Esfuerzo de torsión

El par de torsión respecto a un eje se puede calcular multiplicando la fuerza lineal aplicada perpendicularmente a una palanca por su distancia al punto de apoyo de la palanca (la longitud del brazo de palanca ).

Por lo tanto, el torque se define como el producto de la magnitud de la componente perpendicular de la fuerza y ​​la distancia de la línea de acción de una fuerza desde el punto alrededor del cual se está determinando.

En tres dimensiones, el par es un pseudovector ; para partículas puntuales , viene dado por el producto vectorial del vector de desplazamiento y el vector de fuerza . La dirección del par se puede determinar utilizando la regla de la mano derecha : si los dedos de la mano derecha se curvan desde la dirección del brazo de palanca hacia la dirección de la fuerza, entonces el pulgar apunta en la dirección del par. ^{[ 8 ]} De ello se deduce que el vector de par es perpendicular tanto al vector de posición como al de fuerza , y define el plano en el que se encuentran ambos vectores. La dirección del vector de par resultante se determina mediante la regla de la mano derecha . Por lo tanto, cualquier fuerza dirigida paralelamente al vector de posición de la partícula no produce un par. ^{[ 9 ] [ 10 ]} La magnitud del par aplicado a un cuerpo rígido depende de tres cantidades: la fuerza aplicada, el vector del brazo de palanca ^{[ 11 ]} que conecta el punto alrededor del cual se mide el par con el punto de aplicación de la fuerza, y el ángulo entre los vectores de fuerza y ​​brazo de palanca. En símbolos:

$${\displaystyle {\boldsymbol {\tau }}=\mathbf {r} \times \mathbf {F} \implies \tau =rF_{\perp }=rF\sin \theta }$$

dónde

• ${\displaystyle {\boldsymbol {\tau }}}$es el vector de par y${\displaystyle \tau }$es la magnitud del par;
• ${\displaystyle \mathbf {r} }$es el vector de posición (un vector desde el punto alrededor del cual se está midiendo el par hasta el punto donde se aplica la fuerza), y r es la magnitud del vector de posición;
• ${\displaystyle \mathbf {F} }$es el vector de fuerza , F es la magnitud del vector de fuerza y ​​F _⊥ es la cantidad de fuerza dirigida perpendicularmente a la posición de la partícula;
• ${\displaystyle \times }$denota el producto vectorial , que produce un vector que es perpendicular tanto a r como a F siguiendo la regla de la mano derecha ;
• ${\displaystyle \theta }$es el ángulo entre el vector de fuerza y ​​el vector del brazo de palanca.

La unidad del SI para el par motor es el newton-metro (N⋅m). Para más información sobre las unidades de par motor, consulte la sección  Unidades .

El torque neto sobre un cuerpo determina la tasa de cambio del momento angular del cuerpo ,

$${\displaystyle {\boldsymbol {\tau }}={\frac {\mathrm {d} \mathbf {L} }{\mathrm {d} t}}}$$

dónde${\textstyle \mathbf {L} }$es el vector de momento angular y${\textstyle t}$es el tiempo. Para el movimiento de una partícula puntual,

$${\displaystyle \mathbf {L} =I{\boldsymbol {\omega }},}$$

dónde${\textstyle I=mr^{2}}$es el momento de inercia y${\textstyle {\boldsymbol {\omega }}}$es el pseudovector de velocidad angular orbital . De ello se deduce que

$${\displaystyle {\boldsymbol {\tau }}_{\mathrm {net} }=I_{1}{\dot {\omega }}_{1}{\hat {\boldsymbol {e}}}_{1}+I_{2}{\dot {\omega }}_{2}{\hat {\boldsymbol {e}}}_{2}+I_{3}{\dot {\omega }}_{3}{\hat {\boldsymbol {e}}}_{3}+I_{1}\omega _{1}{\frac {\mathrm {d} {\hat {\boldsymbol {e}}}_{1}}{\mathrm {d} t}}+I_{2}\omega _{2}{\frac {\mathrm {d} {\hat {\boldsymbol {e}}}_{2}}{\mathrm {d} t}}+I_{3}\omega _{3}{\frac {\mathrm {d} {\hat {\boldsymbol {e}}}_{3}}{\mathrm {d} t}}=I{\boldsymbol {\dot {\omega }}}+{\boldsymbol {\omega }}\times (I{\boldsymbol {\omega }})}$$

usar la derivada de un vector es $${\displaystyle {\mathrm {d} {\hat {\boldsymbol {e}}}_{\text{i}} \over \mathrm {d} t}={\boldsymbol {\omega }}\times {\hat {\boldsymbol {e}}}_{\text{i}}}$$ Esta ecuación es el análogo rotacional de la segunda ley de Newton para partículas puntuales y es válida para cualquier tipo de trayectoria. En algunos casos simples, como un disco giratorio, donde solo se considera el momento de inercia en el eje de rotación, la segunda ley de Newton rotacional puede ser$${\displaystyle {\boldsymbol {\tau }}=I{\boldsymbol {\alpha }}}$$dónde${\displaystyle {\boldsymbol {\alpha }}={\dot {\boldsymbol {\omega }}}}$.

En física , rotatum es la derivada del torque con respecto al tiempo ^{[ 12 ].}

${\displaystyle \mathbf {P} ={\frac {\mathrm {d} {\boldsymbol {\tau }}}{\mathrm {d} t}},}$

donde τ es el par motor.

Esta palabra deriva del latín rotātus, que significa «rotar». El término rotatum no es universalmente reconocido, pero se usa comúnmente. No existe un léxico universalmente aceptado para indicar los derivados sucesivos de rotatum, aunque en ocasiones se han propuesto diversas variantes.

Utilizando la definición de producto vectorial del torque, una expresión alternativa para rotatum es:

${\displaystyle \mathbf {P} =\mathbf {r} \times {\frac {\mathrm {d} \mathbf {F} }{\mathrm {d} t}}+{\frac {\mathrm {d} \mathbf {r} }{\mathrm {d} t}}\times \mathbf {F} .}$

Porque la tasa de cambio de la fuerza es un tirón${\textstyle \mathbf {Y} }$y la tasa de cambio de posición es la velocidad${\textstyle \mathbf {v} }$La expresión se puede simplificar aún más a:

${\displaystyle \mathbf {P} =\mathbf {r} \times \mathbf {Y} +\mathbf {v} \times \mathbf {F} .}$

La ley de conservación de la energía también se puede utilizar para comprender el torque. Si se permite que una fuerza actúe a través de una distancia, está realizando trabajo mecánico . De manera similar, si se permite que un torque actúe a través de un desplazamiento angular , está realizando trabajo. Matemáticamente, para una rotación alrededor de un eje fijo que pasa por el centro de masa , el trabajo W se puede expresar como

$${\displaystyle W=\int _{\theta _{1}}^{\theta _{2}}\tau \ \mathrm {d} \theta ,}$$

donde τ es el par, y θ ₁ y θ _{2 representan (respectivamente) las} posiciones angulares inicial y final del cuerpo. ^{[ 13 ]}

Del principio de trabajo-energía se deduce que W también representa el cambio en la energía cinética rotacional E _r del cuerpo, dada por

$${\displaystyle E_{\mathrm {r} }={\tfrac {1}{2}}I\omega ^{2},}$$

donde I es el momento de inercia del cuerpo y ω es su velocidad angular . ^{[ 13 ]}

La potencia es el trabajo por unidad de tiempo , dado por

$${\displaystyle P={\boldsymbol {\tau }}\cdot {\boldsymbol {\omega }},}$$

donde P es la potencia, τ es el par, ω es la velocidad angular y${\displaystyle \cdot }$representa el producto escalar .

Algebraicamente, la ecuación puede reordenarse para calcular el par motor para una velocidad angular y una potencia de salida dadas. La potencia inyectada por el par depende únicamente de la velocidad angular instantánea, no de si la velocidad angular aumenta, disminuye o permanece constante mientras se aplica el par (esto es equivalente al caso lineal, donde la potencia inyectada por una fuerza depende únicamente de la velocidad instantánea, no de la aceleración resultante, si la hay).

Puede ser necesario un factor de conversión al usar diferentes unidades de potencia o par. Por ejemplo, si se usa la velocidad de rotación (unidad: revoluciones por minuto o segundo) en lugar de la velocidad angular (unidad: radianes por segundo), debemos multiplicar por 2π radianes por revolución. En las siguientes fórmulas, P es la potencia, τ es el par y ν ( la letra griega nu ) es la velocidad de rotación.

$${\displaystyle P=\tau \cdot 2\pi \cdot \nu }$$

Mostrando unidades:

$${\displaystyle P_{\rm {W}}=\tau _{\rm {N{\cdot }m}}\cdot 2\pi _{\rm {rad/rev}}\cdot \nu _{\rm {rev/s}}}$$

Dividiendo por 60 segundos por minuto obtenemos lo siguiente.

$${\displaystyle P_{\rm {W}}={\frac {\tau _{\rm {N{\cdot }m}}\cdot 2\pi _{\rm {rad/rev}}\cdot \nu _{\rm {rev/min}}}{\rm {60~s/min}}}}$$

donde la velocidad de rotación se expresa en revoluciones por minuto (rpm, rev/min).

Algunas personas (por ejemplo, los ingenieros automotrices estadounidenses) utilizan caballos de fuerza (mecánicos) para la potencia, libras-pie (lbf⋅ft) para el par motor y rpm para la velocidad de rotación. Esto hace que la fórmula cambie a:

$${\displaystyle P_{\rm {hp}}={\frac {\tau _{\rm {lbf{\cdot }ft}}\cdot 2\pi _{\rm {rad/rev}}\cdot \nu _{\rm {rev/min}}}{33,000}}.}$$

La constante que aparece a continuación (en libras-pie por minuto) cambia según la definición de la potencia; por ejemplo, utilizando la potencia métrica, se convierte en aproximadamente 32.550.

El uso de otras unidades (por ejemplo, BTU por hora para la energía) requeriría un factor de conversión personalizado diferente.

Un caso especial muy útil, que a menudo se da como la definición de torque en campos distintos a la física, es el siguiente:

$${\displaystyle \tau =({\text{moment arm}})({\text{force}}).}$$

La construcción del "brazo de palanca" se muestra en la figura de la derecha, junto con los vectores r y F mencionados anteriormente. El problema con esta definición es que no indica la dirección del torque, sino solo su magnitud, por lo que resulta difícil de usar en casos tridimensionales. Si la fuerza es perpendicular al vector de desplazamiento r , el brazo de palanca será igual a la distancia al centro, y el torque será máximo para la fuerza dada. La ecuación para la magnitud de un torque, resultante de una fuerza perpendicular, es la siguiente:

$${\displaystyle \tau =({\text{distance to centre}})({\text{force}}).}$$

Por ejemplo, si una persona aplica una fuerza de 10  N en el extremo terminal de una llave inglesa de 0,5  m de longitud (o una fuerza de 10  N que actúa a 0,5  m del punto de torsión de una llave inglesa de cualquier longitud), el par será de 5  N ⋅ m, suponiendo que la persona mueve la llave aplicando la fuerza en el plano de movimiento y perpendicular a la llave.

Para que un objeto se encuentre en equilibrio estático , no solo debe ser cero la suma de las fuerzas, sino también la suma de los torques (momentos) respecto a cualquier punto. En una situación bidimensional con fuerzas horizontales y verticales, la suma de las fuerzas se resuelve mediante dos ecuaciones: Σ H = 0 y Σ V = 0 , y el torque mediante una tercera ecuación: Σ τ = 0. Es decir, para resolver problemas de equilibrio estático determinado en dos dimensiones, se utilizan tres ecuaciones.

Cuando la fuerza neta sobre el sistema es cero, el torque medido desde cualquier punto del espacio es el mismo. Por ejemplo, el torque sobre una espira conductora de corriente en un campo magnético uniforme es el mismo independientemente del punto de referencia. Si la fuerza neta${\displaystyle \mathbf {F} }$no es cero, y${\displaystyle {\boldsymbol {\tau }}_{1}}$es el par medido desde${\displaystyle \mathbf {r} _{1}}$, entonces el par medido desde${\displaystyle \mathbf {r} _{2}}$es $${\displaystyle {\boldsymbol {\tau }}_{2}={\boldsymbol {\tau }}_{1}+(\mathbf {r} _{2}-\mathbf {r} _{1})\times \mathbf {F} }$$

El par motor forma parte de las especificaciones básicas de un motor : la potencia de salida de un motor se expresa como su par multiplicado por la velocidad angular del eje de transmisión. Los motores de combustión interna producen un par útil solo en un rango limitado de velocidades de rotación (normalmente de alrededor de 1000 a 6000 rpm para un coche pequeño). Se puede medir la variación del par de salida en ese rango con un dinamómetro y mostrarla como una curva de par. Las máquinas de vapor y los motores eléctricos tienden a producir el par máximo cerca de cero rpm, y el par disminuye a medida que aumenta la velocidad de rotación (debido al aumento de la fricción y otras limitaciones). Las máquinas de vapor y los motores eléctricos alternativos pueden arrancar cargas pesadas desde cero rpm sin embrague . 

En la práctica, la relación entre potencia y par motor se puede observar en las bicicletas : Las bicicletas suelen estar compuestas por dos ruedas, engranajes delanteros y traseros (denominados piñones ) que engranan con una cadena , y un mecanismo de cambio si el sistema de transmisión de la bicicleta permite el uso de múltiples relaciones de marcha (es decir, bicicleta de varias velocidades ), todo ello unido al cuadro . El ciclista , la persona que monta en la bicicleta, proporciona la potencia de entrada al girar los pedales, haciendo girar así el piñón delantero (comúnmente denominado plato ). La potencia de entrada proporcionada por el ciclista es igual al producto de la velocidad angular (es decir, el número de revoluciones del pedal por minuto multiplicado por 2π ) y el par motor en el eje del juego de bielas de la bicicleta . El sistema de transmisión de la bicicleta transmite la potencia de entrada a la rueda , que a su vez transmite la potencia recibida a la carretera como la potencia de salida de la bicicleta. Dependiendo de la relación de transmisión de la bicicleta, un par _{de entrada} (par, velocidad angular) se convierte en un par _{de salida} (par, velocidad angular) . Al usar una marcha trasera más grande, o al cambiar a una marcha más baja en bicicletas de varias velocidades, la velocidad angular de las ruedas disminuye mientras que el par aumenta, cuyo producto (es decir, la potencia) no cambia.

El par motor puede multiplicarse mediante tres métodos: ajustando el punto de apoyo para aumentar la longitud de la palanca; utilizando una palanca más larga; o mediante un reductor de velocidad o una caja de cambios . Este mecanismo multiplica el par motor al disminuir la velocidad de rotación.