Orientación (geometría)

En general, la posición y orientación en el espacio de un cuerpo rígido se definen como la posición y orientación, con respecto al sistema de referencia principal, de otro sistema de referencia, que está fijo con respecto al cuerpo y, por lo tanto, se traslada y rota con él (el sistema de referencia local del cuerpo o sistema de coordenadas local ). Se necesitan al menos tres valores independientes para describir la orientación de este sistema local. Otros tres valores describen la posición de un punto en el objeto. Todos los puntos del cuerpo cambian de posición durante una rotación, excepto aquellos que se encuentran sobre el eje de rotación. Si el cuerpo rígido tiene simetría rotacional, no todas las orientaciones son distinguibles, excepto observando cómo evoluciona la orientación en el tiempo a partir de una orientación inicial conocida. Por ejemplo, la orientación en el espacio de una línea , un segmento de línea o un vector se puede especificar con solo dos valores, por ejemplo, dos cosenos directores . Otro ejemplo es la posición de un punto en la Tierra, que a menudo se describe utilizando la orientación de una línea que lo une con el centro de la Tierra, medida utilizando los dos ángulos de longitud y latitud . Asimismo, la orientación de un plano también puede describirse con dos valores, por ejemplo, especificando la orientación de una línea normal a ese plano o utilizando los ángulos de rumbo e inclinación.

En las siguientes secciones se ofrecen más detalles sobre los métodos matemáticos para representar la orientación de cuerpos rígidos y planos en tres dimensiones.

En dos dimensiones, la orientación de cualquier objeto (línea, vector o figura plana ) viene dada por un único valor: el ángulo de rotación. Existe un único grado de libertad y un único punto fijo alrededor del cual se produce la rotación.

Cuando hay d dimensiones, la especificación de una orientación de un objeto que no tiene ninguna simetría rotacional requiere d ( d − 1) / 2 valores independientes.

El primer intento de representar una orientación se atribuye a Leonhard Euler . Imaginó tres sistemas de referencia que podían rotar entre sí y se dio cuenta de que, partiendo de un sistema de referencia fijo y realizando tres rotaciones, podía obtener cualquier otro sistema de referencia en el espacio (utilizando dos rotaciones para fijar el eje vertical y otra para fijar los otros dos ejes). Los valores de estas tres rotaciones se denominan ángulos de Euler .

Ángulos de Tait-Bryan

Se trata de tres ángulos, también conocidos como guiñada, cabeceo y alabeo, ángulos de navegación y ángulos de Cardán. Matemáticamente, constituyen un conjunto de seis posibilidades dentro de los doce conjuntos posibles de ángulos de Euler, siendo este orden el más adecuado para describir la orientación de un vehículo, como un avión. En ingeniería aeroespacial, se les suele denominar ángulos de Euler.

Euler también se percató de que la composición de dos rotaciones equivale a una sola rotación alrededor de un eje fijo diferente ( teorema de rotación de Euler ). Por lo tanto, la composición de los tres ángulos anteriores debe ser igual a una sola rotación, cuyo eje era difícil de calcular hasta que se desarrollaron las matrices.

Basándose en este hecho, introdujo un método vectorial para describir cualquier rotación, con un vector en el eje de rotación y un módulo igual al valor del ángulo. Por lo tanto, cualquier orientación puede representarse mediante un vector de rotación (también llamado vector de Euler) que la transforma desde el sistema de referencia. Cuando se utiliza para representar una orientación, el vector de rotación se denomina comúnmente vector de orientación o vector de actitud.

Un método similar, denominado representación eje-ángulo , describe una rotación u orientación utilizando un vector unitario alineado con el eje de rotación y un valor separado para indicar el ángulo (véase la figura).

Con la introducción de las matrices, los teoremas de Euler se reformularon. Las rotaciones se describían mediante matrices ortogonales, denominadas matrices de rotación o matrices de cosenos directores. Cuando se utiliza para representar una orientación, una matriz de rotación se conoce comúnmente como matriz de orientación o matriz de actitud.

El vector de Euler mencionado anteriormente es el vector propio de una matriz de rotación (una matriz de rotación tiene un único valor propio real ). El producto de dos matrices de rotación es la composición de rotaciones. Por lo tanto, como antes, la orientación se puede expresar como la rotación desde el sistema de referencia inicial hasta alcanzar el sistema de referencia que deseamos describir.

El espacio de configuración de un objeto no simétrico en un espacio n -dimensional es SO( n ) × R ⁿ . La orientación se puede visualizar asociando una base de vectores tangentes al objeto. La dirección hacia la que apunta cada vector determina su orientación.

Otra forma de describir las rotaciones es mediante cuaterniones de rotación , también llamados versores. Estos son equivalentes a matrices y vectores de rotación. En comparación con los vectores de rotación, se pueden convertir más fácilmente a matrices y viceversa. Cuando se utilizan para representar orientaciones, los cuaterniones de rotación suelen denominarse cuaterniones de orientación o cuaterniones de actitud.

La actitud de un cuerpo rígido es su orientación, descrita, por ejemplo, por la orientación de un marco fijo en el cuerpo con respecto a un marco de referencia fijo. La actitud se describe mediante coordenadas de actitud y consta de al menos tres coordenadas. ^{[ 2 ]} Un esquema para orientar un cuerpo rígido se basa en la rotación de los ejes del cuerpo; rotaciones sucesivas tres veces alrededor de los ejes del marco de referencia fijo del cuerpo, estableciendo así los ángulos de Euler del cuerpo . ^{[ 3 ] [ 4 ]} Otro se basa en el balanceo, el cabeceo y la guiñada , ^{[ 5 ]} aunque estos términos también se refieren a desviaciones incrementales de la actitud nominal.