función de Lyapunov

En la teoría de ecuaciones diferenciales ordinarias (EDO), las funciones de Lyapunov , que reciben su nombre de Aleksandr Lyapunov , son funciones escalares que se utilizan para demostrar la estabilidad de un equilibrio de una EDO. Las funciones de Lyapunov (también conocidas como el segundo método de Lyapunov para la estabilidad) son importantes para la teoría de la estabilidad de sistemas dinámicos y la teoría de control . Un concepto similar aparece en la teoría de cadenas de Markov de espacio de estados general, generalmente bajo el nombre de funciones de Foster-Lyapunov.

Para ciertas clases de ecuaciones diferenciales ordinarias (EDO), la existencia de funciones de Lyapunov es una condición necesaria y suficiente para la estabilidad. Si bien no existe una técnica general para construir funciones de Lyapunov para EDO, en muchos casos específicos se conoce su construcción. Por ejemplo, las funciones cuadráticas son suficientes para sistemas con un solo estado, la solución de una desigualdad matricial lineal particular proporciona funciones de Lyapunov para sistemas lineales, y las leyes de conservación a menudo pueden utilizarse para construir funciones de Lyapunov para sistemas físicos .

Definición

Una función de Lyapunov para un sistema dinámico autónomo

{\begin{cases}g:\mathbb {R} ^{n}\to \mathbb {R} ^{n}&\\{\dot {y}}=g(y)\end{cases}}

con un punto de equilibrio en $y=0$ es una función escalar $V:\mathbb {R} ^{n}\to \mathbb {R}$ es decir, es continua, tiene derivadas primeras continuas, es estrictamente positiva para $y\neq 0$ y para la cual la derivada temporal ${\dot {V}}=\nabla {V}\cdot g$ no es positivo (estas condiciones se requieren en alguna región que contiene el origen). La condición (más fuerte) que $-\nabla {V}\cdot g$ es estrictamente positivo para $y\neq 0$ a veces se dice como $-\nabla {V}\cdot g$ es localmente definida positiva , o $\nabla {V}\cdot g$ es localmente definida negativa .

Discusión adicional de los términos que surgen en la definición

Las funciones de Lyapunov surgen en el estudio de los puntos de equilibrio de los sistemas dinámicos. $\mathbb {R} ^{n},$ Un sistema dinámico autónomo arbitrario puede escribirse como

{\punto {y}}=g(y)

para algunos suaves $g:\mathbb {R} ^{n}\to \mathbb {R} ^{n}.$

Un punto de equilibrio es un punto $y^{*}$ de tal manera que $g\left(y^{*}\right)=0.$ Dado un punto de equilibrio, $y^{*},$ Siempre existe una transformación de coordenadas. $x=yy^{*},$ de tal manera que:

{\begin{cases}{\dot {x}}={\dot {y}}=g(y)=g\left(x+y^{*}\right)=f(x)\\f(0)=0\end{cases}}

Por lo tanto, al estudiar los puntos de equilibrio, basta con suponer que el punto de equilibrio se produce en $0$ .

Por la regla de la cadena, para cualquier función, $H:\mathbb {R} ^{n}\to \mathbb {R} ,$ La derivada temporal de la función evaluada a lo largo de una solución del sistema dinámico es

{\dot {H}}={\frac {d}{dt}}H(x(t))={\frac {\partial H}{\partial x}}\cdot {\frac {dx}{dt}}=\nabla H\cdot {\dot {x}}=\nabla H\cdot f(x).

Una función $H$ se define como una función localmente definida positiva (en el sentido de sistemas dinámicos) si ambas $H(0)=0$ y hay un barrio del origen, ${\mathcal {B}}$ , de tal manera que:

H(x)>0\quad \forall x\in {\mathcal {B}}\setminus \{0\}.

Teoremas básicos de Lyapunov para sistemas autónomos

Dejar $x^{*}=0$ ser un punto de equilibrio del sistema autónomo

{\dot {x}}=f(x).

y utilice la notación ${\dot {V}}(x)$ para denotar la derivada temporal de la función candidata de Lyapunov $V$ :

{\dot {V}}(x)={\frac {d}{dt}}V(x(t))={\frac {\partial V}{\partial x}}\cdot {\frac {dx}{dt}}=\nabla V\cdot {\dot {x}}=\nabla V\cdot f(x).

Equilibrio localmente asintóticamente estable

Si el punto de equilibrio está aislado, la función candidata de Lyapunov $V$ es localmente definida positiva, y la derivada temporal de la función candidata de Lyapunov es localmente definida negativa:

{\dot {V}}(x)<0\quad \forall x\in {\mathcal {B}}(0)\setminus \{0\},

para algún vecindario ${\mathcal {B}}(0)$ del origen, entonces se demuestra que el equilibrio es localmente asintóticamente estable.

Equilibrio estable

Si $V$ Si es una función de Lyapunov, entonces el equilibrio es estable de Lyapunov .

Equilibrio globalmente asintóticamente estable

Si la función candidata de Lyapunov $V$ es globalmente definida positiva, radialmente no acotada , el equilibrio está aislado y la derivada temporal de la función candidata de Lyapunov es globalmente definida negativa:

{\dot {V}}(x)<0\quad \forall x\in \mathbb {R} ^{n}\setminus \{0\},

Entonces se demuestra que el equilibrio es globalmente asintóticamente estable .

La función candidata de Lyapunov $V(x)$ es radialmente ilimitado si

\|x\|\to \infty \Rightarrow V(x)\to \infty .

(Esto también se conoce como coercitividad normativa).

Lo contrario también es cierto, ^{[ 1 ]} y fue demostrado por José Luis Massera (véase también el lema de Massera ).

Ejemplo

Considere la siguiente ecuación diferencial en $\mathbb {R}$ :

{\dot {x}}=-x.

Considerando que $x^{2}$ siempre es positivo alrededor del origen, es un candidato natural para ser una función de Lyapunov para ayudarnos a estudiar $x$ . Así que dejemos $V(x)=x^{2}$ en $\mathbb {R}$ . Entonces,

{\dot {V}}(x)=V'(x){\dot {x}}=2x\cdot (-x)=-2x^{2}<0.

Esto demuestra correctamente que la ecuación diferencial anterior, $x,$ es asintóticamente estable alrededor del origen. Nótese que, utilizando el mismo candidato de Lyapunov, se puede demostrar que el equilibrio también es globalmente asintóticamente estable.

Véase también

Referencias

↑ Massera, José Luis (1949), "Sobre las condiciones de estabilidad de Liapounoff", Annals of Mathematics , Segunda Serie, 50 (3): 705– 721, doi : 10.2307/1969558 , JSTOR 1969558 , MR 0035354

Weisstein, Eric W. "Función de Lyapunov" . MathWorld .
Khalil, HK (1996). Sistemas no lineales . Prentice Hall Upper Saddle River, NJ.
LaSalle, Joseph ; Lefschetz, Solomon (1961). Estabilidad mediante el método directo de Liapunov: con aplicaciones . Nueva York: Academic Press.
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