Máxima uniformidad

En la teoría de escalas (musicales) , un conjunto (escala) máximamente par es aquel en el que cada intervalo genérico tiene uno o dos intervalos específicos enteros consecutivos ; en otras palabras, una escala cuyas notas (pc) están "espaciadas lo más posible". Esta propiedad fue descrita por primera vez por John Clough y Jack Douthett. ^{[ 1 ]} Clough y Douthett también introdujeron el algoritmo máximamente par. Para una cardinalidad cromática c y una cardinalidad de conjunto de pc d, un conjunto máximamente par es

${\displaystyle D={\left\lfloor {\frac {ck+m}{d}}\right\rfloor }}$

donde k varía de 0 a d − 1 y m , 0 ≤ m ≤ c − 1 es fijo y el par de corchetes es la función piso . ^{[ 2 ]} Jack Douthett y Richard Krantz introdujeron conjuntos máximamente pares en la literatura matemática. ^{[ 3 ] [ 4 ]}

Se dice que una escala posee la propiedad de Myhill si cada intervalo genérico tiene dos tamaños específicos , y una escala con la propiedad de Myhill se denomina escala bien formada . ^{[ 5 ]} La colección diatónica es una escala bien formada y, además, es máximamente uniforme. La escala de tonos enteros también es máximamente uniforme, pero no está bien formada, ya que cada intervalo genérico tiene un solo tamaño.

La uniformidad máxima de segundo orden es la uniformidad máxima de una subcolección de una colección mayor que es máximamente uniforme. Las tríadas diatónicas y los acordes de séptima poseen uniformidad máxima de segundo orden, siendo máximamente uniformes con respecto a la escala diatónica máximamente uniforme, pero no son máximamente uniformes con respecto a la escala cromática. (ibid, p. 115) Esta cualidad anidada se asemeja al "formato reduccional" de Fred Lerdahl ^{[ 6 ]} para el espacio de alturas de abajo hacia arriba:

(Lerdahl, 1992)

En un enfoque dinámico , se han construido círculos concéntricos giratorios y conjuntos máximamente pares iterados. Este enfoque tiene implicaciones en la teoría neoriemanniana y conduce a algunas conexiones interesantes entre la teoría diatónica y la cromática . ^{[ 7 ]} Ian, Quinn, luego Emmanuel Amiot y otros han estudiado otra forma de definir conjuntos máximamente pares empleando transformadas discretas de Fourier : un conjunto ME con longitud k tiene un coeficiente de Fourier máximo con índice k . ^{[ 8 ] [ 9 ]}