Proyección cartográfica conforme

En cartografía , una proyección cartográfica conforme es aquella en la que cada ángulo entre dos curvas que se cruzan entre sí en la Tierra (una esfera o un elipsoide ) se conserva en la imagen de la proyección; es decir, la proyección es un mapa conforme en el sentido matemático. Por ejemplo, si dos carreteras se cruzan entre sí en un ángulo de 39°, sus imágenes en un mapa con una proyección conforme se cruzan en un ángulo de 39°.

Una proyección conforme se puede definir como una proyección que es localmente conforme en cada punto del mapa, aunque posiblemente con puntos singulares donde la conformidad falla. Por lo tanto, cada figura pequeña es casi similar a su imagen en el mapa. La proyección conserva la relación de dos longitudes en el dominio pequeño. Todas las indicatrices de Tissot de la proyección son círculos.

Las proyecciones conformes conservan sólo las figuras pequeñas. Las figuras grandes se distorsionan incluso con proyecciones conformes.

En una proyección conforme, cualquier figura pequeña es similar a la imagen, pero la relación de similitud ( escala ) varía según la ubicación, lo que explica la distorsión de la proyección conforme.

En una proyección conforme, los paralelos y meridianos se cruzan rectangularmente en el mapa; pero no todos los mapas con esta propiedad son conformes. Los contraejemplos son las proyecciones equirrectangulares y cilíndricas de áreas iguales (de aspectos normales). Estas proyecciones se expanden en el sentido del meridiano y en el sentido del paralelo en diferentes proporciones respectivamente. Por lo tanto, los paralelos y meridianos se cruzan rectangularmente en el mapa, pero estas proyecciones no conservan otros ángulos; es decir, estas proyecciones no son conformes.

Como lo demostró Leonhard Euler en 1775, una proyección de mapa conforme no puede ser de áreas iguales, ni una proyección de mapa de áreas iguales puede ser conforme. ^[1] Esto también es una consecuencia del Theorema Egregium [Teorema notable] de Carl Gauss de 1827 .

Una parametrización conforme de un dominio con forma de disco sobre la esfera se considera óptima en cuanto a escala cuando minimiza la relación entre la escala máxima y la mínima en todo el mapa. Esto se produce asignando una escala unitaria al límite del disco. Chebyshev aplicó este teorema para crear un mapa conforme para la parte europea del Imperio ruso, lo que redujo los errores de escala a 1/50. ^[2]

• Proyección de Mercator (proyección cilíndrica conforme)
  • Proyección de Mercator de aspecto normal (Cada línea de rumbo se dibuja como una línea recta en el mapa).
  • Proyección transversal de Mercator
    • Sistema de coordenadas de Gauss-Krüger (Esta proyección conserva las longitudes en el meridiano central de un elipsoide)
  • Proyección oblicua de Mercator
    • Proyección de Mercator oblicua espacial (una proyección modificada de la proyección de Mercator oblicua para órbitas satelitales con la rotación de la Tierra dentro de un rango cercano a la conformidad)
• Proyección cónica conforme de Lambert
  • Proyección cónica conforme oblicua (esta proyección a veces se utiliza para regiones con forma alargada, como los continentes de América o el archipiélago japonés ).
• Proyección estereográfica (proyección azimutal conforme. Cada círculo de la Tierra se dibuja como un círculo o una línea recta en el mapa).
  • Proyección estereográfica oblada de Miller (proyección estereográfica modificada para los continentes de África y Europa ). ^[3]
  • Proyección GS50 (Esta proyección está realizada a partir de una proyección estereográfica con un ajuste por un polinomio sobre números complejos .)
• Proyección Littrow (proyección retroazimutal conforme)
• Proyección de Lagrange (una proyección policónica y una composición de una proyección cónica conforme de Lambert y una transformación de Möbius ).
  • Proyección epicicloidal de agosto (una composición de la proyección de Lagrange de una esfera en un círculo y un polinomio de grado 3 sobre números complejos).
• Aplicación de la función elíptica
  • Proyección quincuncial de Peirce (Proyecta la Tierra en un cuadrado conformemente excepto en cuatro puntos singulares).
  • Proyección conforme de Lee del mundo en un tetraedro

Muchos mapas a gran escala utilizan proyecciones conformes porque las figuras en los mapas a gran escala pueden considerarse lo suficientemente pequeñas y son casi similares a sus contrapartes físicas.

Se puede utilizar una proyección no conforme en un dominio limitado de modo que la proyección sea localmente conforme. Al pegar muchas funciones se restaura la redondez. Para crear una nueva hoja a partir de muchas funciones o para cambiar el centro, se debe volver a proyectar el cuerpo.

Los mapas en línea sin fisuras pueden ser proyecciones de Mercator muy grandes , de modo que cualquier lugar puede convertirse en el centro del mapa y, en ese caso, el mapa sigue siendo conforme. Sin embargo, es difícil comparar longitudes o áreas de dos figuras distantes utilizando una proyección de este tipo.

El sistema de coordenadas transversal universal de Mercator y el sistema Lambert en Francia son proyecciones que respaldan el equilibrio entre uniformidad y variabilidad de escala.

Los mapas que reflejan direcciones, como una carta náutica o una carta aeronáutica , se proyectan mediante proyecciones conformes. Los mapas que tratan valores cuyos gradientes son importantes, como un mapa meteorológico con presión atmosférica , también se proyectan mediante proyecciones conformes.

Los mapas a pequeña escala tienen variaciones a gran escala en una proyección conforme, por lo que los mapas mundiales recientes utilizan otras proyecciones. Históricamente, muchos mapas mundiales se dibujan mediante proyecciones conformes, como los mapas de Mercator o los mapas hemisféricos mediante proyección estereográfica .

Los mapas conformes que contienen regiones grandes varían las escalas según la ubicación, por lo que es difícil comparar longitudes o áreas. Sin embargo, algunas técnicas requieren que una longitud de 1 grado en un meridiano = 111 km = 60 millas náuticas . En los mapas no conformes, estas técnicas no están disponibles porque las mismas longitudes en un punto varían las longitudes en el mapa.

En las proyecciones Mercator o estereográficas, las escalas varían según la latitud , por lo que a menudo se añaden escalas de barras por latitud. En las proyecciones complejas, como las de aspecto oblicuo, a veces se añaden gráficos de contornos de factores de escala.

• Lista de proyecciones cartográficas

• Euler, Leonhard (1778). "De repraesentatione superficiei sphaericae super plano" [Sobre la representación de superficies esféricas en un plano]. Acta Academiae Scientarum Imperialis Petropolitinae (en latín). 1777 (1): 107-132.E 490

• Adams, Oscar (1925). Funciones elípticas aplicadas a mapas del mundo conformes (PDF) . Publicación especial del Servicio Geodésico y Costero de Estados Unidos. Vol. 112. US GPO.
• Cox, Jacques-François (1935). "Répresentation de la Surface entière de la terre dans une Triangle équilatéral" [Representación de toda la superficie de la tierra en un triángulo equilátero]. Boletín de la Classe des Sciences, Académie Royale de Bélgica . 5e serie (en francés). 21 : 66–71.
• Furuti, Carlos (2005). "Proyecciones cartográficas: proyecciones conformes". progonos.com/furuti . Archivado desde el original el 15 de junio de 2018.
• Guyou, Émile (1887). "Nouveau système de proyección de la esfera: Généralisation de la proyección de Mercator" [Nuevo sistema de proyección de la esfera: Generalización de la proyección de Mercator]. Anales hidrográficos . Serie 2 (en francés). 9 : 16–35.
• Lee, LP (1976). Proyecciones conformes basadas en funciones elípticas . Monografías de Cartographica . Vol. 16. Toronto: BV Gutsell, York University. ISBN. 0-919870-16-3.Suplemento No. 1 de El Cartógrafo Canadiense 13.
• Leick, Alfred; Rapoport, Lev; Tatarnikov, Dmitry (2015). "Apéndice C: Mapeo conforme". Topografía satelital GPS . Wiley. págs. 715–739. doi :10.1002/9781119018612.app3. ISBN. 9781119018612.
• Peirce, Charles (1879). "Una proyección quincuncial de la esfera". American Journal of Mathematics . 2 (4): 394–397. doi :10.2307/2369491. JSTOR  2369491.
• Schwarz, Hermann (1869). "Ueber einige Abbildungsaufgaben" [Acerca de algunos problemas cartográficos]. Diario de Crelle (en alemán). 1869 (70): 105-120. doi :10.1515/crll.1869.70.105. S2CID  121291546.
• Snyder, John (1989). Álbum de proyecciones cartográficas (PDF) . Documentos profesionales del USGS. Vol. 1453. US GPO.
• Thomas, Paul (1952). Proyecciones conformes en geodesia y cartografía (PDF) . Publicación especial del Servicio Geodésico y Costero de Estados Unidos. Vol. 251. US GPO.