Método de tríada

El método TRIAD es el primer algoritmo publicado para determinar la actitud de una nave espacial , introducido por primera vez por Harold Black en 1964. ^{[ 1 ] [ 2 ] [ 3 ]} Conociendo dos vectores en las coordenadas de referencia y del cuerpo de un satélite, el algoritmo TRIAD obtiene la matriz de cosenos directores correspondiente a ambos sistemas de referencia. Harold Black desempeñó un papel clave en el desarrollo de la guía, navegación y control del sistema de satélites Transit de la Armada de los Estados Unidos en los Laboratorios de Física Aplicada de Johns Hopkins. TRIAD representaba el estado de la práctica en la determinación de la actitud de las naves espaciales antes de la aparición del problema de Wahba ^{[ 4 ]} y sus diversas soluciones óptimas. Posteriormente, Markley proporcionó un análisis de covarianza para la solución de Black. ^{[ 5 ]}

En primer lugar, se consideran los vectores de referencia linealmente independientes.${\displaystyle {\vec {R}}_{1}}$y${\displaystyle {\vec {R}}_{2}}$. Dejar${\displaystyle {\vec {r}}_{1},{\vec {r}}_{2}}$sean las direcciones medidas correspondientes de los vectores unitarios de referencia resueltos en un sistema de referencia fijo al cuerpo. A continuación, se relacionan mediante las ecuaciones:

para${\displaystyle i=1,2}$, dónde${\displaystyle A}$es una matriz de rotación (a veces también conocida como matriz ortogonal propia , es decir,${\displaystyle A^{T}A=I,det(A)=+1}$).${\displaystyle A}$transforma vectores en el sistema de referencia fijo al cuerpo al sistema de referencia de los vectores de referencia. Entre otras propiedades, las matrices de rotación conservan la longitud del vector sobre el que operan. Nótese que la matriz de cosenos directores${\displaystyle A}$también transforma el vector de producto cruzado, escrito como,

TRIAD propone una estimación de la matriz de cosenos directores.${\displaystyle A}$como solución al sistema de ecuaciones lineales dado por

dónde${\displaystyle \vdots }$se han utilizado para separar diferentes vectores columna.

La solución presentada anteriormente funciona bien en el caso sin ruido. Sin embargo, en la práctica,${\displaystyle {\vec {r}}_{1},{\vec {r}}_{2}}$son ruidosos y la condición de ortogonalidad de la matriz de actitud (o la matriz de cosenos directores) no se conserva con el procedimiento anterior. TRIAD incorpora el siguiente procedimiento elegante para solucionar este problema. Para ello, se definen vectores unitarios,

y

Se utilizará en lugar de las dos primeras columnas de la ecuación ( 3 ). Su producto vectorial se utiliza como la tercera columna en el sistema lineal de ecuaciones, obteniendo una matriz ortogonal propia para la actitud de la nave espacial dada por lo siguiente:

Si bien las normalizaciones de las ecuaciones ( 4 ) - ( 7 ) no son necesarias, se han realizado para obtener una ventaja computacional al resolver el sistema lineal de ecuaciones en ( 8 ). Así, una estimación de la actitud de la nave espacial viene dada por la matriz ortogonal propia como

Cabe destacar que en este procedimiento se ha logrado eficiencia computacional al reemplazar la inversa de la matriz por su transpuesta. Esto es posible porque las matrices involucradas en el cálculo de la actitud están compuestas cada una por una TRIADA de vectores base ortonormales . El término "TRIADA" deriva su nombre de esta observación.

Es importante señalar que el método TRIAD siempre produce una matriz ortogonal propia, independientemente de la quiralidad de los vectores de referencia y del cuerpo empleados en el proceso de estimación. Esto se puede demostrar de la siguiente manera: En forma matricial dada

dónde ${\displaystyle \Gamma$ :=\left[{\hat {S}}~\vdots ~{\hat {M}}~\vdots ~{\hat {S}}\times {\hat {M}}\right]} y ${\displaystyle \Delta =\left[{\hat {s}}~\vdots ~{\hat {m}}~\vdots ~{\hat {s}}\times {\hat {m}}\right].}$ Tenga en cuenta que si las columnas de${\displaystyle \Gamma }$formen una TRÍADA zurda, luego las columnas de${\displaystyle \Delta }$También son zurdos debido a la correspondencia biunívoca entre los vectores. Esto se debe al simple hecho de que, en la geometría euclidiana, el ángulo entre dos vectores cualesquiera permanece invariante ante transformaciones de coordenadas. Por lo tanto, el determinante${\displaystyle det\left(\Gamma \right)}$es${\displaystyle 1}$o${\displaystyle -1}$dependiendo de si sus columnas son diestras o zurdas respectivamente (de manera similar,${\displaystyle \Delta =\pm 1}$). Tomando el determinante en ambos lados de la relación en la ecuación ( 10 ), se concluye que

Esto resulta muy útil en aplicaciones prácticas, ya que el analista siempre tiene garantizada una matriz ortogonal propia, independientemente de la naturaleza de las magnitudes vectoriales de referencia y medidas.

TRIAD se utilizó como técnica de determinación de actitud para procesar los datos de telemetría del sistema de satélites Transit (utilizado por la Armada de los EE. UU. para la navegación). Los principios del sistema Transit dieron origen a la constelación de satélites del sistema de posicionamiento global (GPS). En un problema de aplicación, los vectores de referencia suelen ser direcciones conocidas (por ejemplo, estrellas, campo magnético terrestre, vector de gravedad, etc.). Los vectores fijos al cuerpo son las direcciones medidas observadas por un sensor a bordo (por ejemplo, rastreador de estrellas, magnetómetro, etc.). Gracias a los avances en microelectrónica, los algoritmos de determinación de actitud como TRIAD se han integrado en una variedad de dispositivos (por ejemplo, teléfonos inteligentes, automóviles, tabletas, vehículos aéreos no tripulados, etc.), con un amplio impacto en la sociedad moderna.

• Dinámica y control de la actitud
• Orientación (Geometría)
• El problema de Wahba