Categoría de módulos

En álgebra , dado un anillo${\displaystyle R}$, la categoría de módulos izquierdos sobre${\displaystyle R}$es la categoría cuyos objetos son todos módulos izquierdos sobre${\displaystyle R}$y cuyos morfismos son todos homomorfismos de módulos entre izquierda${\displaystyle R}$-módulos. Por ejemplo, cuando${\displaystyle R}$es el anillo de los números enteros${\displaystyle \mathbb {Z} }$Es lo mismo que la categoría de grupos abelianos . La categoría de módulos derechos se define de manera similar.

También se puede definir la categoría de bimodulos sobre un anillo.${\displaystyle R}$pero esa categoría es equivalente a la categoría de módulos izquierdos (o derechos) sobre el álgebra envolvente de${\displaystyle R}$(o todo lo contrario).

Nota: Algunos autores utilizan el término categoría de módulo para referirse a la categoría de módulos. Este término puede ser ambiguo, ya que también podría referirse a una categoría con una acción de categoría monoidal . ^{[ 1 ]}

Las categorías de módulos izquierdos y derechos son categorías abelianas . Estas categorías tienen suficientes proyectivos ^{[ 2 ]} y suficientes inyectivos . ^{[ 3 ]} El teorema de incrustación de Mitchell establece que toda categoría abeliana surge como una subcategoría completa de la categoría de módulos sobre algún anillo.

En las categorías de módulos izquierdo y derecho existen límites proyectivos e inductivos . ^{[ 4 ]}

Sobre un anillo conmutativo , junto con el producto tensorial de módulos.${\displaystyle \otimes }$, la categoría de módulos es una categoría monoidal simétrica .

Un objeto monoide de la categoría de módulos sobre un anillo conmutativo${\displaystyle R}$es exactamente un álgebra asociativa sobre${\displaystyle R}$.

Un objeto compacto en${\displaystyle R}$-${\displaystyle \mathbf {Mod} }$es exactamente un módulo presentado de forma finita.

La categoría${\displaystyle K{\text{-}}\mathbf {Vect} }$(algunos autores utilizan${\displaystyle \mathbf {Vect} _{K}}$) tiene todos los espacios vectoriales sobre un campo${\displaystyle K}$como objetos y${\displaystyle K}$-mapas lineales como morfismos. Dado que los espacios vectoriales sobre${\displaystyle K}$(como un campo) son lo mismo que los módulos sobre el anillo${\displaystyle K}$,${\displaystyle K{\text{-}}\mathbf {Vect} }$es un caso especial de${\displaystyle R}$-${\displaystyle \mathbf {Mod} }$(algunos autores utilizan${\displaystyle \mathbf {Mod} _{R}}$), la categoría de izquierda${\displaystyle R}$-módulos.

Gran parte del álgebra lineal se refiere a la descripción de${\displaystyle K{\text{-}}\mathbf {Vect} }$. Por ejemplo, el teorema de dimensión para espacios vectoriales dice que las clases de isomorfismo en${\displaystyle K{\text{-}}\mathbf {Vect} }$corresponden exactamente a los números cardinales y que${\displaystyle K{\text{-}}\mathbf {Vect} }$es equivalente a la subcategoría de${\displaystyle K{\text{-}}\mathbf {Vect} }$que tiene como objetos los espacios vectoriales${\displaystyle K_{n}}$, dónde${\displaystyle n}$es cualquier número cardinal.

La categoría de haces de módulos sobre un espacio anillado también tiene suficientes inyectivos (aunque no siempre suficientes proyectivos).

• Teoría K algebraica (el invariante importante de la categoría de módulos).
• Categoría de anillos
• Categoría derivada
• Espectro del módulo
• Categoría de espacios vectoriales graduados
• Categoría de representaciones
• Cambio de anillos
• Equivalencia de Morita
• Categoría de módulo estable
• Teorema de Eilenberg-Watts

• Mod en el laboratorio n