Proyección de Mercator

La proyección de Mercator ( / m ər ˈ k eɪ t ər / ) es una proyección cartográfica cilíndrica conforme presentada por primera vez por el geógrafo y cartógrafo flamenco Gerardus Mercator en 1569. En el siglo XVIII, se convirtió en la proyección cartográfica estándar para la navegación debido a su propiedad de representar las líneas de rumbo como líneas rectas. Cuando se aplica a mapas mundiales, la proyección de Mercator aumenta el tamaño de las masas de tierra a medida que se alejan del ecuador . Por lo tanto, masas de tierra como Groenlandia y la Antártida parecen mucho más grandes de lo que realmente son en relación con las masas de tierra cercanas al ecuador. Su uso para mapas distintos de las cartas náuticas disminuyó a lo largo del siglo XX, pero resurgió en el siglo XXI debido a características favorables para los mapas de la World Wide Web .

Historia

Joseph Needham , historiador de China, especuló que algunos mapas estelares de la dinastía Song china podrían haber sido elaborados con la proyección de Mercator; ^{[ 1 ]} sin embargo, esta afirmación se presentó sin pruebas, y el historiador astronómico Kazuhiko Miyajima concluyó, mediante análisis cartográfico, que estos mapas utilizaban una proyección equirrectangular . ^{[ 2 ]}

En el siglo XIII, los primeros mapas portulanos del Mediterráneo que se conservan, que generalmente no se consideran basados en ninguna proyección cartográfica deliberada, incluían redes de rosas de los vientos formadas por líneas entrecruzadas que podían utilizarse para ayudar a establecer el rumbo de un barco al navegar entre ubicaciones en el mapa; la región de la Tierra cubierta por dichos mapas era lo suficientemente pequeña como para que un rumbo constante resultara aproximadamente recto en el mapa. ^{[ 3 ]}^{[ 4 ]} Los mapas poseen una precisión sorprendente que no se encuentra en los mapas elaborados por eruditos europeos o árabes contemporáneos, y su construcción sigue siendo enigmática; basándose en análisis cartométricos que parecen contradecir el consenso académico, se ha especulado que se originaron en alguna tradición cartográfica pre-medieval desconocida, posiblemente evidencia de algún conocimiento antiguo de la proyección de Mercator. ^{[ 5 ]}

El polímata alemán Erhard Etzlaub grabó mapas en miniatura (de aproximadamente 10 × 8 cm) de Europa y partes de África que abarcaban latitudes de 0° a 67° para permitir el ajuste de sus relojes de sol portátiles de bolsillo . La proyección que se encuentra en estos mapas, que datan de 1511, fue identificada por John Snyder en 1987 como la misma que la de Mercator. ^[⁶^] Sin embargo, dada la geometría de un reloj de sol, es posible que estos mapas se basaran en una proyección cilíndrica central similar , un caso límite de la proyección gnomónica , que es la base de un reloj de sol. Snyder corrigió su evaluación a "una proyección similar" en 1993. ^[⁷^]

El matemático y cosmógrafo portugués Pedro Nunes describió por primera vez el principio matemático de la línea de rumbo o loxodromia, una trayectoria con rumbo constante medida con respecto al norte verdadero, que se puede utilizar en la navegación marítima para determinar el rumbo de la brújula. En 1537, propuso la construcción de un atlas náutico compuesto por varias láminas a gran escala en proyección equirrectangular para minimizar la distorsión de las direcciones. Si estas láminas se unieran a la misma escala y se ensamblaran, se aproximarían a la proyección de Mercator.

En 1541, el geógrafo y cartógrafo flamenco Gerardus Mercator incluyó una red de líneas de rumbo en un globo terráqueo que hizo para Nicolas Perrenot . ^{[ 8 ]}

En 1569, Mercator anunció una nueva proyección al publicar un gran mapamundi de 202 x 124 cm (80 x 49 pulgadas) , impreso en dieciocho hojas separadas. Mercator tituló el mapa Nova et Aucta Orbis Terrae Descriptio ad Usum Navigantium Emendata : «Una nueva y ampliada descripción de la Tierra corregida para el uso de los marineros». Este título, junto con una elaborada explicación sobre el uso de la proyección que aparece como una sección de texto en el mapa, demuestra que Mercator comprendía perfectamente su logro y que su intención era que la proyección facilitara la navegación. Mercator nunca explicó el método de construcción ni cómo llegó a él. A lo largo de los años se han propuesto diversas hipótesis, pero en cualquier caso, la amistad de Mercator con Pedro Nunes y su acceso a las tablas loxodrómicas que Nunes creó probablemente contribuyeron a sus esfuerzos. ^[⁹^]

El matemático inglés Edward Wright publicó las primeras tablas precisas para construir la proyección en 1599 y, con mayor detalle, en 1610, titulando su tratado "Certaine Errors in Navigation". La primera formulación matemática fue divulgada alrededor de 1645 por el matemático Henry Bond ( c. 1600-1678 ). Sin embargo, las matemáticas involucradas fueron desarrolladas, pero nunca publicadas, por el matemático Thomas Harriot a partir de 1589. ^{[ 10 ]}

El desarrollo de la proyección de Mercator representó un gran avance en la cartografía náutica del siglo XVI. Sin embargo, se adelantó a su tiempo, ya que las antiguas técnicas de navegación y topografía no eran compatibles con su uso. Dos problemas principales impidieron su aplicación inmediata: la imposibilidad de determinar la longitud en el mar con la precisión adecuada y el hecho de que se utilizaran direcciones magnéticas en lugar de geográficas . Solo a mediados del siglo XVIII, tras la invención del cronómetro marino y el conocimiento de la distribución espacial de la declinación magnética , los navegantes pudieron adoptar plenamente la proyección de Mercator.

A pesar de esas limitaciones en la determinación de la posición, la proyección de Mercator se encuentra en muchos mapas mundiales de los siglos posteriores a la primera publicación de Mercator. Sin embargo, no llegó a dominar la cartografía mundial hasta el siglo XIX, cuando el problema de la determinación de la posición ya se había resuelto en gran medida. Una vez que la proyección de Mercator se convirtió en la habitual para mapas comerciales y educativos, fue objeto de críticas constantes por parte de los cartógrafos debido a su representación desequilibrada de las masas continentales y su incapacidad para mostrar de forma útil las regiones polares.

Las críticas dirigidas contra el uso inapropiado de la proyección de Mercator dieron lugar a una oleada de nuevas invenciones a finales del siglo XIX y principios del XX, a menudo presentadas directamente como alternativas a la misma. Debido a estas presiones, las editoriales redujeron gradualmente su uso a lo largo del siglo XX. Sin embargo, la llegada de la cartografía web propició un resurgimiento repentino de la proyección en forma de la proyección Web Mercator .

Actualmente, la proyección Mercator se encuentra en cartas náuticas, mapas mundiales ocasionales y servicios de cartografía web, pero los atlas comerciales la han abandonado en gran medida, y los mapas murales del mundo utilizan numerosas proyecciones alternativas. Google Maps , que la utilizaba desde 2005, aún la emplea en mapas locales, pero la eliminó de las plataformas de escritorio en 2017 para mapas con zoom alejado de las áreas locales. Muchos otros servicios de cartografía en línea siguen utilizando exclusivamente la proyección Web Mercator.

Propiedades

La proyección de Mercator puede visualizarse como el resultado de envolver un cilindro firmemente alrededor de una esfera, con ambas superficies tangentes (tocándose) a lo largo de un círculo situado a medio camino entre los polos de su eje común. A continuación, se despliega conformemente la superficie de la esfera sobre el cilindro, lo que significa que en cada punto la proyección escala uniformemente la imagen de una pequeña porción de la superficie esférica sin distorsionarla, conservando los ángulos entre las curvas que se intersecan. Posteriormente, este cilindro se desenrolla sobre un plano para crear un mapa. En esta interpretación, la escala de la superficie se conserva exactamente a lo largo del círculo donde el cilindro toca la esfera, pero aumenta de forma no lineal para los puntos más alejados del círculo de contacto. Sin embargo, al reducir uniformemente el mapa plano resultante, como paso final, se puede elegir cualquier par de círculos paralelos y equidistantes del círculo de contacto para que conserven su escala; estos se denominan paralelos estándar . Entonces, la región entre los círculos elegidos tendrá una escala menor que en la esfera, alcanzando un mínimo en el círculo de contacto. Esto a veces se visualiza como una proyección sobre un cilindro que es secante a (corta) la esfera, aunque esta imagen es engañosa en la medida en que los paralelos estándar no están espaciados a la misma distancia en el mapa que la distancia más corta entre ellos a través del interior de la esfera. ^{[ 11 ]}

La proyección de Mercator , la más común y original, es la proyección normal, en la que el eje del cilindro coincide con el eje de rotación terrestre, que pasa por los polos Norte y Sur, y el círculo de contacto es el ecuador terrestre . Al igual que en todas las proyecciones cilíndricas normales, los círculos de latitud y los meridianos de longitud son rectos y perpendiculares entre sí en el mapa, formando una cuadrícula de rectángulos. Si bien los círculos de latitud en la Tierra son más pequeños cuanto más cerca están de los polos, se estiran en dirección este-oeste para tener una longitud uniforme en cualquier proyección cilíndrica. Entre las proyecciones cilíndricas, la de Mercator es la única que equilibra este estiramiento este-oeste con un estiramiento norte-sur correspondiente, de modo que en cada ubicación la escala es uniforme y los ángulos se conservan.

La proyección de Mercator en aspecto normal representa trayectorias de rumbo constante (llamadas loxodromas o líneas de rumbo ) en una esfera como líneas rectas en el mapa, y por lo tanto es especialmente adecuada para la navegación marítima : los rumbos y las orientaciones se miden utilizando una rosa de los vientos o un transportador, y las direcciones correspondientes se transfieren fácilmente de un punto a otro en el mapa, por ejemplo, con la ayuda de una regla paralela .

Debido a que la escala lineal de un mapa de Mercator en orientación normal aumenta con la latitud, distorsiona el tamaño de los objetos geográficos alejados del ecuador y ofrece una percepción distorsionada de la geometría general del planeta. En latitudes superiores a 70° norte o sur, la proyección de Mercator resulta prácticamente inutilizable, ya que la escala lineal se vuelve infinitamente grande en los polos. Por lo tanto, un mapa de Mercator nunca puede mostrar completamente las zonas polares (véase la sección «Usos» más adelante para consultar las aplicaciones de las proyecciones de Mercator oblicua y transversal).

La proyección de Mercator se compara a menudo con la proyección cilíndrica central , que se obtiene proyectando puntos de la esfera sobre un cilindro tangente a lo largo de líneas radiales rectas, como si se tratara de una fuente de luz situada en el centro de la Tierra. ^{[ 12 ]} Ambas presentan una distorsión extrema lejos del ecuador y no permiten visualizar los polos. Sin embargo, son proyecciones diferentes y poseen propiedades distintas.

Distorsión de tamaños

Proyecciones cilíndricas de 360°: equirrectangular, Miller, Mercator y cilíndrica verdadera.

Como ocurre con todas las proyecciones cartográficas , las formas y los tamaños son distorsiones de la verdadera configuración de la superficie terrestre. La proyección de Mercator exagera las zonas alejadas del ecuador ; cuanto más cerca de los polos terrestres, mayor es la distorsión.

Ejemplos de distorsión de tamaño

Groenlandia parece tener el mismo tamaño que África , cuando en realidad el área de África es 14 veces mayor. ^{[ 13 ]}
- La superficie real de Groenlandia es comparable a la de la República Democrática del Congo por sí sola.
África parece tener aproximadamente el mismo tamaño que Sudamérica , cuando en realidad África es más de una vez y media más grande.
Alaska parece tener el mismo tamaño que Australia , aunque Australia es en realidad 4,5 veces más grande.
- Alaska ocupa en el mapa tanta superficie como Brasil , mientras que la superficie de Brasil es casi 5 veces mayor que la de Alaska.
Madagascar y Gran Bretaña parecen tener un tamaño similar, aunque en realidad Madagascar es más del doble de grande que Gran Bretaña.
La Antártida , al estar situada en el punto más austral de la Tierra, donde convergen todas las longitudes, parece infinitamente grande.

Crítica

Debido a las grandes distorsiones de la superficie terrestre, críticos como George Kellaway e Irving Fisher consideran que la proyección no es adecuada para mapas mundiales generales. Se ha conjeturado que ha influido en la percepción que la gente tiene del mundo: al mostrar los países cercanos al ecuador como demasiado pequeños en comparación con los de Europa y América del Norte, se ha supuesto que ha llevado a que la gente considere a esos países menos importantes. ^{[ 14 ]} Se sospechaba que las exageraciones de la superficie de la proyección de Mercator habían impulsado el intento de Donald Trump de anexar Groenlandia en 2025, particularmente a la luz de la anterior exclamación de Trump: «Me encantan los mapas. Y siempre he dicho: "Miren el tamaño de esto. Es enorme, y debería ser parte de los Estados Unidos "» . ^{[ 15 ]}

El propio Mercator utilizó la proyección sinusoidal de áreas iguales para mostrar áreas relativas. Sin embargo, a pesar de estas críticas, la proyección de Mercator fue, especialmente a finales del siglo XIX y principios del XX, quizás la proyección más común utilizada en mapas mundiales. ^{[ 16 ]}^{[ 17 ]}^{[ 18 ]} Los atlas dejaron de utilizar en gran medida la proyección de Mercator para mapas mundiales o para áreas alejadas del ecuador en la década de 1940, prefiriendo otras proyecciones cilíndricas o formas de proyección de áreas iguales . No obstante, la proyección de Mercator todavía se utiliza comúnmente para áreas cercanas al ecuador donde la distorsión es mínima. También se encuentra frecuentemente en mapas de zonas horarias. ^{[ 19 ]}

Arno Peters generó controversia a partir de 1972 cuando propuso lo que ahora se conoce como la proyección Gall-Peters para remediar los problemas de la proyección Mercator, afirmando que era su propia obra original sin hacer referencia a trabajos previos de cartógrafos como Gall, quien trabajó en 1855. La proyección que promovió es una parametrización específica de la proyección cilíndrica de áreas iguales . En respuesta, una resolución de 1989 de siete grupos geográficos norteamericanos criticó el uso de proyecciones cilíndricas para mapas mundiales de uso general, lo que incluiría tanto la proyección Mercator como la Gall-Peters. ^{[ 20 ]}

A partir de 2025La Unión Africana apoya una campaña que favorece la proyección de la Tierra Igual sobre la proyección de Mercator. ^{[ 21 ]}

Usos

Prácticamente todas las cartas náuticas impresas se basan en la proyección de Mercator debido a sus propiedades excepcionalmente favorables para la navegación. También es de uso común en los servicios de mapas urbanos alojados en Internet, debido a sus propiedades excepcionalmente favorables para mapas locales calculados bajo demanda. ^{[ 22 ]} Las proyecciones de Mercator también fueron importantes en el desarrollo matemático de la tectónica de placas en la década de 1960. ^{[ 23 ]}

navegación marítima

La proyección de Mercator se diseñó para la navegación marítima debido a su propiedad única de representar cualquier rumbo de dirección constante como un segmento recto. Este tipo de rumbo, conocido como loxodromia (o línea de rumbo), es el preferido en la navegación marítima porque permite a los barcos navegar en una dirección constante. Esto reduce las difíciles y propensas a errores correcciones de rumbo que serían necesarias al navegar en una dirección diferente.

Para distancias cortas (en comparación con el radio de la Tierra), la diferencia entre la ruta de rumbo y la ruta de círculo máximo es insignificante. Incluso para distancias mayores, la simplicidad del rumbo constante la hace atractiva. Como observó Mercator, en tal rumbo el barco no llegaría por la ruta más corta, pero sin duda llegaría. Navegar siguiendo un rumbo significaba que todo lo que los marineros tenían que hacer era mantener un rumbo constante siempre que supieran dónde estaban al comenzar, dónde pretendían estar al finalizar y tuvieran un mapa en proyección de Mercator que mostrara correctamente esas dos coordenadas. ^{[ 24 ]}

Web Mercator

Muchos de los principales servicios de mapas de calles en línea ( Bing Maps , Google Maps , Mapbox , MapQuest , OpenStreetMap , Yahoo! Maps y otros) utilizan una variante de la proyección Mercator para sus imágenes de mapas ^{[ 25 ]} llamada Web Mercator o Google Web Mercator. A pesar de su obvia variación de escala a nivel mundial (escalas pequeñas), la proyección es muy adecuada como un mapa mundial interactivo que puede ampliarse sin problemas a mapas locales (a gran escala), donde hay relativamente poca distorsión debido a la casi conformidad de la proyección variante .

Los sistemas de teselado de los principales servicios de mapas de calles en línea muestran la mayor parte del mundo en el nivel de zoom más bajo como una sola imagen cuadrada, excluyendo las regiones polares por truncamiento en latitudes de $φ max = \pm85,05113°$ . (Véase más abajo ). Los valores de latitud fuera de este rango se representan utilizando una relación diferente que no diverge en $φ$ $=$ $\pm90°$ .

Mercator transversal

Una proyección Mercator transversal inclina el eje del cilindro de modo que sea perpendicular al eje de la Tierra. La línea tangente estándar coincide entonces con un meridiano y su meridiano opuesto, lo que proporciona un factor de escala constante a lo largo de esos meridianos y uno casi constante dentro de una franja de unos pocos grados de longitud a su alrededor. Esta propiedad hace que dicha proyección sea útil para cartografiar regiones compactas o predominantemente orientadas de norte a sur. En su forma elipsoidal más compleja, la mayoría de los sistemas de cuadrícula nacionales del mundo utilizan la proyección Mercator transversal, al igual que el sistema de coordenadas Universal Transversal de Mercator .

Mercator oblicuo

Una proyección de Mercator oblicua inclina el eje del cilindro alejándolo del eje terrestre en un ángulo determinado, de modo que sus líneas de contacto tangentes o secantes son círculos que también están inclinados con respecto a los paralelos de latitud terrestres. ^{[ 26 ]} Las aplicaciones prácticas de la proyección oblicua, como los sistemas de cuadrícula nacionales, utilizan desarrollos elipsoidales de la proyección de Mercator oblicua para mantener baja la variación de escala a lo largo de la proyección superficial del eje del cilindro.

La animación que se muestra a continuación ilustra una transformación continua entre la proyección Mercator normal y la proyección transversal, pasando por los estados oblicuos intermedios. Una línea de rumbo (azul) y un círculo máximo (rojo) que van desde Tokio, Japón, hasta Callao, Perú, cambian según la orientación de la proyección. La línea de rumbo entre ambas es recta solo en la proyección normal. En una de las proyecciones oblicuas intermedias, el círculo máximo entre las dos ciudades es recto. En este gráfico, el eje Y siempre es el eje proyectado del cilindro. La esfera gira dentro del cilindro para cambiar su orientación. Inicialmente, el eje es normal al ecuador (proyectado como la línea verde gruesa), pero termina siendo transversal a él cuando el ecuador proyectado se extiende hasta el infinito en la dirección vertical.

Matemáticas

Una expresión simple para la forma esférica de la proyección de Mercator es: ^{[ 27 ]} $x=R(\lambda -\lambda _{0}),\qquad y=R\,{\ln }{\bigl (}{\tan }{\bigl (}{\tfrac {1}{4}}\pi +{\tfrac {1}{2}}\varphi {\bigr )}{\bigr )},$ donde $R$ ⁠ es un factor de escala arbitrario que determina el tamaño del mapa resultante, $ln$ es el logaritmo natural y $tan es la$ función tangente trigonométrica.

Proyecciones cilíndricas

Aunque la superficie de la Tierra se modela mejor mediante un elipsoide de revolución achatado , para mapas a pequeña escala el elipsoide se aproxima mediante una esfera de radio $a$ , donde $a$ es aproximadamente 6371 km. Esta aproximación esférica de la Tierra se puede modelar mediante una esfera más pequeña de radio $R$ , llamada globo en esta sección. El globo determina la escala del mapa. Las diversas proyecciones cilíndricas especifican cómo se transfiere el detalle geográfico del globo a un cilindro tangente a él en el ecuador. El cilindro se desenrolla para dar el mapa plano. ^{[ 28 ]}^{[ 29 ]} La fracción $⁠ R / a ⁠$ se llama fracción representativa (FR) o escala principal de la proyección. Por ejemplo, un mapa de Mercator impreso en un libro podría tener un ancho ecuatorial de 13,4 cm correspondiente a un radio del globo de 2,13 cm y un RF de aproximadamente 1 / 300M ( M se usa como abreviatura de 1.000.000 al escribir un RF), mientras que el mapa original de Mercator de 1569 tiene un ancho de 198 cm correspondiente a un radio del globo de 31,5 cm y un RF de aproximadamente 1 / 20M .

Una proyección cartográfica cilíndrica se especifica mediante fórmulas que vinculan las coordenadas geográficas de latitud $φ$ y longitud $λ$ con las coordenadas cartesianas del mapa, con origen en el ecuador y eje $x$ a lo largo del ecuador. Por construcción, todos los puntos del mismo meridiano se encuentran en la misma generatriz ^[^a^] del cilindro con un valor constante de $x$ , pero la distancia $y$ a lo largo de la generatriz (medida desde el ecuador) es una función arbitraria ^[^b^] de la latitud, $y$ $($ $φ$ $)$ . En general, esta función no describe la proyección geométrica (como la de los rayos de luz sobre una pantalla) desde el centro del globo al cilindro, que es solo una de las infinitas maneras de proyectar conceptualmente un mapa cilíndrico.

Dado que el cilindro es tangente al globo en el ecuador, el factor de escala entre el globo y el cilindro es unitario en el ecuador, pero no en ningún otro lugar. En particular, dado que el radio de un paralelo, o círculo de latitud, es $R cos φ, el paralelo correspondiente en el mapa debe haberse estirado por un factor de 1$ $/ cos φ$ = $sec$ $φ$ $.$ $Este$ $factor$ $de$ $escala$ en el paralelo se denota convencionalmente por $k$ y el factor de escala correspondiente en el meridiano se denota por $h$ . ^[³⁰^]

factor de escala

La proyección de Mercator es conforme . Una implicación de esto es la "isotropía de los factores de escala", lo que significa que el factor de escala de un punto es independiente de la dirección, de modo que las formas pequeñas se conservan en la proyección. Esto implica que el factor de escala vertical, $h$ , es igual al factor de escala horizontal, $k$ . Dado que $k = sec φ$ , $h$ también debe ser igual .

El gráfico muestra la variación de este factor de escala con la latitud. A continuación se enumeran algunos valores numéricos.

a 30° de latitud el factor de escala es $k$ $=$ $sec$ $30°$ $\approx$ $1,15$ ,
a una latitud de 45° el factor de escala es $k$ $=$ $sec$ $45°$ $\approx$ $1,41$ ,
a 60° de latitud el factor de escala es $k$ $=$ $seg$ $60°$ $=$ $2$ ,
a 80° de latitud el factor de escala es $k$ $=$ $seg$ $80°$ $\approx$ $5,76$ ,
En latitud 85° el factor de escala es $k$ $=$ $seg$ $85°$ $\approx$ $11,5$

El factor de escala de área es el producto de las escalas paralela y meridiana $hk = sec 2 φ$ . Para Groenlandia, tomando 73° como latitud mediana, $hk \approx 11,7$ . Para Australia, tomando 25° como latitud mediana, $hk \approx 1,2$ . Para Gran Bretaña, tomando 55° como latitud mediana, $hk \approx 3,04$ .

La variación con la latitud se indica a veces mediante múltiples escalas de barras , como se muestra a continuación.

La forma clásica de mostrar la distorsión inherente a una proyección es mediante la indicatriz de Tissot . Nicolas Tissot observó que los factores de escala en un punto de una proyección cartográfica, especificados por los números $h$ y $k$ , definen una elipse en ese punto. Para las proyecciones cilíndricas, los ejes de la elipse se alinean con los meridianos y paralelos. ^{[ 31 ]}^{[ c ]} Para la proyección de Mercator, $h = k$ , por lo que las elipses degeneran en círculos con un radio proporcional al valor del factor de escala para esa latitud. Estos círculos se representan en el mapa proyectado con una variación extrema de tamaño, lo que indica las variaciones de escala de Mercator.

transformaciones de proyección de Mercator

Integral de la secante

Como se mencionó anteriormente, la condición de isotropía implica que $h=k=\sec \varphi$ ⁠ . Consideremos un punto en el globo de radio ⁠ $R$ con longitud $\lambda$ y latitud $\varphi$ , expresado en radianes . Si $\varphi$ Se incrementa en una cantidad infinitesimal . $d\varphi$ ⁠ , el punto se mueve ⁠ $R\,d\varphi$ ⁠ a lo largo de un meridiano del globo de radio ⁠ $R$ ⁠ , por lo que el cambio correspondiente en ⁠ $y$ es $dy=hR\,d\varphi =R\sec \varphi \,d\varphi$ Por lo tanto $y'(\varphi )=R\sec \varphi$ ⁠ . De manera similar, aumentando ⁠ $\lambda$ por $d\lambda$ mueve el punto $R\cos \varphi \,d\lambda$ ⁠ a lo largo de un paralelo del globo, así que ⁠ $dx=kR\cos \varphi \,d\lambda =Rd\lambda$ ⁠ . Es decir, ⁠ $x'(\lambda )=R$ Integrando estas dos ecuaciones $x'(\lambda )=R,\qquad y'(\varphi )=R\sec \varphi ,$ con $x(\lambda _{0})=0$ y $y(0)=0$ da $x(\lambda )=\int _{\lambda _{0}}^{\lambda }R\,du,\qquad y(\varphi )=\int _{0}^{\varphi }R\sec v\,dv.$ El valor $\lambda _{0}$ ⁠ es la longitud de un meridiano central arbitrario, a menudo el meridiano de Greenwich ⁠ $\lambda _{0}=0$ ⁠ . La integral definida de la función secante hasta un ángulo ⁠ $\varphi$ ⁠ es un ángulo hiperbólico asociado llamado anti- gudermanniano o lambertiano de ⁠ $\varphi$ ⁠ ,^{[ 32 ]}^{[ 33 ]} $x=R(\lambda -\lambda _{0}),\qquad y=R\operatorname {gd} ^{-1}(\varphi )=R\,{\ln }{\bigl (}{\tan }{\bigl (}{\tfrac {1}{4}}\pi +{\tfrac {1}{2}}\varphi {\bigr )}{\bigr )}.$ La coordenada vertical $y$ Históricamente se la denominaba la parte meridional de $\varphi$ ⁠ . En la figura, ⁠ $y$ ⁠ se grafica en contra de ⁠ $\varphi$ para el caso $R=1$ ⁠ , de tal manera que sea igual al anti-gudermanniano de ⁠ $\varphi$ ⁠ ; tiende al infinito en los polos. El valor numérico de ⁠ $y$ Normalmente no se muestra en los mapas impresos; algunos mapas muestran una escala no lineal de latitudes, pero la mayoría de las veces los mapas solo muestran una cuadrícula de meridianos y paralelos seleccionados.

logaritmo complejo

Como una transformación conforme , la proyección de Mercator se puede expresar convenientemente utilizando un único número complejo para representar cada punto de la esfera en lugar de un par de coordenadas de números reales . El número complejo que representa cada punto de esta llamada esfera de Riemann se encuentra al transformar conformemente la esfera en el plano complejo mediante la proyección estereográfica . A partir de ahí, la proyección de Mercator es simplemente el logaritmo complejo , $z\mapsto \log z$ ⁠ , una aplicación conforme del plano complejo (con la excepción del origen, cuyo logaritmo no está definido) sobre un cilindro de dos extremos infinitos.^{[ 34 ]} Partiendo de coordenadas geográficas ⁠ $(\lambda ,\varphi )$ En radianes , la proyección estereográfica produce un número complejo . $\textstyle z=e^{\lambda i}\tan {\bigl (}{\tfrac {1}{4}}\pi -{\tfrac {1}{2}}\varphi {\bigr )}$ ⁠ , con el Polo Norte mapeado al origen. Por lo tanto, la siguiente función ⁠ $M$ es una proyección de Mercator de valores complejos de coordenadas geográficas : ${\begin{aligned}M(\lambda ,\varphi )&={\log }{\bigl (}e^{\lambda i}\,{\tan }{\bigl (}{\tfrac {1}{4}}\pi -{\tfrac {1}{2}}\varphi {\bigr )}{\bigr )}\\[3mu]&={\log }{\bigl (}{\tan }{\bigl (}{\tfrac {1}{4}}\pi -{\tfrac {1}{2}}\varphi {\bigr )}{\bigr )}+\lambda i.\end{aligned}}$ La parte imaginaria del número complejo resultante representa la longitud y su parte real representa la latitud proyectada negativa. ^{[ 34 ]} Para que se ajuste mejor a las convenciones predominantes sobre la representación gráfica de números complejos y mapas mundiales, se puede rotar un cuarto de vuelta y escalar arbitrariamente multiplicándolo por un factor de escala . $-Ri$ .

Transformaciones inversas

Hallar la longitud como inversa de la $x$ La coordenada es trivial. La latitud se puede encontrar como una inversa de $y$ como el gudermanniano de $y/R$ ⁠ .^{[ 32 ]}

$\lambda =\lambda _{0}+{\frac {x}{R}},\qquad \varphi =\operatorname {gd} \left({\frac {y}{R}}\right)=2\tan ^{-1}\left(\exp \left({\frac {y}{R}}\right)\right)-{\frac {\pi }{2}}.$

Expresiones alternativas

Existen muchas identidades relacionadas con el ángulo circular . $\varphi$ ⁠ a su antigudermanniano ⁠ $\operatorname {gd} ^{-1}\varphi =y/R$ ⁠ , un ángulo hiperbólico, que puede usarse para construir expresiones alternativas para las funciones de una a otra.^{[ 33 ]} (Véase la función de Gudermann ). Para un valor real de ⁠ $\varphi$ Una expresión adecuada para el cálculo es: ${\begin{aligned}y/R=\operatorname {gd} ^{-1}(\varphi )&=\sinh ^{-1}(\tan \varphi ),\\[5mu]\varphi =\operatorname {gd} (y/R)&={\tan ^{-1}}{\bigl (}{\sinh(y/R)}{\bigr )},\end{aligned}}$ donde $sinh$ es la función seno hiperbólico . Una expresión alternativa, válida en todo el plano complejo, es ${\begin{aligned}y/R=\operatorname {gd} ^{-1}\varphi &={2\tanh ^{-1}}{\bigl (}{\tan {\tfrac {1}{2}}\varphi }{\bigr )},\\[5mu]\varphi =\operatorname {gd} (y/R)&={2\tan ^{-1}}{\bigl (}{\tanh {\tfrac {1}{2}}(y/R)}{\bigr )},\end{aligned}}$ donde $tanh$ es la función tangente hiperbólica .

Las fórmulas anteriores están escritas en términos del radio del globo terráqueo . $R$ A menudo resulta conveniente trabajar directamente con el ancho del mapa . $W$ ⁠ , en términos de lo cual, suponiendo que el mapa muestra todo el globo, ⁠ $R=W/2\pi$ .

Truncamiento y relación de aspecto

La ordenada $y$ de la proyección de Mercator se vuelve infinita en los polos, por lo que el mapa debe truncarse a una latitud menor de noventa grados. Esto no tiene por qué hacerse de forma simétrica. El mapa original de Mercator se trunca a 80°N y 66°S, lo que provoca que los países europeos se desplacen hacia el centro del mapa. La $relación$ $de$ aspecto de su mapa es $198/120$ $=$ $1,65$ . Se han utilizado truncamientos aún más extremos: un atlas escolar finlandés se truncó aproximadamente a 76°N y 56°S, $con$ una relación de aspecto de 1,97.

Muchos mapas web utilizan una versión con zoom de la proyección de Mercator con una relación de aspecto de uno. En este caso, la latitud máxima alcanzada debe corresponder a $y$ $= \pm O$ $/ 2, o equivalentemente y /$ R $=$ $π$ $.$ $Se$ $puede utilizar cualquiera de las fórmulas$ $de$ transformación inversa para calcular las latitudes correspondientes: $\varphi =\tan ^{-1}\left[\sinh \left({\frac {y}{R}}\right)\right]=\tan ^{-1}\left[\sinh \pi \right]\approx \tan ^{-1}\left[11.5487\right]\approx 85.05113^{\circ }.$

Geometría de elementos pequeños

Las relaciones entre $y (φ)$ y las propiedades de la proyección, como la transformación de ángulos y la variación de escala, se derivan de la geometría de los pequeños elementos correspondientes en el globo y el mapa. La figura siguiente muestra un punto $P$ en latitud $φ$ y longitud $λ$ en el globo y un punto cercano $Q$ en latitud $φ$ $+$ $δφ$ y longitud $λ$ $+$ $δλ$ . Las líneas verticales $PK$ y $MQ$ son arcos de meridianos de longitud $Rδφ$ . ^[^d^] Las líneas horizontales $PM$ y $KQ$ son arcos de paralelos de longitud $R$ $(cos$ $φ$ $)$ $δλ$ . Los puntos correspondientes en la proyección definen un rectángulo de ancho $δx$ y alto $δy$ .

Para elementos pequeños, el ángulo $PKQ$ es aproximadamente un ángulo recto y por lo tanto $\tan \alpha \approx {\frac {R\cos \varphi \,\delta \lambda }{R\,\delta \varphi }},\qquad \qquad \tan \beta ={\frac {\delta x}{\delta y}},$

Los factores de escala mencionados anteriormente, desde globo terráqueo hasta cilindro, vienen dados por:

factor de escala paralela $\quad k(\varphi )\;=\;{\frac {P'M'}{PM}}\;=\;{\frac {\delta x}{R\cos \varphi \,\delta \lambda }},$
factor de escala meridiana $\quad h(\varphi )\;=\;{\frac {P'K'}{PK}}\;=\;{\frac {\delta y}{R\delta \varphi \,}}.$

Dado que los meridianos se mapean a líneas de $x$ constante , debemos tener $x = R (λ - λ 0)$ y $δx = Rδλ$ , ( $λ$ en radianes). Por lo tanto, en el límite de elementos infinitesimalmente pequeños $\tan \beta ={\frac {R\sec \varphi }{y'(\varphi )}}\tan \alpha \,,\qquad k=\sec \varphi \,,\qquad h={\frac {y'(\varphi )}{R}}.$

En el caso de la proyección de Mercator, $y' (φ) = R sec φ$ , por lo que obtenemos $h = k$ y $α = β$ . El hecho de que $h = k$ es la isotropía de los factores de escala comentados anteriormente. El hecho de que $α = β$ refleja otra implicación de que el mapeo sea conforme, a saber, que un rumbo de navegación de acimut constante en el globo se proyecta en la misma cuadrícula de rumbo constante en el mapa.

Fórmulas para la distancia

Convertir la distancia medida con regla en el mapa de Mercator a la distancia real ( de círculo máximo ) en la esfera es sencillo a lo largo del ecuador, pero no en otras latitudes. Un problema es la variación de la escala con la latitud. Otro problema es que las líneas rectas en el mapa ( líneas de rumbo ), a excepción de los meridianos o el ecuador, no corresponden a círculos máximos.

Mercator comprendía la distinción entre la distancia de rumbo (navegación) y la distancia ortodrómica (distancia real). (Véase la leyenda 12 del mapa de 1569). Afirmaba que la distancia de rumbo es una aproximación aceptable para la distancia ortodrómica real en trayectos cortos o moderados, especialmente en latitudes bajas. Cuantificó su afirmación: «Cuando las distancias ortodrómicas que se miden cerca del ecuador no superan los 20 grados de un círculo máximo, o los 15 grados cerca de España y Francia, o los 8 e incluso los 10 grados en las regiones septentrionales, resulta conveniente utilizar las distancias de rumbo».

Para una medición con regla de una línea corta , con punto medio en la latitud $φ$ , donde el factor de escala $es$ $k$ $=$ $sec$ $φ$ $=$ $1$ $/$ $cos$ $φ$ $:$

Distancia real = distancia rumbo ≅ distancia de regla \times cos φ / RF

. (líneas cortas)

Con un radio y una circunferencia del círculo máximo iguales a 6371 km y 40030 km respectivamente , un factor de regresión (FR) de 1 / 300M , para el cual $R$ $=$ $2,12$ $cm$ y $W$ $=$ $13,34$ $cm$ , implica que una medición de regla de 3 mm en cualquier dirección desde un punto en el ecuador corresponde a aproximadamente 900 km. Las distancias correspondientes para latitudes de 20°, 40°, 60° y 80° son 846 km, 689 km, 450 km y 156 km respectivamente.

Las distancias más largas requieren diferentes enfoques.

En el ecuador

La escala es unitaria en el ecuador (para una proyección no secante). Por lo tanto, la interpretación de las medidas de una regla en el ecuador es:

Distancia real = distancia medida con regla / RF

(ecuador)

Para el modelo anterior, con $RF = 1 / 300M,$ 1 cm corresponde a 3000 $km$ .

En otros paralelismos

En cualquier otro paralelo el factor de escala es sec φ de modo que

Distancia paralela = distancia de la regla \times cos φ / RF

(paralelo).

En el modelo anterior, 1 cm corresponde a 1.500 km a una latitud de 60°.

Esta no es la distancia más corta entre los puntos extremos elegidos en el paralelo, ya que un paralelo no es un círculo máximo. La diferencia es pequeña para distancias cortas, pero aumenta a medida que $λ$ , la separación longitudinal, aumenta. Para dos puntos, A y B, separados por 10° de longitud en el paralelo a 60°, la distancia a lo largo del paralelo es aproximadamente 0,5 km mayor que la distancia del círculo máximo. (La distancia AB a lo largo del paralelo es $(a cos φ) λ. La longitud de la cuerda AB es 2(a cos φ) sen λ$ $/ 2 . Esta cuerda subtiende$ un $ángulo en el centro igual a 2arcsin (cos φ$ sen $λ / 2) y la distancia$ del círculo máximo entre A y B es $2a arcsin$ $($ $cos$ $φ$ $sen$ $λ$ $/$ $2$ $)$ $. ) En el caso extremo donde la separación longitudinal es$ $de$ 180°, la distancia a lo largo del paralelo es la mitad de la circunferencia de ese paralelo; es decir, 10.007,5 $km$ . Por otro lado, la geodésica entre estos puntos es un arco de círculo máximo que pasa por el polo y subtiende un ángulo de 60° en el centro: la longitud de este arco es un sexto de la circunferencia del círculo máximo, aproximadamente 6.672 km. La diferencia es de 3.338 km, por lo que la distancia medida con la regla a partir del mapa resulta bastante engañosa incluso después de corregir la variación latitudinal del factor de escala.

En un meridiano

Un meridiano del mapa es un círculo máximo en el globo terráqueo, pero la variación continua de la escala significa que la medición con regla por sí sola no puede proporcionar la distancia real entre puntos distantes en el meridiano. Sin embargo, si el mapa está marcado con una escala de latitud precisa y finamente espaciada de la cual la latitud se puede leer directamente, como es el caso del mapa del mundo Mercator de 1569 (hojas 3, 9, 15) y todas las cartas náuticas posteriores, la distancia meridiana entre dos latitudes $φ 1$ y $φ 2$ es simplemente... $m_{12}=a|\varphi _{1}-\varphi _{2}|.$

$Si no se pueden determinar con precisión las latitudes de los puntos extremos ,$ se pueden calcular mediante la distancia medida con la regla. Llamando meridianos y₁ e y₂ a las distancias medidas con la regla de los puntos extremos en el mapa, medidas desde el ecuador $,$ la $distancia real$ entre estos puntos en la esfera se obtiene utilizando cualquiera de las fórmulas de Mercator inversa: $m_{12}=a\left|\tan ^{-1}\left[\sinh \left({\frac {y_{1}}{R}}\right)\right]-\tan ^{-1}\left[\sinh \left({\frac {y_{2}}{R}}\right)\right]\right|,$ donde $R$ se puede calcular a partir del ancho $W$ del mapa mediante $R = ⁠ W / 2 π ⁠$ . Por ejemplo, en un mapa con $R = 1$ los valores de $y = 0, 1, 2, 3$ corresponden a latitudes de $φ = 0°, 50°, 75°, 84°$ y, por lo tanto, los intervalos sucesivos de 1 cm en el mapa corresponden a intervalos de latitud en el globo de 50°, 25°, 9° y distancias de 5560 km, 2780 km y 1000 km en la Tierra.

Al ritmo

Una línea recta en el mapa de Mercator con un ángulo $α respecto a los meridianos es una línea de rumbo. Cuando α = π$ $/$ 2 o 3π / $2, el rumbo corresponde a$ $uno$ $de$ $los$ $paralelos$ ; solo uno, el ecuador, es un círculo máximo. Cuando $α$ $=$ $0$ $o$ π $,$ $corresponde$ a un círculo máximo meridiano (si se prolonga alrededor del globo). Para todos los demás valores, es una espiral de polo a polo en el globo que interseca todos los meridianos con el mismo ángulo, y por lo tanto no es un círculo máximo. ^[³³^] Esta sección analiza únicamente el último de estos casos.

Si $α$ no es ni 0 ni $π,$ entonces la figura anterior de los elementos infinitesimales muestra que la longitud de una línea de rumbo infinitesimal en la esfera entre las latitudes $φ$ y $φ + δφ$ es $a sec α δφ$ . Dado que $α$ es constante en el rumbo, esta expresión se puede integrar para obtener, para líneas de rumbo finitas en la Tierra: $r_{12}=a\sec \alpha \,|\varphi _{1}-\varphi _{2}|=a\,\sec \alpha \;\Delta \varphi .$

Una vez más, si $Δφ$ se puede leer directamente de una escala de latitud precisa en el mapa, entonces la distancia lombarda entre los puntos del mapa con latitudes $φ₁$ $y$ $φ₂$ $viene dada$ $por$ la fórmula anterior. Si no existe tal escala $,$ entonces las distancias de la regla entre los puntos extremos y el ecuador, $y₁ e$ y₂ , dan el resultado mediante una fórmula inversa: $r_{12}=a\sec \alpha \left|\tan ^{-1}\sinh \left({\frac {y_{1}}{R}}\right)-\tan ^{-1}\sinh \left({\frac {y_{2}}{R}}\right)\right|.$

Estas fórmulas dan distancias de rumbo en la esfera que pueden diferir mucho de las distancias reales cuya determinación requiere cálculos más sofisticados. ^{[ e ]}

Generalización al elipsoide

Cuando la Tierra se modela mediante un esferoide ( elipsoide de revolución), la proyección de Mercator debe modificarse para que siga siendo conforme . Las ecuaciones de transformación y el factor de escala para la versión no secante son ^{[ 35 ].} ${\begin{aligned}x&=R\left(\lambda -\lambda _{0}\right),\\y&=R\ln \left[\tan \left({\frac {\pi }{4}}+{\frac {\varphi }{2}}\right)\left({\frac {1-e\sin \varphi }{1+e\sin \varphi }}\right)^{\frac {e}{2}}\right]=R\left(\sinh ^{-1}\left(\tan \varphi \right)-e\tanh ^{-1}(e\sin \varphi )\right),\\k&=\sec \varphi {\sqrt {1-e^{2}\sin ^{2}\varphi }}.\end{aligned}}$

El factor de escala $k es igual a la unidad en el ecuador, como debe ser$ $,$ ya que el cilindro es tangente al elipsoide en dicho punto. La corrección elipsoidal del factor de escala aumenta con la latitud, pero nunca supera $e²$ $,$ una corrección inferior al 1%. El valor de $e²$ es de aproximadamente 0,006 para todos los elipsoides de referencia. Este valor es mucho menor que la imprecisión de escala, excepto muy cerca del ecuador. Solo las proyecciones de Mercator precisas de regiones cercanas al ecuador requerirán las correcciones elipsoidales.

La inversa se resuelve de forma iterativa, ya que interviene la latitud isométrica .

Véase también

Cartografía
Proyección cilíndrica central : más distorsionada; a veces se describe erróneamente como el método de construcción de la proyección de Mercator.
Proyección cartográfica conforme
Proyección equirrectangular : menos distorsionada, pero no de área igual.
Proyección de Gall-Peters : una proyección cilíndrica de igual área
Lista de proyecciones cartográficas
Mapa del mundo de Mercator de 1569
Carta náutica
Proyección de Mercator oblicua
Omisión de Nueva Zelanda en los mapas : a menudo se cree que se debe a la proyección de Mercator.
Red de línea de rhumbline
La indicatriz de Tissot
Proyección de Mercator transversal
Sistema de coordenadas universal transversa de Mercator
Proyección Web Mercator

Notas

↑ La generatriz de un cilindro es una línea recta en la superficie paralela al eje del cilindro.
↑ La función $y (φ)$ no es completamente arbitraria: debe ser monótona creciente y antisimétrica ( $y (- φ) = - y (φ)$ , de modo que $y (0) = 0$ ): normalmente es continua con una primera derivada continua.
↑ Ejemplo más general de la indicatriz de Tissot: laproyección tripel de Winkel .
↑ $R$ es el radio del globo.
↑ Véase distancia geodésica , las fórmulas de Vincenty o Mathworld .

Referencias

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1 2 NIST. Véanse las secciones 4.26#ii y 4.23#viii
1 2 3 Osborne 2013 , Capítulo 2
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Bibliografía

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Lecturas adicionales

Rapp, Richard H (1991), Geodesia geométrica, Parte I , Departamento de Ciencias Geodésicas y Topografía de la Universidad Estatal de Ohio, hdl : 1811/24333

Enlaces externos

Ad maiorem Gerardi Mercatoris gloriam : contiene imágenes de alta resolución del mapa mundial de 1569 de Mercator.
Tabla de ejemplos y propiedades de todas las proyecciones comunes , de radicalcartography.net.
Un applet interactivo de Java para estudiar las deformaciones métricas de la proyección de Mercator .
Proyección de Mercator en la Universidad de Columbia Británica
Coordenadas de Google Maps
Mercator Extremo

[30] La generatriz de un cilindro es una línea recta en la superficie paralela al eje del cilindro.

[31] La función $y (φ)$ no es completamente arbitraria: debe ser monótona creciente y antisimétrica ( $y (- φ) = - y (φ)$ , de modo que $y (0) = 0$ ): normalmente es continua con una primera derivada continua.

[34] Ejemplo más general de la indicatriz de Tissot: laproyección tripel de Winkel .

[38] $R$ es el radio del globo.

[39] Véase distancia geodésica , las fórmulas de Vincenty o Mathworld .

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[12] Frederick Rickey, V.; Tuchinsky, Philip M. (mayo de 1980). "Una aplicación de la geografía a las matemáticas: historia de la integral de la secante" . Mathematics Magazine . 53 (3): 164. doi : 10.2307/2690106 . JSTOR 2690106. Consultado el 18 de agosto de 2022 .

[13] "Este mapa animado muestra el tamaño real de cada país" . Nature Index . 27 de agosto de 2019. Consultado el 20 de junio de 2023 .

[14] "Proyección de Mercator vs. Proyección de Peters, parte 1" . Matt T. Rosenberg, about.com.

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[Kellaway-16] Kellaway, GP (1946). Proyecciones cartográficas, págs. 37-38. Londres: Methuen & Co. LTD. (Según esta fuente, se había afirmado que la proyección de Mercator se utilizaba por "motivos imperialistas").

[Abelson-17] Abelson, CE (1954). Proyecciones cartográficas comunes , pág. 4. Sevenoaks: WH Smith & Sons.

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[20] Cartógrafo estadounidense. 1989. 16(3): 222–223.

[21] Javaid, Maham; Kai Chen, Janice; Meko, Tim (26 de agosto de 2025). "Así es como África quiere redibujar el mapa mundial" . The Washington Post . Consultado el 28 de agosto de 2025 .

[22] "¿Por qué Mercator para la web? ¿No es malo Mercator?" . www.mapthematics.com . Consultado el 12 de noviembre de 2024 .

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[26] "Proyección de Mercator" .

[27] Snyder, John P.; Philip M., Voxland (1989). Un álbum de proyecciones cartográficas . Documento profesional 1453. Oficina de Imprenta del Gobierno. pág. 218.

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[FOOTNOTESnyder1993-29] Snyder 1993 .

[SnyderManual-32] Snyder. Manual de trabajo, página 20.

[FOOTNOTESnyder198720Snyder1993147–149-33] Snyder 1987 , pág. 20; Snyder 1993 , págs. 147-149.

[gudermannian-35] 1 2 NIST. Véanse las secciones 4.26#ii y 4.23#viii

[osborne-36] 1 2 3 Osborne 2013 , Capítulo 2

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[40] Osborne 2013 , Capítulos 5, 6

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