Teorema de Mergelyan

El teorema de Mergelyan es un resultado de la aproximación mediante polinomios en análisis complejo, demostrado por el matemático armenio Sergei Mergelyan en 1951.

Dejar${\displaystyle K}$sea ​​un subconjunto compacto del plano complejo${\displaystyle \mathbb {C} }$de tal manera que${\displaystyle \mathbb {C} \setminus K}$está conectado . Entonces, cada función continua${\displaystyle f:K\to \mathbb {C} }$, de tal manera que la restricción${\displaystyle f}$a${\displaystyle {\text{int}}(K)}$es holomorfo , puede aproximarse uniformemente en${\displaystyle K}$con polinomios . Aquí,${\displaystyle {\text{int}}(K)}$denota el interior de${\displaystyle K}$. ^{[ 1 ] [ 2 ]}

El teorema de Mergelyan también es válido para superficies de Riemann abiertas . Sea${\displaystyle {\mathcal {A}}(K)}$ser el conjunto de todas las funciones continuas y de valor complejo en${\displaystyle {\text{int}}(K)}$, y ${\displaystyle {\mathcal {O}}(X)}$sea ​​el conjunto de todas las funciones que son holomorfas en un entorno de${\displaystyle K}$. Entonces:

Si${\displaystyle K}$es un conjunto compacto sin agujeros en una superficie de Riemann abierta${\displaystyle X}$, entonces cada función en${\displaystyle {\mathcal {A}}(K)}$puede aproximarse uniformemente en${\displaystyle K}$por funciones en${\displaystyle {\mathcal {O}}(X)}$. ^{[ 2 ]}

El teorema de Mergelyan no siempre se cumple en dimensiones superiores (espacios de varias variables complejas ), pero tiene algunas consecuencias. ^{[ 2 ]}

El teorema de Mergelyan es una generalización del teorema de aproximación de Weierstrass y del teorema de Runge .

En el caso de que${\displaystyle \mathbb {C} \setminus K}$No está conectado, en el problema de aproximación inicial los polinomios deben ser reemplazados por funciones racionales . Un paso importante en la solución de este problema de aproximación racional adicional también fue sugerido por Mergelyan en 1952. Otros resultados profundos sobre aproximación racional se deben, en particular, a AG Vitushkin .

Los teoremas de Weierstrass y Runge se presentaron en 1885, mientras que el teorema de Mergelyan data de 1951. Tras Weierstrass y Runge, muchos matemáticos (en particular Walsh , Keldysh , Lavrentyev , Hartogs y Rosenthal ) trabajaron en el mismo problema. El método de demostración propuesto por Mergelyan es constructivo y sigue siendo la única demostración constructiva conocida del resultado.

• Teorema de Arakelyan
• Teorema de Hartogs-Rosenthal
• Teorema de Oka-Weil

• Lennart Carleson , Teorema de Mergelyan sobre la aproximación polinómica uniforme , Math. Scand., vol. 15, (1964) 167–175.
• Dieter Gaier, Lecciones sobre aproximación compleja , Birkhäuser Boston, Inc. (1987), ISBN 0-8176-3147-X.
• W. Rudin, Análisis real y complejo , McGraw-Hill Book Co., Nueva York, (1987), ISBN 0-07-054234-1.
• AG Vitushkin, Medio siglo como un día , Acontecimientos matemáticos del siglo XX, 449–473, Springer, Berlín, (2006), ISBN 3-540-23235-4/hbk.

• "Teorema de Mergelyan" , Enciclopedia de Matemáticas , EMS Press, 2001 [1994]
• Teorema de Mergelyan - de Wolfram MathWorld