Distribución t de la matriz

En estadística , la distribución t matricial (o distribución t matricial variable ) es la generalización de la distribución t multivariada de vectores a matrices . ^{[1] [2]}

La distribución t matricial comparte con la distribución t multivariante la misma relación que la distribución normal matricial comparte con la distribución normal multivariante : si la matriz tiene solo una fila o solo una columna, las distribuciones se vuelven equivalentes a la distribución (vectorial) multivariante correspondiente. La distribución t matricial es la distribución compuesta que resulta de una mezcla infinita de una distribución normal matricial con una distribución Wishart inversa colocada sobre cualquiera de sus matrices de covarianza, ^[1] y la distribución t multivariante se puede generar de manera similar. ^[2]

En un análisis bayesiano de un modelo de regresión lineal multivariante basado en la distribución normal matricial, la distribución t matricial es la distribución predictiva posterior . ^[3]

Para una distribución t matricial , la función de densidad de probabilidad en el punto de un espacio es ${\displaystyle \mathbf {X} }$${\displaystyle n\times p}$

${\displaystyle f(\mathbf {X} ;\nu ,\mathbf {M} ,{\boldsymbol {\Sigma }},{\boldsymbol {\Omega }})=K\times \left|\mathbf {I} _{n}+{\boldsymbol {\Sigma }}^{-1}(\mathbf {X} -\mathbf {M} ){\boldsymbol {\Omega }}^{-1}(\mathbf {X} -\mathbf {M} )^{\rm {T}}\right|^{-{\frac {\nu +n+p-1}{2}}},}$

donde la constante de integración K está dada por

${\displaystyle K={\frac {\Gamma _{p}\left({\frac {\nu +n+p-1}{2}}\right)}{(\pi )^{\frac {np}{2}}\Gamma _{p}\left({\frac {\nu +p-1}{2}}\right)}}|{\boldsymbol {\Omega }}|^{-{\frac {n}{2}}}|{\boldsymbol {\Sigma }}|^{-{\frac {p}{2}}}.}$

Aquí está la función gamma multivariada . ${\displaystyle \Gamma _{p}}$

La función característica y varias otras propiedades se pueden derivar de la distribución t matricial generalizada (ver más abajo).

La distribución matricial t generalizada es una generalización de la distribución matricial t con dos parámetros y en lugar de . ^[3]${\displaystyle \alpha }$${\displaystyle \beta }$${\displaystyle \nu }$

Esto se reduce a la distribución t de matriz estándar con${\displaystyle \beta =2,\alpha ={\frac {\nu +p-1}{2}}.}$

La distribución t matricial generalizada es la distribución compuesta que resulta de una mezcla infinita de una distribución normal matricial con una distribución gamma multivariada inversa colocada sobre cualquiera de sus matrices de covarianza.

Si entonces ^{[2] [3]}${\displaystyle \mathbf {X} \sim {\rm {T}}_{n,p}(\alpha ,\beta ,\mathbf {M} ,{\boldsymbol {\Sigma }},{\boldsymbol {\Omega }})}$

${\displaystyle \mathbf {X} ^{\rm {T}}\sim {\rm {T}}_{p,n}(\alpha ,\beta ,\mathbf {M} ^{\rm {T}},{\boldsymbol {\Omega }},{\boldsymbol {\Sigma }}).}$

La propiedad anterior proviene del teorema del determinante de Sylvester :

${\displaystyle \det \left(\mathbf {I} _{n}+{\frac {\beta }{2}}{\boldsymbol {\Sigma }}^{-1}(\mathbf {X} -\mathbf {M} ){\boldsymbol {\Omega }}^{-1}(\mathbf {X} -\mathbf {M} )^{\rm {T}}\right)=}$

${\displaystyle \det \left(\mathbf {I} _{p}+{\frac {\beta }{2}}{\boldsymbol {\Omega }}^{-1}(\mathbf {X} ^{\rm {T}}-\mathbf {M} ^{\rm {T}}){\boldsymbol {\Sigma }}^{-1}(\mathbf {X} ^{\rm {T}}-\mathbf {M} ^{\rm {T}})^{\rm {T}}\right).}$

Si y y son matrices no singulares entonces ^{[2] [3]}${\displaystyle \mathbf {X} \sim {\rm {T}}_{n,p}(\alpha ,\beta ,\mathbf {M} ,{\boldsymbol {\Sigma }},{\boldsymbol {\Omega }})}$${\displaystyle \mathbf {A} (n\times n)}$${\displaystyle \mathbf {B} (p\times p)}$

${\displaystyle \mathbf {AXB} \sim {\rm {T}}_{n,p}(\alpha ,\beta ,\mathbf {AMB} ,\mathbf {A} {\boldsymbol {\Sigma }}\mathbf {A} ^{\rm {T}},\mathbf {B} ^{\rm {T}}{\boldsymbol {\Omega }}\mathbf {B} ).}$

La función característica es ^[3]

${\displaystyle \phi _{T}(\mathbf {Z} )={\frac {\exp({\rm {tr}}(i\mathbf {Z} '\mathbf {M} ))|{\boldsymbol {\Omega }}|^{\alpha }}{\Gamma _{p}(\alpha )(2\beta )^{\alpha p}}}|\mathbf {Z} '{\boldsymbol {\Sigma }}\mathbf {Z} |^{\alpha }B_{\alpha }\left({\frac {1}{2\beta }}\mathbf {Z} '{\boldsymbol {\Sigma }}\mathbf {Z} {\boldsymbol {\Omega }}\right),}$

dónde

${\displaystyle B_{\delta }(\mathbf {WZ} )=|\mathbf {W} |^{-\delta }\int _{\mathbf {S} >0}\exp \left({\rm {tr}}(-\mathbf {SW} -\mathbf {S^{-1}Z} )\right)|\mathbf {S} |^{-\delta -{\frac {1}{2}}(p+1)}d\mathbf {S} ,}$

y donde está la función de Bessel tipo dos de Herz ^{[ aclaración necesaria ]} de un argumento matricial. ${\displaystyle B_{\delta }}$

• Distribución t multivariada
• Distribución normal matricial

• Una biblioteca C++ para generar matrices aleatorias