ecuación de Monge

Monge estudió primero el caso en el que F es lineal en las derivadas:$${\displaystyle A^{0}(u,q)+\sum _{i=0}^{n}A^{i}(u,q)\partial _{q^{i}}u=0}$$dónde${\displaystyle A^{0:n}}$son funciones de${\displaystyle u,q}$Este caso se denomina ecuación diferencial parcial cuasilineal de primer orden . Cuando${\displaystyle A^{1},\dots ,A^{n}}$no depender de${\displaystyle u}$, es una EDP semilineal de primer orden .

Consideremos la gráfica de una superficie de solución en${\displaystyle \mathbb {R} \times M}$La tangente a la gráfica en un punto fijo.${\displaystyle u,q}$tiene ecuaciones$${\displaystyle a_{0}du+a_{i}dq^{i}=0}$$donde los coeficientes de valor real satisfacen${\displaystyle A^{\mu }a_{\mu }=0}$Esta es una ecuación lineal y un conjunto de todas las soluciones.${\displaystyle \{a_{\mu }:a_{\mu }A^{\mu }=0\}}$conforman un subespacio de codimensión 1 en el espacio cotangente.${\displaystyle T_{(u,q)}^{*}(\mathbb {R} \times M)}$.

Dualmente, el aniquilador de${\displaystyle \{a_{\mu }:a_{\mu }A^{\mu }=0\}}$es un subespacio de dimensión 1 en el espacio tangente${\displaystyle T_{(u,q)}(\mathbb {R} \times M)}$, llamado eje de Monge . Está generado por el vector característico.${\displaystyle A^{0}\partial _{u}+A^{i}\partial _{q^{i}}}$. Cualquier gráfica de solución que pase por el punto${\displaystyle u,q}$necesariamente debe contener el vector característico.

De esta forma, obtenemos el campo vectorial característico de la ecuación en${\displaystyle \mathbb {R} \times M}$. Integrando el campo, obtenemos una fibración de${\displaystyle \mathbb {R} \times M}$en un${\displaystyle \mathbb {R} ^{n}}$Familia parametrizada de curvas unidimensionales. Estas son las curvas características de la ecuación. Dado que resolver estas curvas características solo requiere integrar una EDO , se dice que se ha "reducido a cuadraturas" o que "es integrable ".

Cualquier gráfica de solución debe ser fibrada en curvas características. Por el contrario, cualquier${\displaystyle \mathbb {R} ^{n-1}}$Una subfamilia parametrizada de curvas características conforma un gráfico de solución y puede obtenerse tomando cualquier superficie suave de codimensión 2.${\displaystyle S\subset \mathbb {R} \times M}$y tomando la unión de todas las curvas características que pasan por esta superficie. Esta superficie representa la condición de contorno de Cauchy para la ecuación. Esto tiene algunas excepciones:

• Cáustica : Si no se cumplen las condiciones del teorema de Picard-Lindelöf , distintas curvas características pueden converger o divergir del mismo punto; es decir, las curvas son soluciones singulares . Un gráfico de soluciones que contiene una curva de solución singular se vuelve indeterminado más allá del punto singular. Varias características pueden colapsar en una sola ( onda de choque ), y una característica puede divergir en varias ( rarefacción ).
• Si la superficie${\displaystyle S}$que codifica la condición de contorno de Cauchy no es transversal al campo vectorial característico, entonces la superficie barrida por${\displaystyle S}$contendría curvas de solución duplicadas y, por lo tanto, perdería al menos una dimensión. La condición de que el límite de Cauchy sea transversal al campo vectorial característico es la condición de rango no característico .
• Si${\displaystyle (A^{1},\dots ,A^{n})=0}$En algún punto de la curva característica, entonces la curva se movería directamente verticalmente, lo que significa que una superficie que contiene dicha curva, incluso si es suave y está bien definida, ya no será la gráfica de una función diferenciable de tipo${\displaystyle M\to \mathbb {R} }$. Esta es una singularidad de tiempo finito . Esto corresponde a la degeneración de la ecuación diferencial original en${\displaystyle A^{0}(u,q)=0}$.

Una franja característica es un engrosamiento infinitesimal de una curva característica, construida como la sección de la superficie de la solución obtenida a partir de una superficie de condición inicial infinitesimal de codimensión 2.${\displaystyle \delta S\subset T_{(u,q)}(\mathbb {R} \times M)}$que es transversal al campo vectorial característico en ese punto. De forma equivalente, puede entenderse como la trayectoria en el espacio de frentes de onda infinitesimales (ondículas).${\displaystyle \mathbb {R} \times T^{*}M}$Desde esta perspectiva, el conjunto de ecuaciones$${\displaystyle A^{0}(u,q)+A^{i}(u,q)p_{i}=0,\quad du-p_{i}dq^{i}=0}$$es una ecuación de onda. Una superficie de solución${\displaystyle u}$se descompone en una familia (n-1) dimensional de frentes de onda infinitesimales que se propagan independientemente según la ecuación de onda. ^{[ 1 ]}

Cuando el caso no es cuasilineal, el problema sigue siendo encontrar franjas características de$${\displaystyle F(u,q,p)=0,\quad du-p_{i}dq^{i}=0}$$Defina la 1-forma${\displaystyle \alpha =du-p_{i}dq^{i}}$. La condición${\displaystyle \alpha =0}$define una estructura de contacto en la variedad de ondículas de (2n+1) dimensiones.${\displaystyle \mathbb {R} \times T^{*}M}$, escrito como${\displaystyle (\mathbb {R} \times T^{*}M,\alpha )}$y llamado colector de 1 chorro , mientras que la condición${\displaystyle F(u,q,p)=0}$define una hipersuperficie . El problema consiste en encontrar una subvariedad n -dimensional que sea tangente a la estructura de contacto mientras se permanece dentro de la subvariedad 2n -dimensional.${\displaystyle S:=F^{-1}(0)}$En otras palabras, se trata de encontrar subvariedades legendrianas en${\displaystyle S}$Cualquier función diferenciable${\displaystyle u:M\to \mathbb {R} }$eleva de forma única a una subvariedad legendriana y, a la inversa, cualquier subvariedad legendriana que no sea vertical en ningún punto es la elevación de una única${\displaystyle u:M\to \mathbb {R} }$obtenido al tomar el mapa de proyección${\displaystyle \mathbb {R} \times T^{*}M\to \mathbb {R} \times M}$(es decir, al olvidar${\displaystyle p}$).

Esto tiene una solución estándar en geometría de contacto . Comencemos con la variedad de contacto de (2n+1) dimensiones.${\displaystyle (\mathbb {R} \times T^{*}M,\alpha )}$y definir la 2-forma${\displaystyle \omega =d\alpha }$y el campo vectorial de Reeb${\displaystyle R:=\partial _{u}}$Las franjas características son las curvas integrales del campo vectorial bicaracterístico .${\displaystyle X_{F}}$que satisfacen las ecuaciones del hamiltoniano de contacto : ^{[ 2 ]}$${\displaystyle \alpha (X_{F})=F,\quad \omega (X_{F},\cdot )=dF-(RF)\alpha }$$Las curvas integrales del campo vectorial bicaracterístico son las curvas bicaracterísticas , que son trayectorias trazadas por las franjas características. En coordenadas,$${\displaystyle X_{F}=(X_{F,u},X_{F,q},X_{F,p})=(p\cdot \partial _{p}F,\partial _{p}F,-\partial _{q}F-(\partial _{u}F)p)}$$Cualquier subvariedad legendriana en${\displaystyle S}$se convierte en fibra en un${\displaystyle \mathbb {R} ^{n-1}}$-familia de curvas bicaracterísticas. Por el contrario, dado cualquier${\displaystyle \mathbb {R} ^{n-1}}$-subvariedad parametrizada en${\displaystyle S}$que es transversal a${\displaystyle X_{F}}$, se extiende a una subvariedad legendriana en${\displaystyle S}$tomando la unión de todas las curvas bicaracterísticas que pasan por ella.

Una condición de contorno de Cauchy es una${\displaystyle \mathbb {R} ^{n-1}}$-subvariedad parametrizada en${\displaystyle \mathbb {R} \times M}$:$${\displaystyle (s^{1},\dots ,s^{n-1})\mapsto (u_{0}(s),q_{0}^{1}(s),\dots ,q_{0}^{n}(s))}$$La solución se obtiene elevándola a una${\displaystyle \mathbb {R} ^{n-1}}$-subvariedad parametrizada en${\displaystyle \mathbb {R} \times M}$:$${\displaystyle (s^{1},\dots ,s^{n-1})\mapsto (u_{0}(s),q_{0}^{1}(s),\dots ,q_{0}^{n}(s),p_{0,1}(s),\dots ,p_{0,n-1}(s))}$$que satisface$${\displaystyle F(u_{0}(s),q_{0}(s),p_{0}(s))=0,\quad \partial _{s^{k}}u_{0}-\sum _{i=1}^{n}p_{i}\partial _{s^{k}}q_{0}^{i}=0,\quad k=1,\dots ,n-1}$$La solución existe y es única, con algunas excepciones:

• Si la condición de contorno no es transversal a${\displaystyle X_{F}}$, entonces se rompe la condición de rango no característico. En este caso, la ecuación no logra determinar cómo se debe levantar la condición de contorno.
• Si en algún momento${\displaystyle (u,q,p)\in S}$, la superficie es tangente a${\displaystyle \ker \alpha }$, entonces${\displaystyle X_{F}(u,q,p)=0}$, lo que indica que la ecuación no logra determinar cómo se propaga el frente de onda infinitesimal más allá de este punto.

Monge resolvió la ecuación mediante una construcción geométrica llamada cono de Monge . Consideremos la totalidad de todas las superficies de solución que pasan por un punto fijo.${\displaystyle (u,q)\in \mathbb {R} \times M}$Su superficie envolvente es un cono con vértice${\displaystyle (u,q)}$. Este es el cono de Monge en este punto. Dada una condición de contorno de Cauchy especificada por un${\displaystyle \mathbb {R} ^{n-1}}$Subvariedad de dimensión en${\displaystyle \mathbb {R} \times M}$La superficie de la solución es la extensión tangente a todos los conos en todas las ubicaciones. En otras palabras, la superficie de la solución se construye tomando una rama de la envolvente de los conos.

Las intersecciones entre los conos y la superficie de la solución son tangentes a las curvas características y se elevan a curvas bicaracterísticas en${\displaystyle \mathbb {R} \times T^{*}M}$Cuando se cumple la condición de rango no característico, la envoltura de los conos tiene solo un número finito de ramas, y por lo tanto, solo hay un número finito de superficies de solución.

En el caso especial de una ecuación cuasilineal, el cono degenera en una sola línea, el eje de Monge.

En el lenguaje de la geometría de contacto, cada punto${\displaystyle (u,q)\in \mathbb {R} \times M}$se eleva a un frente de onda infinitesimal${\displaystyle (u,q,p)\in \mathbb {R} \times T^{*}M}$. La condición${\displaystyle F(u,q,p)=0}$restringe la elección de${\displaystyle p}$a un subconjunto de (n-1) dimensiones. Para cualquier tal${\displaystyle p}$La curva bicaracterística produce una posible trayectoria del frente de onda.${\displaystyle s\mapsto (u(s),q(s),p(s))}$, que se proyecta a un vector tangente${\displaystyle (du/ds,dq/ds)\in \mathbb {R} \times T_{q}M}$. El conjunto generado por todos esos vectores tangentes es el cono de Monge en este punto.

Cuando la dinámica de un sistema no se ve alterada por la acción de un grupo , esa simetría puede eliminarse calculando el cociente de la acción del grupo. Esto se conoce como reducción de simetría.

Si el grupo de simetría de la ecuación contiene un grupo de Lie abeliano con 3 dimensiones, se puede transformar a la forma de${\displaystyle F(\partial _{q^{1}}u,\partial _{q^{2}}u)=0}$En este caso, los conos de Monge son los mismos en toda la${\displaystyle (u,q^{1},q^{2})}$espacio. Por lo tanto, el movimiento de una partícula a lo largo de una curva característica es el mismo en todas partes y puede reducirse fácilmente. En la dinámica reducida, la partícula permanece en el mismo lugar, y la única dinámica no trivial es su momento.${\displaystyle (\partial _{q^{1}}u,\partial _{q^{2}}u)}$, que permanece constante en el tiempo. La dinámica se reduce a una posición estática en un círculo.

Si el grupo de simetría de la ecuación contiene un grupo de Lie abeliano con 2 dimensiones, entonces se puede transformar en una ecuación de la forma${\displaystyle F(u,\partial _{q^{1}}u,\partial _{q^{2}}u)=0}$En este caso, los conos de Monge son los mismos en toda la${\displaystyle (q^{1},q^{2})}$plano, y varía sobre${\displaystyle u}$Por lo tanto, la única dinámica no trivial de una partícula a lo largo de una curva característica es la interacción entre su altura${\displaystyle u}$y el impulso${\displaystyle (\partial _{q^{1}}u,\partial _{q^{2}}u)}$La dinámica se reduce a un flujo sobre un cilindro.

Cuando${\displaystyle n=1}$, la ecuación$${\displaystyle F(u,q^{1},\partial _{q^{1}}u)=0}$$se reduce a una EDO para una función de tipo${\displaystyle u:\mathbb {R} \to \mathbb {R} }$y en cada punto${\displaystyle (u,q^{1})}$, el cono de Monge consiste en líneas rectas que pasan por el punto con pendientes${\displaystyle k}$satisfactorio${\displaystyle F(u,q^{1},k)=0}$Una curva de solución permanece tangente a cada cono de Monge.

Cuando${\displaystyle n=2}$, en cada punto${\displaystyle (u,q^{1},q^{2})}$, la ecuación$${\displaystyle F(u,q^{1},q^{2},\partial _{q^{1}}u,\partial _{q^{2}}u)=0}$$produce una variedad unidimensional de posibles elecciones de${\displaystyle (\partial _{q^{1}}u,\partial _{q^{2}}u)}$En general, la variedad se asemeja a la unión de varias curvas diferenciables cerradas. Cada curva diferenciable genera una familia de planos, que a su vez generan un cono como envoltura. La unión de todos estos conos es el cono de Monge.

La ecuación totalmente no lineal más simple es la ecuación eikonal . Esta tiene la forma

${\displaystyle |\nabla u|^{2}=1,}$

de modo que la función F viene dada por

${\displaystyle F(x,y,u,u_{x},u_{y})=u_{x}^{2}+u_{y}^{2}-1.}$

El cono dual consta de 1-formas${\displaystyle adx+bdy+cdz}$satisfactorio

${\displaystyle a^{2}+b^{2}-c^{2}=0.}$

Esto define un cono circular. El dual convexo de un círculo es un círculo, por lo que el cono de Monge en cada punto es un cono circular.

Esto se generaliza a la ecuación eikonal para geodésicas en una variedad riemanniana y, más generalmente, en una variedad de Finsler .