales. ^[30] El término "totalmente multidimensional" también se ha utilizado para referirse a un multigrafo multipartito etiquetado en los bordes. ^[31] Las redes multidimensionales también se han reformulado recientemente como instancias específicas de redes multicapa. ^{[1] [5] [6] [32]} En este caso, hay tantas capas como dimensiones, y los enlaces entre los nodos dentro de cada capa son simplemente todos los enlaces para una dimensión dada.

En la teoría de redes elementales, una red se representa mediante un gráfico en el que se encuentra el conjunto de nodos y los vínculos entre nodos, normalmente representados como una tupla de nodos . Si bien esta formalización básica es útil para analizar muchos sistemas, las redes del mundo real a menudo tienen una complejidad añadida en forma de múltiples tipos de relaciones entre los elementos del sistema. Una formalización temprana de esta idea se produjo a través de su aplicación en el campo del análisis de redes sociales (véase, por ejemplo, ^[33] y artículos sobre álgebras relacionales en redes sociales) en el que múltiples formas de conexión social entre personas se representaban mediante múltiples tipos de vínculos. ^[34]${\displaystyle G=(V,E)}$${\displaystyle V}$${\displaystyle E}$${\displaystyle u,v\in V}$

Para dar cabida a la presencia de más de un tipo de enlace, una red multidimensional se representa mediante una tripleta , donde es un conjunto de dimensiones (o capas), cada miembro de las cuales es un tipo diferente de enlace, y consta de tripletas con y . ^[6]${\displaystyle G=(V,E,D)}$${\displaystyle D}$${\displaystyle E}$${\displaystyle (u,v,d)}$${\displaystyle u,v\in V}$${\displaystyle d\in D}$

Nótese que, como en todos los gráficos dirigidos , los vínculos y son distintos. ${\displaystyle (u,v,d)}$${\displaystyle (v,u,d)}$

Por convención, la cantidad de vínculos entre dos nodos en una dimensión determinada es 0 o 1 en una red multidimensional. Sin embargo, la cantidad total de vínculos entre dos nodos en todas las dimensiones es menor o igual a . ${\displaystyle |D|}$

En el caso de una red ponderada , este triplete se expande a un cuadruplete , donde es el peso en el enlace entre y en la dimensión . ${\displaystyle e=(u,v,d,w)}$${\displaystyle w}$${\displaystyle u}$${\displaystyle v}$${\displaystyle d}$

Además, como suele ser útil en el análisis de redes sociales, los pesos de los vínculos pueden adoptar valores positivos o negativos. Estas redes con signos pueden reflejar mejor las relaciones como la amistad y la enemistad en las redes sociales. ^[31] Alternativamente, los signos de los vínculos pueden representarse como dimensiones en sí mismas, ^[35] por ejemplo, donde y Este enfoque tiene un valor particular cuando se consideran redes no ponderadas. ${\displaystyle G=(V,E,D)}$${\displaystyle D=\{-1,0,1\}}$${\displaystyle E=\{(u,v,d);u,v\in V,d\in D\}}$

Esta concepción de dimensionalidad se puede ampliar si es necesario especificar atributos en múltiples dimensiones. En este caso, los enlaces son n -tuplas . Una formulación ampliada de este tipo, en la que los enlaces pueden existir dentro de múltiples dimensiones, es poco común, pero se ha utilizado en el estudio de redes multidimensionales que varían en el tiempo . ^[36]${\displaystyle e=(u,v,d_{1}\dots d_{n-2})}$

Mientras que las redes unidimensionales tienen matrices de adyacencia bidimensionales de tamaño , en una red multidimensional con dimensiones, la matriz de adyacencia se convierte en un tensor de adyacencia multicapa, una matriz de cuatro dimensiones de tamaño . ^[3] Al usar la notación de índice , las matrices de adyacencia se pueden indicar mediante , para codificar conexiones entre nodos y , mientras que los tensores de adyacencia multicapa se indican mediante , para codificar conexiones entre nodo en capa y nodo en capa . Al igual que en las matrices unidimensionales, los enlaces dirigidos, los enlaces con signo y los pesos se acomodan fácilmente en este marco. ${\displaystyle V\times V}$${\displaystyle D}$${\displaystyle (V\times D)\times (V\times D)}$${\displaystyle A_{j}^{i}}$${\displaystyle i}$${\displaystyle j}$${\displaystyle M_{j\beta }^{i\alpha }}$${\displaystyle i}$${\displaystyle \alpha }$${\displaystyle j}$${\displaystyle \beta }$

En el caso de redes multiplex , que son tipos especiales de redes multicapa donde los nodos no pueden interconectarse con otros nodos en otras capas, una matriz tridimensional de tamaño con entradas es suficiente para representar la estructura del sistema ^{[8] [37]} codificando las conexiones entre nodos y en la capa . ${\displaystyle (V\times V)\times D}$${\displaystyle A_{ij}^{\alpha }}$${\displaystyle i}$${\displaystyle j}$${\displaystyle \alpha }$

En una red multidimensional, los vecinos de un nodo son todos los nodos conectados a través de las dimensiones. ${\displaystyle v}$${\displaystyle v}$

Una ruta entre dos nodos en una red multidimensional se puede representar mediante un vector r en el que la entrada n en r es el número de enlaces atravesados ​​en la dimensión n de . ^[38] Al igual que con el grado de superposición, la suma de estos elementos se puede tomar como una medida aproximada de la longitud de la ruta entre dos nodos. ${\displaystyle =(r_{1},\dots r_{|D|})}$${\displaystyle i}$${\displaystyle i}$${\displaystyle G}$

La existencia de múltiples capas (o dimensiones) permite introducir el nuevo concepto de red de capas , ^[3] propio de las redes multicapa. De hecho, las capas pueden estar interconectadas de tal manera que su estructura pueda ser descrita por una red, como se muestra en la figura.

La red de capas suele estar ponderada (y puede estar dirigida), aunque, en general, los pesos dependen de la aplicación de interés. Un enfoque simple es, para cada par de capas, sumar todos los pesos en las conexiones entre sus nodos para obtener pesos de borde que se pueden codificar en una matriz . El tensor de adyacencia de rango 2, que representa la red subyacente de capas en el espacio, está dado por ${\displaystyle q_{\alpha \beta }}$${\displaystyle \mathbb {R} ^{L\times L}}$

${\displaystyle \Psi _{\delta }^{\gamma }=\sum \limits _{\alpha ,\beta =1}^{L}q_{\alpha \beta }E_{\delta }^{\gamma }(\alpha \beta )}$

donde es la matriz canónica con todos los componentes iguales a cero excepto la entrada correspondiente a la fila y columna , que es igual a uno. Utilizando la notación tensorial, es posible obtener la red (ponderada) de capas a partir del tensor de adyacencia multicapa como . ^[3]${\displaystyle E_{\delta }^{\gamma }(\alpha \beta )}$${\displaystyle \alpha }$${\displaystyle \beta }$${\displaystyle \Psi _{\delta }^{\gamma }=M_{j\delta }^{i\gamma }U_{i}^{j}}$

En una red multidimensional no interconectada, donde no hay enlaces entre capas, el grado de un nodo se representa mediante un vector de longitud . Aquí hay una forma alternativa de denotar el número de capas en redes multicapa. Sin embargo, para algunos cálculos puede ser más útil simplemente sumar el número de enlaces adyacentes a un nodo en todas las dimensiones. ^{[3] [39]} Este es el grado de superposición : ^[4] . Al igual que con las redes unidimensionales, se puede hacer una distinción similar entre enlaces entrantes y enlaces salientes. Si hay enlaces entre capas, la definición anterior debe adaptarse para tenerlos en cuenta, y el grado multicapa se da por ${\displaystyle |D|:\mathbf {k} =(k_{i}^{1},\dots k_{i}^{|D|})}$${\displaystyle |D|}$${\displaystyle L}$ ${\displaystyle \sum _{\alpha =1}^{|D|}k_{i}^{\alpha }}$

${\displaystyle k^{i}=M_{j\beta }^{i\alpha }U_{\alpha }^{\beta }u^{j}=\sum _{\alpha ,\beta =1}^{L}\sum _{j=1}^{N}M_{j\beta }^{i\alpha }}$

donde los tensores y tienen todos los componentes iguales a 1. La heterogeneidad en el número de conexiones de un nodo a través de las diferentes capas se puede tener en cuenta a través del coeficiente de participación. ^[4]${\displaystyle U_{\alpha }^{\beta }}$${\displaystyle u^{j}}$

Cuando se extiende a redes multicapa interconectadas, es decir, aquellos sistemas donde los nodos están conectados a través de capas, el concepto de centralidad se entiende mejor en términos de versatilidad. ^[10] Los nodos que no son centrales en cada capa pueden ser los más importantes para los sistemas multicapa en ciertos escenarios. Por ejemplo, este es el caso donde dos capas codifican diferentes redes con solo un nodo en común: es muy probable que dicho nodo tenga la puntuación de centralidad más alta porque es responsable del flujo de información a través de las capas.

En cuanto a las redes unidimensionales, la versatilidad de los vectores propios se puede definir como la solución del problema de los valores propios dada por , donde se utiliza la convención de suma de Einstein por simplicidad. Aquí, da la generalización multicapa de la centralidad de los vectores propios de Bonacich por nodo por capa. La versatilidad general de los vectores propios se obtiene simplemente sumando las puntuaciones en las distintas capas como . ^{[3] [10]}${\displaystyle M_{j\beta }^{i\alpha }\Theta _{i\alpha }=\lambda _{1}\Theta _{j\beta }}$${\displaystyle \Theta _{j\beta }=\lambda _{1}^{-1}M_{j\beta }^{i\alpha }\Theta _{i\alpha }}$${\displaystyle \theta _{i}=\Theta _{i\alpha }u^{\alpha }}$

En cuanto a su contraparte unidimensional , la versatilidad de Katz se obtiene como la solución de la ecuación tensorial , donde , es una constante más pequeña que el valor propio más grande y es otra constante generalmente igual a 1. La versatilidad general de Katz simplemente se obtiene sumando los puntajes en las capas como . ^[10]${\displaystyle \Phi _{j\beta }=[(\delta -aM)^{-1}]_{j\beta }^{i\alpha }U_{i\alpha }}$${\displaystyle \Phi _{j\beta }=aM_{j\beta }^{i\alpha }\Phi _{i\alpha }+bu_{j\beta }}$${\displaystyle \delta _{j\beta }^{i\alpha }=\delta _{j}^{i}\delta _{\beta }^{\alpha }}$${\displaystyle a}$${\displaystyle b}$${\displaystyle \phi _{i}=\Phi _{i\alpha }u^{\alpha }}$

Para redes unidimensionales, el algoritmo HITS fue introducido originalmente por Jon Kleinberg para calificar páginas web. El supuesto básico del algoritmo es que las páginas relevantes, denominadas autoridades, son señaladas por páginas web especiales, denominadas centros. Este mecanismo puede describirse matemáticamente mediante dos ecuaciones acopladas que se reducen a dos problemas de valores propios. Cuando la red no está dirigida, la autoridad y la centralidad del centro son equivalentes a la centralidad del vector propio. Estas propiedades se conservan mediante la extensión natural de las ecuaciones propuestas por Kleinberg al caso de redes multicapa interconectadas, dadas por y , donde indica el operador de transposición y indican la centralidad del centro y de la autoridad, respectivamente. Al contraer los tensores del centro y de la autoridad, se obtienen las versatilidades generales como y , respectivamente. ^[10]${\displaystyle (MM^{t})_{j\beta }^{i\alpha }\Gamma _{i\alpha }=\lambda _{1}\Gamma _{j\beta }}$${\displaystyle (M^{t}M)_{j\beta }^{i\alpha }\Upsilon _{i\alpha }=\lambda _{1}\Upsilon _{j\beta }}$${\displaystyle t}$${\displaystyle \Gamma _{i\alpha }}$${\displaystyle \Upsilon _{i\alpha }}$${\displaystyle \gamma _{i}=\Gamma _{i\alpha }u^{\alpha }}$${\displaystyle \upsilon _{i}=\Upsilon _{i\alpha }u^{\alpha }}$

PageRank , introducido originalmente para clasificar páginas web, también puede considerarse una medida de centralidad para redes multicapa interconectadas.

Vale la pena señalar que el PageRank puede considerarse como la solución de estado estable de un proceso especial de Markov en la parte superior de la red. Los caminantes aleatorios exploran la red de acuerdo con una matriz de transición especial y su dinámica está regida por una ecuación maestra de caminata aleatoria . Es fácil demostrar que la solución de esta ecuación es equivalente al vector propio principal de la matriz de transición.

Los paseos aleatorios también se han definido en el caso de redes multicapa interconectadas ^[15] y multigrafos con bordes coloreados (también conocidos como redes multiplex). ^[40] Para redes multicapa interconectadas, el tensor de transición que rige la dinámica de los caminantes aleatorios dentro y entre capas está dado por , donde es una constante, generalmente establecida en 0,85, es el número de nodos y es el número de capas o dimensiones. Aquí, podría llamarse tensor de Google y es el tensor de rango 4 con todos los componentes iguales a 1. ${\displaystyle R_{j\beta }^{i\alpha }=rT_{j\beta }^{i\alpha }+{\frac {(1-r)}{NL}}u_{j\beta }^{i\alpha },}$${\displaystyle r}$${\displaystyle N}$${\displaystyle L}$${\displaystyle R_{j\beta }^{i\alpha }}$${\displaystyle u_{j\beta }^{i\alpha }}$

Como su contraparte unidimensional, la versatilidad de PageRank consta de dos contribuciones: una que codifica una caminata aleatoria clásica con tasa y otra que codifica la teletransportación a través de nodos y capas con tasa . ${\displaystyle r}$${\displaystyle 1-r}$

Si lo indicamos por el eigentensor del tensor de Google , que denota la probabilidad en estado estable de encontrar al caminante en el nodo y la capa , el PageRank multicapa se obtiene sumando sobre las capas el eigentensor: ^[10]${\displaystyle \Omega _{i\alpha }}$${\displaystyle R_{j\beta }^{i\alpha }}$${\displaystyle i}$${\displaystyle \alpha }$${\displaystyle \omega _{i}=\Omega _{i\alpha }u^{\alpha }}$

Al igual que muchas otras estadísticas de red, el significado de un coeficiente de agrupamiento se vuelve ambiguo en redes multidimensionales, debido al hecho de que los triples pueden estar cerrados en dimensiones diferentes a las que se originaron. ^{[4] [41] [42]} Se han realizado varios intentos para definir coeficientes de agrupamiento locales, pero estos intentos han resaltado el hecho de que el concepto debe ser fundamentalmente diferente en dimensiones superiores: algunos grupos han basado su trabajo en definiciones no estándar, ^[42] mientras que otros han experimentado con diferentes definiciones de paseos aleatorios y 3-ciclos en redes multidimensionales. ^{[4] [41]}

Si bien las estructuras interdimensionales se han estudiado previamente, ^{[43] [44]} no logran detectar las asociaciones más sutiles que se encuentran en algunas redes. Si se adopta una definición ligeramente diferente de "comunidad" en el caso de las redes multidimensionales, se puede identificar de manera confiable a las comunidades sin el requisito de que los nodos estén en contacto directo entre sí. ^{[3] [8] [9] [45]} Por ejemplo, dos personas que nunca se comunican directamente pero que aún así navegan por muchos de los mismos sitios web serían candidatos viables para este tipo de algoritmo.

Mucha et al. propusieron originalmente una generalización del conocido método de maximización de la modularidad para el descubrimiento de comunidades. ^[8] Este método de resolución múltiple supone una representación tensorial tridimensional de la conectividad de la red dentro de las capas, como para los multigrafos con bordes coloreados, y una representación tensorial tridimensional de la conectividad de la red entre capas. Depende del parámetro de resolución y del peso de las conexiones entre capas. En una notación más compacta, haciendo uso de la notación tensorial, la modularidad se puede escribir como , donde , es el tensor de adyacencia multicapa, es el tensor que codifica el modelo nulo y el valor de los componentes de se define como 1 cuando un nodo en la capa pertenece a una comunidad particular, etiquetada por el índice , y 0 cuando no lo hace. ^[3]${\displaystyle \gamma }$${\displaystyle \omega }$${\displaystyle Q\propto S_{i\alpha }^{a}B_{j\beta }^{i\alpha }S_{a}^{j\beta }}$${\displaystyle B_{j\beta }^{i\alpha }=M_{j\beta }^{i\alpha }-P_{j\beta }^{i\alpha }}$${\displaystyle M_{j\beta }^{i\alpha }}$${\displaystyle P_{j\beta }^{i\alpha }}$${\displaystyle S_{a}^{i\alpha }}$${\displaystyle i}$${\displaystyle \alpha }$${\displaystyle a}$

Se ha propuesto la factorización matricial no negativa para extraer la estructura de actividad comunitaria de redes temporales. ^[46] La red multicapa está representada por un tensor tridimensional , como un multigrafo de bordes coloreados, donde el orden de las capas codifica la flecha del tiempo. La factorización tensorial por medio de la descomposición de Kruskal se aplica para asignar cada nodo a una comunidad a lo largo del tiempo. ${\displaystyle T_{ij}^{\tau }}$${\displaystyle T_{ij}^{\tau }}$

Se han propuesto métodos basados ​​en inferencia estadística que generalizan los enfoques existentes introducidos para redes unidimensionales. El modelo de bloques estocásticos es el modelo generativo más utilizado, generalizado apropiadamente al caso de redes multicapa. ^{[47] [48]}

En cuanto a las redes unidimensionales, se pueden utilizar métodos basados ​​en principios como la longitud mínima de descripción para la selección de modelos en métodos de detección de comunidades basados ​​en el flujo de información. ^[9]

Dada la mayor complejidad de las redes multicapa con respecto a las redes unidimensionales, un campo activo de investigación se dedica a simplificar la estructura de dichos sistemas empleando algún tipo de reducción de dimensionalidad. ^{[22] [49]}

Un método popular se basa en el cálculo de la divergencia cuántica de Jensen-Shannon entre todos los pares de capas, que luego se explota por sus propiedades métricas para construir una matriz de distancia y agrupar jerárquicamente las capas. Las capas se agregan sucesivamente de acuerdo con el árbol jerárquico resultante y el procedimiento de agregación se detiene cuando la función objetivo , basada en la entropía de la red , obtiene un máximo global. Este enfoque voraz es necesario porque el problema subyacente requeriría verificar todos los grupos de capas posibles de cualquier tamaño, lo que requiere una gran cantidad de combinaciones posibles (que viene dada por el número de Bell y escala de manera superexponencial con el número de unidades). Sin embargo, para sistemas multicapa con una pequeña cantidad de capas, se ha demostrado que el método funciona de manera óptima en la mayoría de los casos. ^[22]

La cuestión de las correlaciones de grado en redes unidimensionales es bastante sencilla: ¿las redes de grado similar tienden a conectarse entre sí? En las redes multidimensionales, el significado de esta pregunta resulta menos claro. Cuando nos referimos al grado de un nodo, ¿nos referimos a su grado en una dimensión o a su colapso total? Cuando buscamos investigar la conectividad entre nodos, ¿estamos comparando los mismos nodos en distintas dimensiones, o diferentes nodos dentro de las dimensiones, o una combinación de ambos? ^[6] ¿Cuáles son las consecuencias de las variaciones en cada una de estas estadísticas sobre otras propiedades de la red? En un estudio, se descubrió que la asortatividad reducía la robustez en una red dúplex. ^[50]

Dados dos caminos multidimensionales, r y s , decimos que r domina a s si y sólo si: y tal que . ^[38]${\displaystyle \forall d\in \langle 1,|D|\rangle ,r_{l}\leq s_{l}}$${\displaystyle \exists i}$${\displaystyle r_{l}<s_{l}}$

Entre otras estadísticas de red, muchas medidas de centralidad se basan en la capacidad de evaluar las rutas más cortas de un nodo a otro. Extender estos análisis a una red multidimensional requiere incorporar conexiones adicionales entre nodos en los algoritmos que se utilizan actualmente (por ejemplo, el de Dijkstra ). Los enfoques actuales incluyen el colapso de las conexiones de múltiples enlaces entre nodos en un paso de preprocesamiento antes de realizar variaciones en una búsqueda en amplitud de la red. ^[28]

Una forma de evaluar la distancia entre dos nodos en una red multidimensional es comparando todos los caminos multidimensionales entre ellos y eligiendo el subconjunto que definimos como más corto a través del dominio del camino: sea el conjunto de todos los caminos entre y . Entonces la distancia entre y es un conjunto de caminos tales que tal que domina . La longitud de los elementos en el conjunto de caminos más cortos entre dos nodos se define, por lo tanto, como la distancia multidimensional . ^[38]${\displaystyle MP(u,v)}$${\displaystyle u}$${\displaystyle v}$${\displaystyle u}$${\displaystyle v}$${\displaystyle P\subseteq MP}$${\displaystyle \forall p\in P,\nexists p'\in MP}$${\displaystyle p'}$${\displaystyle p}$

En una red multidimensional , la relevancia de una dimensión dada (o conjunto de dimensiones) para un nodo se puede evaluar mediante la relación: . ^[39]${\displaystyle G=(V,E,D)}$${\displaystyle D'}$${\displaystyle {\frac {{\text{Neighbors}}(v,D')}{{\text{Neighbors}}(v,D)}}}$

En una red multidimensional en la que las diferentes dimensiones de conexión tienen diferentes valores en el mundo real, las estadísticas que caracterizan la distribución de los vínculos a las distintas clases son de interés. Por lo tanto, es útil considerar dos métricas que evalúan esto: la conectividad dimensional y la conectividad dimensional exclusiva de aristas. La primera es simplemente la relación entre el número total de vínculos en una dimensión dada y el número total de vínculos en cada dimensión: . La segunda evalúa, para una dimensión dada, el número de pares de nodos conectados solo por un vínculo en esa dimensión: . ^[39]${\displaystyle {\frac {|\{(u,v,d)\in E|u,v\in V\}|}{|E|}}}$${\displaystyle {\frac {|\{(u,v,d)\in E|u,v\in V\wedge \forall j\in D,j\neq d:(u,v,j)\notin E\}|}{|\{(u,v,d)\in E|u,v\in V\}|}}}$

La ráfaga de señales es un fenómeno bien conocido en muchas redes del mundo real, por ejemplo, el correo electrónico u otras redes de comunicación humana. Las dimensiones adicionales de la comunicación proporcionan una representación más fiel de la realidad y pueden resaltar estos patrones o disminuirlos. Por lo tanto, es de importancia crítica que nuestros métodos para detectar el comportamiento explosivo en las redes se adapten a las redes multidimensionales. ^[51]

Los procesos de difusión se utilizan ampliamente en física para explorar sistemas físicos, así como en otras disciplinas como las ciencias sociales, la neurociencia, el transporte urbano e internacional o las finanzas. Recientemente, los procesos de difusión simples y más complejos se han generalizado a redes multicapa. ^{[23] [52]} Un resultado común a muchos estudios es que la difusión en redes multiplex, un tipo especial de sistema multicapa, exhibe dos regímenes: 1) el peso de los enlaces entre capas, que conectan las capas entre sí, no es lo suficientemente alto y el sistema multiplex se comporta como dos (o más) redes desacopladas; 2) el peso de los enlaces entre capas es lo suficientemente alto como para que las capas se acoplen entre sí, lo que genera fenómenos físicos inesperados. ^[23] Se ha demostrado que existe una transición abrupta entre estos dos regímenes. ^[53]

De hecho, todos los descriptores de red que dependen de algún proceso de difusión, desde las medidas de centralidad hasta la detección de comunidades, se ven afectados por el acoplamiento entre capas. Por ejemplo, en el caso de la detección de comunidades, un acoplamiento bajo (donde la información de cada capa por separado es más relevante que la estructura general) favorece los clústeres dentro de las capas, mientras que un acoplamiento alto (donde la información de todas las capas simultáneamente es más relevante que la de cada capa por separado) favorece los clústeres entre capas. ^{[8] [9]}

En el caso de las redes unidimensionales, es posible definir recorridos aleatorios en la parte superior de los sistemas multicapa. Sin embargo, dada la estructura multicapa subyacente, los recorridos aleatorios no se limitan a moverse de un nodo a otro dentro de la misma capa ( saltar ), sino que también se les permite moverse entre capas ( cambiar ). ^[15]

Los paseos aleatorios se pueden utilizar para explorar un sistema multicapa con el objetivo final de desentrañar su organización de mesoescala , es decir, para particionarlo en comunidades , ^{[8] [9]} y se han utilizado recientemente para comprender mejor la navegabilidad de las redes multicapa y su resiliencia a fallas aleatorias, ^[15] así como para explorar de manera eficiente este tipo de topologías. ^[54]

En el caso de sistemas multicapa interconectados, la probabilidad de moverse de un nodo en una capa a otro nodo en una capa se puede codificar en el tensor de transición de rango 4 y la caminata en tiempo discreto se puede describir mediante la ecuación maestra ${\displaystyle i}$${\displaystyle \alpha }$${\displaystyle j}$${\displaystyle \beta }$${\displaystyle T_{j\beta }^{i\alpha }}$

${\displaystyle p_{j\beta }(t+1)=\sum _{\alpha =1}^{L}\sum _{i=1}^{N}T_{j\beta }^{i\alpha }p_{i\alpha }(t)=\sum _{\alpha =1}^{L}\sum _{i=1}^{N}(T^{t})_{j\beta }^{i\alpha }p_{i\alpha }(0)}$

donde indica la probabilidad de encontrar al caminante en el nodo de la capa en el tiempo . ^{[3] [15]}${\displaystyle p_{i\alpha }(t)}$${\displaystyle i}$${\displaystyle \alpha }$${\displaystyle t}$

Existen muchos tipos diferentes de caminatas que pueden codificarse en el tensor de transición , dependiendo de cómo se les permita a los caminantes saltar y cambiar. Por ejemplo, el caminante puede saltar o cambiar en un solo paso de tiempo sin distinguir entre enlaces inter e intracapa ( caminata aleatoria clásica ), o puede elegir permanecer en la capa actual y saltar, o cambiar de capa y luego saltar a otro nodo en el mismo paso de tiempo ( caminata aleatoria física ). Se pueden encontrar reglas más complicadas, correspondientes a problemas específicos a resolver, en la literatura. ^[23] En algunos casos, es posible encontrar, analíticamente, la solución estacionaria de la ecuación maestra. ^{[15] [54]}${\displaystyle T_{j\beta }^{i\alpha }}$

El problema de la difusión clásica en redes complejas es entender cómo fluirá una cantidad a través del sistema y cuánto tiempo tardará en alcanzar el estado estacionario. La difusión clásica en redes multiplex se ha estudiado recientemente introduciendo el concepto de matriz de supraadyacencia, ^[55] posteriormente reconocida como un aplanamiento especial del tensor de adyacencia multicapa. ^[3] En notación tensorial, la ecuación de difusión en la parte superior de un sistema multicapa general se puede escribir, de manera concisa, como

${\displaystyle {\frac {dX_{j\beta }(t)}{dt}}=-L_{j\beta }^{i\alpha }X_{i\alpha }(t)}$

donde es la cantidad de cantidad que se difunde en el momento en el nodo de la capa . El tensor de rango 4 que rige la ecuación es el tensor laplaciano, que generaliza la matriz laplaciana combinatoria de redes unidimensionales. Vale la pena señalar que en notación no tensorial, la ecuación adopta una forma más complicada. ${\displaystyle X_{i\alpha }(t)}$${\displaystyle t}$${\displaystyle i}$${\displaystyle \alpha }$

Muchas de las propiedades de este proceso de difusión se entienden completamente en términos del segundo valor propio más pequeño del tensor laplaciano. Es interesante que la difusión en un sistema multiplex puede ser más rápida que la difusión en cada capa por separado, o en su agregación, siempre que se cumplan ciertas propiedades espectrales. ^[55]

Recientemente, la forma en que la información (o las enfermedades) se propagan a través de un sistema multicapa ha sido objeto de intensa investigación. ^{[56] [1] [57] [58] [59]}

Se han introducido varios programas de software centrados en el análisis y la visualización de redes multicapa. Algunas soluciones populares incluyen multinet (C++ / Python / R), MuxViz (R), Pymnet (Python).