Permittivity

La capacitancia de un capacitor se basa en su diseño y arquitectura, lo que significa que no cambiará con la carga y descarga. La fórmula para la capacitancia en un capacitor de placas paralelas se escribe como

$${\displaystyle C=\varepsilon \ {\frac {A}{d}}}$$

dónde${\displaystyle A}$es el área de una placa,${\displaystyle d}$es la distancia entre las placas, y${\displaystyle \varepsilon }$es la permitividad del medio entre las dos placas. Para un capacitor con permitividad relativa${\displaystyle \kappa }$, se puede decir que

$${\displaystyle C=\kappa \ \varepsilon _{0}{\frac {A}{d}}}$$

La permitividad está relacionada con el flujo eléctrico (y por extensión el campo eléctrico) a través de la ley de Gauss . La ley de Gauss establece que para una superficie gaussiana cerrada , S ,

$${\displaystyle \Phi _{E}={\frac {Q_{\text{enc}}}{\varepsilon _{0}}}=\oint _{S}\mathbf {E} \cdot \mathrm {d} \mathbf {A} \ ,}$$ dónde${\displaystyle \Phi _{E}}$es el flujo eléctrico neto que pasa a través de la superficie,${\displaystyle Q_{\text{enc}}}$es la carga encerrada en la superficie gaussiana,${\displaystyle \mathbf {E} }$es el vector del campo eléctrico en un punto dado de la superficie, y${\displaystyle \mathrm {d} \mathbf {A} }$es un vector de área diferencial en la superficie gaussiana.

Si la superficie gaussiana encierra uniformemente una disposición de carga simétrica y aislada, la fórmula se puede simplificar a:

$${\displaystyle E\ A\ \cos \theta ={\frac {\;Q_{\text{enc}}}{\ \varepsilon _{0}\ }}\ ,}$$ dónde${\displaystyle \ \theta \ }$representa el ángulo entre las líneas del campo eléctrico y la normal (perpendicular) a S.

Si todas las líneas de campo eléctrico cruzan la superficie a 90°, la fórmula se puede simplificar aún más a:

$${\displaystyle \ E={\frac {\;Q_{\text{enc}}}{\ \varepsilon _{0}\ A\ }}~.}$$

Porque el área de la superficie de una esfera es${\displaystyle \ 4\pi r^{2}\ ,}$el campo eléctrico a distancia${\displaystyle r}$lejos de una disposición de carga esférica y uniforme es

$${\displaystyle \ E={\frac {Q}{\ \varepsilon _{0}A\ }}={\frac {Q}{\ \varepsilon _{0}\ \left(4\ \pi \ r^{2}\right)\ }}={\frac {Q}{\ 4\pi \ \varepsilon _{0}\ r^{2}\ }}~.}$$

Esta fórmula se aplica al campo eléctrico debido a una carga puntual, fuera de una esfera o capa conductora, fuera de una esfera aislante con carga uniforme o entre las placas de un condensador esférico.

A diferencia de la respuesta del vacío, la respuesta de los materiales normales a los campos externos generalmente depende de la frecuencia del campo. Esta dependencia de la frecuencia refleja el hecho de que la polarización de un material no cambia instantáneamente al aplicarle un campo eléctrico. La respuesta siempre debe ser causal (surgir después de la aplicación del campo), lo que puede representarse mediante una diferencia de fase. Por esta razón, la permitividad se suele tratar como una función compleja de la frecuencia (angular) ω del campo aplicado.

$${\displaystyle \varepsilon \rightarrow {\hat {\varepsilon }}(\omega )}$$

(ya que los números complejos permiten especificar la magnitud y la fase). La definición de permitividad se convierte, por lo tanto, en:

$${\displaystyle D_{0}\ e^{-i\omega t}={\hat {\varepsilon }}(\omega )\ E_{0}\ e^{-i\omega t}\ ,}$$ dónde

• D _o y E _o son las amplitudes de los campos de desplazamiento y eléctrico, respectivamente,
• i es la unidad imaginaria , i ² = − 1 .

La respuesta de un medio a campos eléctricos estáticos se describe mediante el límite de baja frecuencia de la permitividad, también llamado permitividad estática ε _s (también ε _DC ):

$${\displaystyle \varepsilon _{\mathrm {s} }=\lim _{\omega \rightarrow 0}{\hat {\varepsilon }}(\omega )~.}$$

En el límite de alta frecuencia (es decir, frecuencias ópticas), la permitividad compleja se suele denominar ε _∞ (o a veces ε _opt ^{[ 11 ]} ). A la frecuencia de plasma y por debajo de ella, los dieléctricos se comportan como metales ideales, con comportamiento de gas de electrones. La permitividad estática es una buena aproximación para campos alternos de bajas frecuencias, y a medida que aumenta la frecuencia, emerge una diferencia de fase medible δ entre D y E . La frecuencia a la que el cambio de fase se vuelve perceptible depende de la temperatura y de los detalles del medio. Para una intensidad de campo moderada ( E _o ), D y E permanecen proporcionales, y

$${\displaystyle {\hat {\varepsilon }}={\frac {D_{0}}{E_{0}}}=|\varepsilon |e^{-i\delta }~.}$$

Dado que la respuesta de los materiales a los campos alternos se caracteriza por una permitividad compleja, es natural separar sus partes real e imaginaria, lo cual se hace por convención de la siguiente manera:

$${\displaystyle {\hat {\varepsilon }}(\omega )=\varepsilon '(\omega )-i\varepsilon ''(\omega )=\left|{\frac {D_{0}}{E_{0}}}\right|\left(\cos \delta -i\sin \delta \right)~.}$$

dónde

• ε′ es la parte real de la permitividad;
• -ε″ es la parte imaginaria de la permitividad;
• δ es el ángulo de pérdida .

La elección del signo para la dependencia temporal, e ^{− iωt} , determina la convención de signos para la parte imaginaria de la permitividad.

La permitividad compleja suele ser una función compleja de la frecuencia ω , ya que describe de forma superpuesta los fenómenos de dispersión que ocurren a múltiples frecuencias. La función dieléctrica ε ( ω ) debe tener polos solo para frecuencias con partes imaginarias positivas y, por lo tanto, satisface las relaciones de Kramers-Kronig . Sin embargo, en los rangos de frecuencia estrechos que se estudian habitualmente en la práctica, la permitividad puede aproximarse como independiente de la frecuencia o mediante funciones modelo.

A una frecuencia dada, ε″ produce una pérdida por absorción si es positiva (según la convención de signos anterior) y una ganancia si es negativa. En términos más generales, deben considerarse las partes imaginarias de los autovalores del tensor dieléctrico anisotrópico.

In the case of solids, the complex dielectric function is intimately connected to band structure. The primary quantity that characterizes the electronic structure of any crystalline material is the probability of photon absorption, which is directly related to the imaginary part of the optical dielectric function ε(ω). The optical dielectric function is given by the fundamental expression:^[12]

$${\displaystyle \varepsilon (\omega )=1+{\frac {8\pi ^{2}e^{2}}{m^{2}}}\sum _{c,v}\int W_{c,v}(E){\bigl (}\varphi (\hbar \omega -E)-\varphi (\hbar \omega +E){\bigr )}\,\mathrm {d} x~.}$$

In this expression, W_c,v(E) represents the product of the Brillouin zone-averaged transition probability at the energy E with the joint density of states,^[13][14]J_c,v(E); φ is a broadening function, representing the role of scattering in smearing out the energy levels.^[15] In general, the broadening is intermediate between Lorentzian and Gaussian;^[16][17] for an alloy it is somewhat closer to Gaussian because of strong scattering from statistical fluctuations in the local composition on a nanometer scale.

According to the Drude model of magnetized plasma, a more general expression which takes into account the interaction of the carriers with an alternating electric field at millimeter and microwave frequencies in an axially magnetized semiconductor requires the expression of the permittivity as a non-diagonal tensor:^[18]

$${\displaystyle \mathbf {D} (\omega )={\begin{vmatrix}\varepsilon _{1}&-i\varepsilon _{2}&0\\i\varepsilon _{2}&\varepsilon _{1}&0\\0&0&\varepsilon _{z}\\\end{vmatrix}}\;\operatorname {\mathbf {E} } (\omega )}$$

If ε₂ vanishes, then the tensor is diagonal but not proportional to the identity and the medium is said to be a uniaxial medium, which has similar properties to a uniaxial crystal.

Los materiales se pueden clasificar según su permitividad de valor complejo ε , al comparar sus componentes real ε ′ e imaginaria ε ″ (o, equivalentemente, la conductividad σ , cuando se tiene en cuenta en esta última). Un conductor perfecto tiene conductividad infinita, σ = ∞ , mientras que un dieléctrico perfecto es un material que no tiene conductividad alguna, σ = 0 ; este último caso, de permitividad de valor real (o permitividad de valor complejo con componente imaginaria cero) también se asocia con el nombre de medios sin pérdidas . ^{[ 19 ]} Generalmente, cuando${\displaystyle {\frac {\sigma }{\omega \epsilon }}\ll 1}$consideramos que el material es un dieléctrico de bajas pérdidas (aunque no exactamente sin pérdidas), mientras que${\displaystyle {\frac {\sigma }{\omega \epsilon }}\gg 1}$Se asocia con un buen conductor ; los materiales con conductividad no despreciable presentan grandes pérdidas que inhiben la propagación de ondas electromagnéticas, por lo que también se denominan medios con pérdidas . Los materiales que no se encuentran dentro de ninguno de estos límites se consideran medios generales.

En el caso de un medio con pérdidas, es decir, cuando la corriente de conducción no es despreciable, la densidad de corriente total que fluye es:

$${\displaystyle J_{\text{tot}}=J_{\mathrm {c} }+J_{\mathrm {d} }=\sigma E+i\omega \varepsilon 'E=i\omega {\hat {\varepsilon }}E}$$

dónde

• σ es la conductividad del medio;
• ${\displaystyle \varepsilon '=\varepsilon _{0}\varepsilon _{\mathsf {r}}}$es la parte real de la permitividad.
• ${\displaystyle {\hat {\varepsilon }}=\varepsilon '-i\varepsilon ''}$es la permitividad compleja

Tenga en cuenta que esto utiliza la convención de ingeniería eléctrica de la ambigüedad del conjugado complejo ; la convención de física/química implica el conjugado complejo de estas ecuaciones.

La magnitud de la corriente de desplazamiento depende de la frecuencia ω del campo aplicado E ; no hay corriente de desplazamiento en un campo constante.

En este formalismo, la permitividad compleja se define como: ^{[ 20 ] [ 21 ]}

$${\displaystyle {\hat {\varepsilon }}=\varepsilon '\left(1-i{\frac {\sigma }{\omega \varepsilon '}}\right)=\varepsilon '-i{\frac {\sigma }{\omega }}}$$

En general, la absorción de energía electromagnética por los dieléctricos se explica mediante varios mecanismos diferentes que influyen en la forma de la permitividad en función de la frecuencia:

• En primer lugar, están los efectos de relajación asociados a los dipolos moleculares permanentes e inducidos . A bajas frecuencias, el campo cambia lo suficientemente lento como para permitir que los dipolos alcancen el equilibrio antes de que el campo haya cambiado de forma apreciable. Para frecuencias en las que las orientaciones de los dipolos no pueden seguir el campo aplicado debido a la viscosidad del medio, la absorción de la energía del campo produce disipación de energía. El mecanismo de relajación de los dipolos se denomina relajación dieléctrica y, para dipolos ideales, se describe mediante la relajación clásica de Debye .
• En segundo lugar, están los efectos de resonancia , que surgen de las rotaciones o vibraciones de átomos, iones o electrones . Estos procesos se observan en las proximidades de sus frecuencias de absorción características .

Los efectos mencionados anteriormente suelen combinarse para provocar efectos no lineales en los condensadores. Por ejemplo, la absorción dieléctrica se refiere a la incapacidad de un condensador cargado durante mucho tiempo para descargarse completamente tras una descarga breve. Si bien un condensador ideal permanecería a cero voltios después de la descarga, los condensadores reales desarrollan una pequeña tensión, un fenómeno también conocido como efecto de absorción o efecto de batería . Para algunos dieléctricos, como muchas películas de polímero, la tensión resultante puede ser inferior al 1-2% de la tensión original. Sin embargo, puede llegar a ser del 15-25% en el caso de condensadores electrolíticos o supercondensadores .

En términos de mecánica cuántica , la permitividad se explica mediante las interacciones atómicas y moleculares .

A bajas frecuencias, las moléculas en dieléctricos polares se polarizan por un campo eléctrico aplicado, lo que induce rotaciones periódicas. Por ejemplo, a la frecuencia de microondas , el campo de microondas provoca la rotación periódica de las moléculas de agua, suficiente para romper los enlaces de hidrógeno . El campo realiza trabajo contra los enlaces y la energía es absorbida por el material en forma de calor . Por eso, los hornos de microondas funcionan muy bien con materiales que contienen agua. Existen dos máximos en la componente imaginaria (el índice de absorción) del agua: uno a la frecuencia de microondas y otro a la frecuencia del ultravioleta lejano (UV). Ambas resonancias se encuentran a frecuencias superiores a la frecuencia de funcionamiento de los hornos de microondas.

A frecuencias moderadas, la energía es demasiado alta para provocar rotación, pero demasiado baja para afectar directamente a los electrones, y se absorbe en forma de vibraciones moleculares resonantes. En el agua, es en este rango donde el índice de absorción comienza a disminuir drásticamente, y el mínimo de la permitividad imaginaria se encuentra en la frecuencia de la luz azul (régimen óptico).

A altas frecuencias (como la ultravioleta y superiores), las moléculas no pueden relajarse y la energía es absorbida exclusivamente por los átomos, excitando los niveles de energía de los electrones . Por lo tanto, estas frecuencias se clasifican como radiación ionizante .

Si bien ahora es posible realizar un modelado ab initio completo (es decir, a partir de primeros principios) mediante cálculos computacionales, su aplicación aún no está muy extendida. Por lo tanto, se acepta que un modelo fenomenológico es un método adecuado para describir comportamientos experimentales. Los modelos de Debye y Lorentz utilizan una representación lineal de parámetros de sistema concentrados de primer y segundo orden (respectivamente), como un circuito resonante RC y LRC.