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identidad matricial de Woodbury

En matemáticas , específicamente en álgebra lineal , la identidad matricial de Woodbury —llamada así en honor a Max A. Woodbury [ 1 ] [ 2 ] — establece que la inversa de una cor...

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En matemáticas , específicamente en álgebra lineal , la identidad matricial de Woodbury —llamada así en honor a Max A. Woodbury [ 1 ] [ 2 ] — establece que la inversa de una corrección de rango k de una matriz puede calcularse aplicando una corrección de rango k a la inversa de la matriz original. Esta fórmula también se conoce como lema de inversión matricial , fórmula de Sherman-Morrison-Woodbury o simplemente fórmula de Woodbury . Sin embargo, la identidad apareció en varios artículos antes del informe de Woodbury. [ 3 ] [ 4 ]

La identidad de la matriz de Woodbury es [ 5 ](A+UdoV)−1=A−1−A−1U(do−1+VA−1U)−1VA−1,{\displaystyle \left(A+UCV\right)^{-1}=A^{-1}-A^{-1}U\left(C^{-1}+VA^{-1}U\right)^{-1}VA^{-1},}

donde A , U , C y V son matrices conformes : A es n × n , C es k × k , U es n × k y V es k × n . Esto se puede derivar utilizando la inversión de matrices por bloques .

Si bien la identidad se utiliza principalmente en matrices, se cumple en un anillo general o en una categoría Ab .

La identidad matricial de Woodbury permite el cálculo económico de inversas y soluciones de ecuaciones lineales. Sin embargo, se sabe poco sobre la estabilidad numérica de la fórmula. No existen resultados publicados sobre sus límites de error. La evidencia anecdótica [ 6 ] sugiere que puede divergir incluso para ejemplos aparentemente benignos (cuando tanto la matriz original como la modificada están bien condicionadas ).

Discusión

Para demostrar este resultado, comenzaremos demostrando uno más sencillo. Reemplazando A y C con la matriz identidad I , obtenemos otra identidad un poco más simple: (I+UV)−1=I−U(I+VU)−1V.{\displaystyle \left(I+UV\right)^{-1}=IU\left(I+VU\right)^{-1}V.} Para recuperar la ecuación original a partir de esta identidad reducida , reemplaceU{\displaystyle U}porA−1U{\displaystyle A^{-1}U}yV{\displaystyle V}pordoV{\displaystyle CV}.

Esta identidad misma puede considerarse como la combinación de dos identidades más simples. Obtenemos la primera identidad de I=(I+PAG)−1(I+PAG)=(I+PAG)−1+(I+PAG)−1PAG,{\displaystyle I=(I+P)^{-1}(I+P)=(I+P)^{-1}+(I+P)^{-1}P,} de este modo, (I+PAG)−1=I−(I+PAG)−1PAG,{\displaystyle (I+P)^{-1}=I-(I+P)^{-1}P,} y de manera similar (I+PAG)−1=I−PAG(I+PAG)−1.{\displaystyle (I+P)^{-1}=IP(I+P)^{-1}.} La segunda identidad es la denominada identidad de empuje [ 7 ].(I+UV)−1U=U(I+VU)−1{\displaystyle (I+UV)^{-1}U=U(I+VU)^{-1}} que obtenemos de U(I+VU)=(I+UV)U{\displaystyle U(I+VU)=(I+UV)U} después de multiplicar por(I+VU)−1{\displaystyle (I+VU)^{-1}}a la derecha y por(I+UV)−1{\displaystyle (I+UV)^{-1}}a la izquierda.

Resumiendo todo, (I+UV)−1=I−UV(I+UV)−1=I−U(I+VU)−1V.{\displaystyle \left(I+UV\right)^{-1}=I-UV\left(I+UV\right)^{-1}=IU\left(I+VU\right)^{-1}V.} donde la primera y la segunda igualdad provienen de la primera y la segunda identidad, respectivamente.

Casos especiales

CuandoV,U{\displaystyle V,U}son vectores , la identidad se reduce a la fórmula de Sherman-Morrison .

En el caso escalar , la versión reducida es simplemente 11+túv=1−túv1+vtú.{\displaystyle {\frac {1}{1+uv}}=1-{\frac {uv}{1+vu}}.}

Inverso de una suma

Si n = k y U = V = I n es la matriz identidad, entonces

(A+B)−1=A−1−A−1(B−1+A−1)−1A−1=A−1−A−1(AB−1+I)−1.{\displaystyle {\begin{aligned}\left(A+B\right)^{-1}&=A^{-1}-A^{-1}\left(B^{-1}+A^{-1}\right)^{-1}A^{-1}\\[1ex]&=A^{-1}-A^{-1}\left(AB^{-1}+{I}\right)^{-1}.\end{aligned}}}

Continuando con la fusión de los términos del lado derecho de la ecuación anterior, se obtiene la identidad de Hua.(A+B)−1=A−1−(A+AB−1A)−1.{\displaystyle \left({A}+{B}\right)^{-1}={A}^{-1}-\left({A}+{A}{B}^{-1}{A}\right)^{-1}.}

Otra forma útil de la misma identidad es (A−B)−1=A−1+A−1B(A−B)−1,{\displaystyle \left({A}-{B}\right)^{-1}={A}^{-1}+{A}^{-1}{B}\left({A}-{B}\right)^{-1},}

que, a diferencia de las anteriores, es válida incluso siB{\displaystyle B}es singular y tiene una estructura recursiva que produce (A−B)−1=∑k=0∞(A−1B)kA−1{\displaystyle \left({A}-{B}\right)^{-1}=\sum _{k=0}^{\infty }\left({A}^{-1}{B}\right)^{k}{A}^{-1}} si el radio espectral deA−1B{\displaystyle A^{-1}B}es menor que uno. Es decir, si la suma anterior converge, entonces es igual a(A−B)−1{\displaystyle (A-B)^{-1}}.

Esta forma se puede utilizar en expansiones perturbativas donde B es una perturbación de A.

Variaciones

Teorema del inverso del binomio

Si A , B , U , V son matrices de tamaños n × n , k × k , n × k , k × n , respectivamente, entonces (A+UBV)−1=A−1−A−1UB(B+BVA−1UB)−1BVA−1{\displaystyle \left(A+UBV\right)^{-1}=A^{-1}-A^{-1}UB\left(B+BVA^{-1}UB\right)^{-1}BVA^{-1}}

siempre que A y B + BVA −1 UB sean no singulares. La no singularidad de este último requiere que B −1 exista ya que es igual a B ( I + VA −1 UB ) y el rango de este último no puede exceder el rango de B . [ 7 ]

Dado que B es invertible, los dos términos B que flanquean la cantidad entre paréntesis inversa en el lado derecho se pueden reemplazar con ( B −1 ) −1 , lo que da como resultado la identidad de Woodbury original.

Una variación para cuando B es singular y posiblemente incluso no cuadrado: [ 7 ](A+UBV)−1=A−1−A−1U(I+BVA−1U)−1BVA−1.{\displaystyle (A+UBV)^{-1}=A^{-1}-A^{-1}U(I+BVA^{-1}U)^{-1}BVA^{-1}.}

También existen fórmulas para ciertos casos en los que A es singular. [ 8 ]

Pseudoinversa con matrices semidefinidas positivas

En general, la identidad de Woodbury no es válida si una o más inversas se reemplazan por pseudoinversas (de Moore-Penrose) . Sin embargo, siA{\displaystyle A}ydo{\displaystyle C}son semidefinidas positivas yV=UH{\displaystyle V=U^{\mathrm {H} }}(lo que implica queA+UdoV{\displaystyle A+UCV}es en sí misma semidefinida positiva), entonces la siguiente fórmula proporciona una generalización: [ 9 ] [ 10 ](incógnitaincógnitaH+YYH)+=(ZZH)++(I−YZ+)Hincógnita+Hmiincógnita+(I−YZ+),Z=(I−incógnitaincógnita+)Y,mi=I−incógnita+Y(I−Z+Z)F−1(incógnita+Y)H,F=I+(I−Z+Z)YH(incógnitaincógnitaH)+Y(I−Z+Z),{\displaystyle {\begin{aligned}\left(XX^{\mathrm {H} }+YY^{\mathrm {H} }\right)^{+}&=\left(ZZ^{\mathrm {H} }\right)^{+}+\left(I-YZ^{+}\right)^{\mathrm {H} }X^{+\mathrm {H} }EX^{+}\left(I-YZ^{+}\right),\\Z&=\left(I-XX^{+}\right)Y,\\E&=I-X^{+}Y\left(I-Z^{+}Z\right)F^{-1}\left(X^{+}Y\right)^{\mathrm {H} },\\F&=I+\left(I-Z^{+}Z\right)Y^{\mathrm {H} }\left(XX^{\mathrm {H} }\right)^{+}Y\left(I-Z^{+}Z\right),\end{aligned}}}

dóndeA+UdoUH{\displaystyle A+UCU^{\mathrm {H} }}se puede escribir comoincógnitaincógnitaH+YYH{\displaystyle XX^{\mathrm {H} }+YY^{\mathrm {H} }}porque cualquier matriz semidefinida positiva es igual aMETROMETROH{\displaystyle MM^{\mathrm {H} }}para algunosMETRO{\displaystyle M}.

Derivaciones

Prueba directa

La fórmula se puede comprobar verificando que(A+UdoV){\displaystyle (A+UCV)}multiplicado por su supuesta inversa en el lado derecho de la identidad de Woodbury da como resultado la matriz identidad: (A+UdoV)[A−1−A−1U(do−1+VA−1U)−1VA−1]={I−U(do−1+VA−1U)−1VA−1}+{UdoVA−1−UdoVA−1U(do−1+VA−1U)−1VA−1}={I+UdoVA−1}−{U(do−1+VA−1U)−1VA−1+UdoVA−1U(do−1+VA−1U)−1VA−1}=I+UdoVA−1−(U+UdoVA−1U)(do−1+VA−1U)−1VA−1=I+UdoVA−1−Udo(do−1+VA−1U)(do−1+VA−1U)−1VA−1=I+UdoVA−1−UdoVA−1=I.{\displaystyle {\begin{aligned}&\left(A+UCV\right)\left[A^{-1}-A^{-1}U\left(C^{-1}+VA^{-1}U\right)^{-1}VA^{-1}\right]\\={}&\left\{I-U\left(C^{-1}+VA^{-1}U\right)^{-1}VA^{-1}\right\}+\left\{UCVA^{-1}-UCVA^{-1}U\left(C^{-1}+VA^{-1}U\right)^{-1}VA^{-1}\right\}\\={}&\left\{I+UCVA^{-1}\right\}-\left\{U\left(C^{-1}+VA^{-1}U\right)^{-1}VA^{-1}+UCVA^{-1}U\left(C^{-1}+VA^{-1}U\right)^{-1}VA^{-1}\right\}\\={}&I+UCVA^{-1}-\left(U+UCVA^{-1}U\right)\left(C^{-1}+VA^{-1}U\right)^{-1}VA^{-1}\\={}&I+UCVA^{-1}-UC\left(C^{-1}+VA^{-1}U\right)\left(C^{-1}+VA^{-1}U\right)^{-1}VA^{-1}\\={}&I+UCVA^{-1}-UCVA^{-1}\\={}&I.\end{aligned}}}

Pruebas alternativas

Aplicaciones

Esta identidad es útil en ciertos cálculos numéricos donde A − 1 ya ha sido calculado y se desea calcular ( A  + UCV ) − 1 . Con la inversa de A disponible, solo es necesario encontrar la inversa de C −1 + VA −1 U para obtener el resultado usando el lado derecho de la identidad. Si C tiene una dimensión mucho menor que A , esto es más eficiente que invertir A + UCV directamente. Un caso común es encontrar la inversa de una actualización de bajo rango A + UCV de A (donde U solo tiene unas pocas columnas y V solo unas pocas filas), o encontrar una aproximación de la inversa de la matriz A + B donde la matriz B puede ser aproximada por una matriz de bajo rango UCV , por ejemplo usando la descomposición en valores singulares .         

Esto se aplica, por ejemplo, en el filtro de Kalman y en los métodos de mínimos cuadrados recursivos , para reemplazar la solución paramétrica , que requiere la inversión de una matriz del tamaño de un vector de estado, por una solución basada en ecuaciones de condición. En el caso del filtro de Kalman, esta matriz tiene las dimensiones del vector de observaciones, es decir, tan pequeña como 1 si solo se procesa una nueva observación a la vez. Esto acelera significativamente los cálculos del filtro, que a menudo se realizan en tiempo real.

En el caso en que C es la matriz identidad I , la matrizI+VA−1U{\displaystyle I+VA^{-1}U}se conoce en álgebra lineal numérica y ecuaciones diferenciales parciales numéricas como la matriz de capacitancia . [ 4 ]

Véase también

Notas

  1. ↑ Max A. Woodbury, Inversión de matrices modificadas , Memorándum Rept. 42, Statistical Research Group, Princeton University, Princeton, NJ, 1950, 4 págs. MR 0038136 
  2. ↑ Max A. Woodbury, La estabilidad de las matrices de entrada-salida . Chicago, Illinois, 1949. 5 págs. MR 0032564 
  3. ↑ Guttmann, Louis (1946). "Métodos de ampliación para calcular la matriz inversa" . Ann. Math. Statist . 17 (3): 336– 343. doi : 10.1214/aoms/1177730946 .
  4. 1 2 Hager, William W. (1989). "Actualización de la inversa de una matriz". SIAM Review . 31 (2): 221– 239. doi : 10.1137/1031049 . JSTOR 2030425 . MR 0997457 .  
  5. ↑ Higham, Nicholas ( 2002). Precisión y estabilidad de los algoritmos numéricos (2.ª ed.). SIAM . pág. 258. ISBN   978-0-89871-521-7. SR 1927606 . 
  6. ↑ "Discusión en MathOverflow" . MathOverflow .
  7. 1 2 3 Henderson, HV; Searle, SR (1981). "Sobre la derivación de la inversa de una suma de matrices" (PDF) . SIAM Review . 23 (1): 53– 60. doi : 10.1137/1023004 . hdl : 1813/32749 . JSTOR 2029838 . 
  8. ↑ Kurt S. Riedel, "Una identidad de Sherman-Morrison-Woodbury para matrices de aumento de rango con aplicación al centrado", SIAM Journal on Matrix Analysis and Applications , 13 (1992) 659-662, doi : 10.1137/0613040 preimpresión MR 1152773 
  9. ↑ Bernstein, Dennis S. (2018). Matemáticas escalares, vectoriales y matriciales: teoría, hechos y fórmulas (edición revisada y ampliada ). Princeton: Princeton University Press. pág. 638. ISBN   9780691151205.
  10. ↑ Schott, James R. (2017). Análisis matricial para estadística (Tercera ed.). Hoboken, Nueva Jersey: John Wiley & Sons, Inc. pág. 219. ISBN   9781119092483.
  • Press, WH; Teukolsky, SA; Vetterling, WT; Flannery, BP (2007), "Sección 2.7.3. Fórmula de Woodbury" , Numerical Recipes: The Art of Scientific Computing (3.ª  ed.), Nueva York: Cambridge University Press, ISBN 978-0-521-88068-8