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Modelo Drude

Los electrones del modelo de Drude (mostrados aquí en azul) rebotan constantemente entre iones cristalinos estacionarios más pesados ​​(mostrados en rojo). El modelo de Drude o ...

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Los electrones del modelo de Drude (mostrados aquí en azul) rebotan constantemente entre iones cristalinos estacionarios más pesados ​​(mostrados en rojo).

El modelo de Drude o modelo de Drude-Lorentz de conducción eléctrica en metales fue propuesto en 1900 por Paul Drude y perfeccionado por Hendrik Lorentz en 1905. El modelo de Drude intenta explicar la conducción en términos de la dispersión de electrones (los portadores de electricidad) por los iones relativamente inmóviles del metal, que actúan como obstáculos al flujo de electrones. El modelo es una aplicación de la teoría cinética . Supone que cuando los electrones en un sólido se exponen a un campo eléctrico, se comportan de forma similar a una máquina de pinball . El mar de electrones en constante movimiento, que rebotan repetidamente contra iones positivos más pesados ​​y relativamente inmóviles, produce un movimiento colectivo neto en la dirección opuesta al campo eléctrico aplicado.

En términos modernos, esto se refleja en el modelo de electrones de valencia, donde el mar de electrones está compuesto únicamente por los electrones de valencia, [ 1 ] y no por el conjunto completo de electrones disponibles en el sólido, y los centros de dispersión son las capas internas de electrones fuertemente ligados al núcleo. [ 2 ] Los centros de dispersión tenían una carga positiva equivalente al número de valencia de los átomos. [ 3 ] Esta similitud, sumada a algunos errores de cálculo en el artículo de Drude, terminó proporcionando una teoría cualitativa razonable de los sólidos, capaz de hacer buenas predicciones en ciertos casos y dar resultados completamente erróneos en otros. Siempre que se intentó dar más sustancia y detalle a la naturaleza de los centros de dispersión, la mecánica de la dispersión y el significado de la longitud de dispersión, todos estos intentos terminaron en fracaso. [ 4 ]

Las longitudes de dispersión calculadas en el modelo de Drude son del orden de 10 a 100 distancias interatómicas, y tampoco se les pudieron dar explicaciones microscópicas adecuadas.

El modelo ofrece mejores predicciones para los metales, especialmente en lo que respecta a la conductividad, [ 5 ] y a veces se le denomina teoría de Drude de los metales. Esto se debe a que los metales presentan una aproximación esencialmente mejor al modelo de electrones libres , es decir, los metales no tienen estructuras de bandas complejas , los electrones se comportan esencialmente como partículas libres y, en el caso de los metales, el número efectivo de electrones deslocalizados es prácticamente igual al número de valencia. [ 6 ]

Los dos resultados más significativos del modelo de Drude son una ecuación electrónica de movimiento, ddt⟨pag(t)⟩=q(mi+⟨pag(t)⟩metro×B)−⟨pag(t)⟩τ,{\displaystyle {\frac {d}{dt}}\langle \mathbf {p} (t)\rangle =q\left(\mathbf {E} +{\frac {\langle \mathbf {p} (t)\rangle }{m}}\times \mathbf {B} \right)-{\frac {\langle \mathbf {p} (t)\rangle }{\tau }},} y una relación lineal entre la densidad de corriente J y el campo eléctrico E , J=norteq2τmetromi.{\displaystyle \mathbf {J} ={\frac {nq^{2}\tau }{m}}\,\mathbf {E}.}

Aquí t es el tiempo, ⟨ p ⟩ es el momento promedio por electrón y q, n, m y τ son, respectivamente, la carga, la densidad numérica, la masa y el tiempo libre medio entre colisiones iónicas del electrón. Esta última expresión es particularmente importante porque explica en términos semicuantitativos por qué se cumple la ley de Ohm , una de las relaciones más comunes en todo el electromagnetismo. [ 7 ] [ 8 ] [ 9 ]

Historia

En 1853, Gustav Wiedemann y Rudolph Franz descubrieron que la relación entre la conductividad térmica de un material y su conductividad eléctrica era universal; esta relación se conoció como la ley de Wiedemann-Franz . En 1881, Ludvig Lorenz también analizó la dependencia de la temperatura de esta relación, y la constante de proporcionalidad resultante se denominó constante de Lorenz. [ 10 ] En 1897, J.J. Thomson descubrió el electrón . [ 10 ]

El físico alemán Paul Drude trabajó en problemas relacionados con la óptica en su disertación de 1887, bajo la supervisión de Woldemar Voigt . Después de varios experimentos, intentó explicar las propiedades ópticas y eléctricas de los sólidos utilizando ecuaciones de movimiento en su artículo de 1899. [ 10 ] Inspirado por la teoría de Thomson, Paul Drude propuso su modelo microscópico de metales en febrero de 1900 [ 11 ] [ 10 ] (un segundo artículo se publicó en septiembre [ 12 ] ). Asumió un modelo simplificado del sólido: centros de dispersión con carga positiva y un gas de electrones, lo que da como resultado un sólido eléctricamente neutro, utilizando la teoría cinética de los gases . [ 13 ] Su modelo permitió derivar la ley de Wiedemann-Franz. [ 10 ]

En agosto, Drude también presentó su trabajo en el Congreso Internacional de Física de 1900 durante la Exposición Universal de París. Durante el congreso defendió la existencia de los electrones, que aún estaba en debate. [ 14 ] Independientemente de Drude, J.J. Thomson había derivado y presentado un modelo casi idéntico. [ 10 ] [ 15 ]

Crítica a Reinganum y correspondencia entre Einstein y Drude

Justo después de la publicación del artículo de Drude, Max Reinganum señaló que había un problema con el calor específico y que no estaba de acuerdo con la ley de Dulong-Petit . [ 10 ]

En 1901, Albert Einstein , durante sus estudios de doctorado, escribió una carta a Drude cuestionando la base estadística de su modelo. Las cartas nunca se encontraron, pero su contenido se ha reconstruido parcialmente a partir de la correspondencia de Einstein con Mileva Marić . La primera objeción de Einstein se refería a una laguna en la mecánica estadística de Ludwig Boltzmann , a lo que Drude respondió defendiendo a Boltzmann. La segunda objeción se formuló, pero su contenido se ha perdido. Tras su interacción, Einstein acabó escribiendo un artículo sobre mecánica estadística en 1902. [ 16 ] [ 17 ]

refinamiento de Lorentz

Hendrik Antoon Lorentz trabajó el papel del electrón en su teoría del éter de Lorentz y en su modelo de oscilador de Lorentz . En 1903, utilizó el modelo de Drude para derivar la ley de Planck en el límite de longitud de onda larga. [ 10 ] En una charla en Berlín en 1904, presentó un modelo de Drude refinado que publicó en 1905 y por lo tanto también se conoce como el modelo de Drude-Lorentz . [ 18 ] [ 19 ] [ 10 ] Introdujo los efectos del campo eléctrico y la temperatura de manera autoconsistente. Rudolf Seeliger consideró que Lorentz había logrado "para la estadística electrónica lo mismo que Boltzmann y [James Clerk] Maxwell habían logrado en su tiempo mediante su extensión de las ecuaciones originales de [Rudolf] Clausius ". [ 10 ]

Lorentz también corrigió un factor de 2 en la derivación de Drude de la ley de Wiedemann-Franz, lo que condujo a una predicción menos precisa. [ 10 ]

Nuevas críticas

En 1906, Richard Gans descubrió que el modelo de Drude no era del todo preciso con respecto a sus experimentos del efecto Hall , especialmente en lo que respecta al signo del coeficiente de Hall. En 1911, Karl Baedeker publicó que el modelo de Drude era inexacto para todos los fenómenos galvanomagnéticos. Ese mismo año, Niels Bohr también demostró en su tesis que (según el teorema de Bohr-Van Leeuwen ) el modelo de Drude no podía explicar el diamagnetismo en los metales. Esto lo llevó a formular su modelo atómico de Bohr. [ 10 ]

En 1911, también existía consenso en que el calor específico predicho por el modelo de Drude presentaba un problema. La predicción era errónea o la contribución de los electrones al calor específico era insignificante. [ 10 ] En 1912, en su modelo de Debye , Peter Debye demostró que el comportamiento del calor específico a bajas temperaturas podía explicarse mediante la contribución de la red cristalina, utilizando la teoría cuántica recientemente desarrollada . [ 10 ]

Wilhelm Wien escribió en 1913 que el modelo de Drude comenzaba a ser fuente de especulaciones falsas. Consideraba que «la cuestión de la conducción térmica y su conexión con la teoría cuántica no parece estar lo suficientemente desarrollada como para formular una teoría». [ 10 ]

En 1924, se organizó la cuarta Conferencia Solvay para tratar los problemas del modelo de Drude. Por aquel entonces, se discutían las teorías de la degeneración. En 1924, Einstein, trabajando con Satyendra Nath Bose , intentó aplicar la estadística de Bose-Einstein, recientemente desarrollada , a los electrones en un metal, pero demostró su incompatibilidad. En 1925, Wolfgang Pauli propuso el principio de exclusión para los electrones. Enrico Fermi y Paul Dirac llegaron de forma independiente a la estadística de Fermi-Dirac en 1926. Fermi, en particular, se vio motivado por los fallos del modelo de Drude. [ 10 ]

Modelo sucesor

Drude empleó la estadística de Maxwell-Boltzmann para el gas de electrones y para derivar el modelo, que era el único disponible en ese momento. Al reemplazar la estadística con la estadística de Fermi-Dirac correcta, Arnold Sommerfeld creó el modelo de electrones libres en 1927, mejorando significativamente las predicciones. [ 20 ] La teoría de Sommerfeld coincidió con mayor precisión con el valor experimental del número de Lorenz. [ 10 ] También resolvió el problema del calor específico. Presentó su teoría condensada durante la Conferencia de Como . [ 10 ]

Supuestos

Drude utilizó la teoría cinética de los gases aplicada al gas de electrones que se mueven sobre un fondo fijo de " iones "; esto contrasta con la forma habitual de aplicar la teoría de los gases como un gas neutro diluido sin fondo. Se asumió que la densidad numérica del gas de electrones era norte=norteAZρmetroA,{\displaystyle n={\frac {N_{\text{A}}Z\rho _{\text{m}}}{A}},} donde Z es el número efectivo de electrones deslocalizados por ion, para el cual Drude utilizó el número de valencia, A es la masa atómica por mol, [ 13 ]ρmetro{\displaystyle \rho _{\text{m}}}es la densidad de masa (masa por unidad de volumen) [ 13 ] de los "iones", y N A es la constante de Avogadro . Considerando el volumen promedio disponible por electrón como una esfera: Vnorte=1norte=43πrs3.{\displaystyle {\frac {V}{N}}={\frac {1}{n}}={\frac {4}{3}}\pi r_{\rm {s}}^{3}.} La cantidadrs{\displaystyle r_{\text{s}}}es un parámetro que describe la densidad electrónica y suele ser del orden de 2 o 3 veces el radio de Bohr ; para los metales alcalinos varía de 3 a 6 y algunos compuestos metálicos puede llegar hasta 10. Las densidades son del orden de 1000 veces las de un gas clásico típico. [ 21 ]

Los supuestos fundamentales del modelo de Drude son los siguientes:

  • Drude aplicó la teoría cinética de un gas diluido, a pesar de las altas densidades, ignorando así las interacciones electrón-electrón y electrón-ión, salvo las colisiones. [ 22 ]
  • El modelo de Drude considera que el metal está formado por una colección de iones con carga positiva de los cuales se han desprendido varios "electrones libres". Se puede pensar que estos son los electrones de valencia de los átomos que se han deslocalizado debido al campo eléctrico de los otros átomos. [ 21 ]
  • El modelo de Drude ignora la interacción de largo alcance entre el electrón y los iones o entre los electrones; esto se denomina aproximación de electrones independientes. [ 21 ]
  • Los electrones se mueven en línea recta entre una colisión y otra; esto se denomina aproximación del electrón libre. [ 21 ]
  • La única interacción de un electrón libre con su entorno se trató como colisiones con el núcleo impenetrable de los iones. [ 21 ]
  • El tiempo promedio entre colisiones sucesivas de dicho electrón es τ , con una distribución de Poisson sin memoria . La naturaleza del compañero de colisión del electrón no importa para los cálculos y conclusiones del modelo de Drude. [ 21 ]
  • Tras una colisión, la distribución de la velocidad y la dirección de un electrón está determinada únicamente por la temperatura local y es independiente de la velocidad del electrón antes de la colisión. [ 21 ] Se considera que el electrón se encuentra inmediatamente en equilibrio con la temperatura local después de una colisión.

Eliminar o mejorar cada una de estas suposiciones da como resultado modelos más refinados, que pueden describir con mayor precisión diferentes sólidos:

  • Mejorar la hipótesis de la estadística de Maxwell-Boltzmann con la estadística de Fermi-Dirac conduce al modelo de Drude-Sommerfeld .
  • Mejorar la hipótesis de la estadística de Maxwell-Boltzmann con la estadística de Bose-Einstein lleva a consideraciones sobre el calor específico de los átomos de espín entero [ 23 ] y al condensado de Bose-Einstein .
  • Un electrón de la banda de valencia en un semiconductor sigue siendo esencialmente un electrón libre en un rango de energía delimitado (es decir, solo una colisión de alta energía "rara" que implique un cambio de banda se comportaría de manera diferente); la aproximación de electrones independientes sigue siendo esencialmente válida (es decir, no hay dispersión electrón-electrón), donde en cambio se abandona la hipótesis sobre la localización de los eventos de dispersión (en términos sencillos, el electrón está y se dispersa por todas partes). [ 24 ]

Tratamiento matemático

campo de CC

El análisis más simple del modelo de Drude supone que el campo eléctrico E es uniforme y constante, y que la velocidad térmica de los electrones es suficientemente alta como para que acumulen solo una cantidad infinitesimal de momento d p entre colisiones, que ocurren en promedio cada τ segundos. [ 7 ]

Entonces, un electrón aislado en el tiempo t habrá estado viajando en promedio durante un tiempo τ desde su última colisión y, en consecuencia, habrá acumulado momento Δ⟨pag⟩=qmiτ.{\displaystyle \Delta \langle \mathbf {p} \rangle =q\mathbf {E} \tau .}

Durante su última colisión, este electrón habrá tenido la misma probabilidad de rebotar hacia adelante que hacia atrás, por lo que todas las contribuciones previas al momento del electrón pueden ignorarse, lo que resulta en la expresión ⟨pag⟩=qmiτ.{\displaystyle \langle \mathbf {p} \rangle =q\mathbf {E} \tau .}

Sustituyendo las relaciones ⟨pag⟩=metro⟨v⟩,J=norteq⟨v⟩,{\displaystyle {\begin{aligned}\langle \mathbf {p} \rangle &=m\langle \mathbf {v} \rangle ,\\\mathbf {J} &=nq\langle \mathbf {v} \rangle ,\end{aligned}}} da como resultado la formulación de la ley de Ohm mencionada anteriormente: J=norteq2τmetromi.{\displaystyle \mathbf {J} ={\frac {nq^{2}\tau }{m}}\mathbf {E}.}

Análisis variable en el tiempo

Respuesta de Drude de la densidad de corriente a un campo eléctrico alterno.

La dinámica también puede describirse introduciendo una fuerza de arrastre efectiva. En el instante t = t₀ + dt, el momento del electrón será: pag(t0+dt)=(1−dtτ)[pag(t0)+F(t)dt+O(dt2)]+dtτ(gramo(t0)+F(t)dt+O(dt2)){\displaystyle \mathbf {p} (t_{0}+dt)=\left(1-{\frac {dt}{\tau }}\right)\left[\mathbf {p} (t_{0})+\mathbf {f} (t)dt+O(dt^{2})\right]+{\frac {dt}{\tau }}\left(\mathbf {g} (t_{0})+\mathbf {f} (t)dt+O(dt^{2})\right)} dóndeF(t){\displaystyle \mathbf {f} (t)}puede interpretarse como una fuerza genérica (por ejemplo, la fuerza de Lorentz ) sobre el portador o, más específicamente, sobre el electrón.gramo(t0){\displaystyle \mathbf {g} (t_{0})}es el momento del portador con dirección aleatoria después de la colisión (es decir, con un momento⟨gramo(t0)⟩=0{\displaystyle \langle \mathbf {g} (t_ {0})\rangle =0}) y con energía cinética absoluta ⟨|gramo(t0)|⟩22metro=32KT.{\displaystyle {\frac {\langle |\mathbf {g} (t_{0})|\rangle ^{2}}{2m}}={\frac {3}{2}}KT.}

En promedio, una fracción de1−dtτ{\displaystyle \textstyle 1-{\frac {dt}{\tau }}}de los electrones no habrá experimentado otra colisión, la otra fracción que tuvo la colisión en promedio saldrá en una dirección aleatoria y contribuirá al momento total solo en un factordtτF(t)dt{\displaystyle \textstyle {\frac {dt}{\tau }}\mathbf {f} (t)dt}que es de segundo orden. [ 25 ]

Con un poco de álgebra y eliminando términos de ordendt2{\displaystyle dt^{2}}Esto da como resultado la ecuación diferencial genérica. ddtpag(t)=F(t)−pag(t)τ{\displaystyle {\frac {d}{dt}}\mathbf {p} (t)=\mathbf {f} (t)-{\frac {\mathbf {p} (t)}{\tau }}}

El segundo término es en realidad una fuerza de arrastre adicional o un término de amortiguación debido a los efectos de Drude.

campo eléctrico constante

En el instante t = t 0 + dt el momento promedio del electrón será ⟨pag(t0+dt)⟩=(1−dtτ)(⟨pag(t0)⟩+qmidt),{\displaystyle \langle \mathbf {p} (t_{0}+dt)\rangle =\left(1-{\frac {dt}{\tau }}\right)\left(\langle \mathbf {p} (t_{0})\rangle +q\mathbf {E} \,dt\right),} y luego ddt⟨pag(t)⟩=qmi−⟨pag(t)⟩τ,{\displaystyle {\frac {d}{dt}}\langle \mathbf {p} (t)\rangle =q\mathbf {E} -{\frac {\langle \mathbf {p} (t)\rangle }{\tau }},} donde ⟨ p ⟩ denota el momento promedio y q la carga de los electrones. Esta, que es una ecuación diferencial no homogénea, puede resolverse para obtener la solución general de ⟨pag(t)⟩=qτmi(1−mi−t/τ)+⟨pag(0)⟩mi−t/τ{\displaystyle \langle \mathbf {p} (t)\rangle =q\tau \mathbf {E} (1-e^{-t/\tau })+\langle \mathbf {p} (0)\rangle e^{-t/\tau }} para p ( t ) . La solución de estado estacionario , ⁠ d / dt ⁠ ⟨ p ⟩ = 0 , es entonces ⟨pag⟩=qτmi.{\displaystyle \langle \mathbf {p} \rangle =q\tau \mathbf {E}.}

Como se indicó anteriormente, el momento promedio puede estar relacionado con la velocidad promedio y esta a su vez puede estar relacionada con la densidad de corriente, ⟨pag⟩=metro⟨v⟩,J=norteq⟨v⟩,{\displaystyle {\begin{aligned}\langle \mathbf {p} \rangle &=m\langle \mathbf {v} \rangle ,\\\mathbf {J} &=nq\langle \mathbf {v} \rangle ,\end{aligned}}} y se puede demostrar que el material satisface la ley de Ohm.J=σ0mi{\displaystyle \mathbf {J} =\sigma _ {0}\mathbf {E}}con una conductividad de CC σ 0 : σ0=norteq2τmetro{\displaystyle \sigma _{0}={\frac {nq^{2}\tau }{m}}}

campo de CA

Conductividad compleja para diferentes frecuencias suponiendo que τ = 10 −5 y que σ 0 = 1 .

El modelo de Drude también puede predecir la corriente como respuesta a un campo eléctrico dependiente del tiempo con una frecuencia angular ω . La conductividad compleja es σ(ω)=σ01−iωτ=σ01+ω2τ2+iωτσ01+ω2τ2.{\displaystyle \sigma (\omega )={\frac {\sigma _{0}}{1-i\omega \tau }}={\frac {\sigma _{0}}{1+\omega ^{2}\tau ^{2}}}+i\omega \tau {\frac {\sigma _{0}}{1+\omega ^{2}\tau ^{2}}}.}

Aquí se supone que: mi(t)=ℜ(mi0mi−iωt);J(t)=ℜ(σ(ω)mi0mi−iωt).{\displaystyle {\begin{aligned}E(t)&=\Re {\left(E_{0}e^{-i\omega t}\right)};\\J(t)&=\Re \left(\sigma (\omega )E_{0}e^{-i\omega t}\right).\end{aligned}}} En ingeniería, la i se suele sustituir por −i (o −j ) en todas las ecuaciones, lo que refleja la diferencia de fase con respecto al origen, en lugar del retraso en el punto de observación que viaja en el tiempo .

Demostración utilizando la ecuación de movimiento [ 26 ]

Dado pag(t)=ℜ(pag(ω)mi−iωt)mi(t)=ℜ(mi(ω)mi−iωt){\displaystyle {\begin{aligned}\mathbf {p} (t)&=\Re {\left(\mathbf {p} (\omega )e^{-i\omega t}\right)}\\\mathbf {E} (t)&=\Re {\left(\mathbf {E} (\omega )e^{-i\omega t}\right)}\end{aligned}}} Y la ecuación de movimiento anterior ddtpag(t)=−mimi−pag(t)τ{\displaystyle {\frac {d}{dt}}\mathbf {p} (t)=-e\mathbf {E} -{\frac {\mathbf {p} (t)}{\tau }}} sustituyendo −iωpag(ω)=−mimi(ω)−pag(ω)τ{\displaystyle -i\omega \mathbf {p} (\omega )=-e\mathbf {E} (\omega )-{\frac {\mathbf {p} (\omega )}{\tau }}} Dado j=−nortemipagmetroj(t)=ℜ(j(ω)mi−iωt)j(ω)=−nortemipag(ω)metro=(nortemi2/metro)mi(ω)1/τ−iω{\displaystyle {\begin{aligned}\mathbf {j} &=-ne{\frac {\mathbf {p} }{m}}\\\mathbf {j} (t)&=\Re {\left(\mathbf {j} (\omega )e^{-i\omega t}\right)}\\\mathbf {j} (\omega )&=-ne{\frac {\mathbf {p} (\omega )}{m}}={\frac {(ne^{2}/m)\mathbf {E} (\omega )}{1/\tau -i\omega }}\end{aligned}}} Definiendo la conductividad compleja a partir de: j(ω)=σ(ω)mi(ω){\displaystyle \mathbf {j} (\omega )=\sigma (\omega )\mathbf {E} (\omega )} Tenemos: σ(ω)=σ01−iωτ;σ0=nortemi2τmetro{\displaystyle \sigma (\omega )={\frac {\sigma _{0}}{1-i\omega \tau }};\sigma _{0}={\frac {ne^{2}\tau }{m}}}

La parte imaginaria indica que la corriente se retrasa con respecto al campo eléctrico. Esto sucede porque los electrones necesitan aproximadamente un tiempo τ para acelerarse en respuesta a un cambio en el campo eléctrico. Aquí se aplica el modelo de Drude a los electrones; sin embargo, puede aplicarse tanto a electrones como a huecos, es decir, portadores de carga positiva en semiconductores. Las curvas de σ ( ω ) se muestran en el gráfico.

Si un campo eléctrico que varía sinusoidalmente con frecuenciaω{\displaystyle \omega }Al aplicarse sobre el sólido, los electrones con carga negativa se comportan como un plasma que tiende a desplazarse una distancia x respecto al fondo con carga positiva. Como resultado, la muestra se polariza y se genera un exceso de carga en las superficies opuestas de la misma.

La constante dieléctrica de la muestra se expresa como εr=Dε0mi=1+PAGε0mi{\displaystyle \varepsilon _{r}={\frac {D}{\varepsilon _{0}E}}=1+{\frac {P}{\varepsilon _{0}E}}} dóndeD{\displaystyle D}es el desplazamiento eléctrico yPAG{\displaystyle P}es la densidad de polarización .

La densidad de polarización se escribe como PAG(t)=ℜ(PAG0miiωt){\displaystyle P(t)=\Re {\left(P_{0}e^{i\omega t}\right)}} y la densidad de polarización con n densidad de electrones es PAG=−nortemiincógnita{\displaystyle P=-nex} Después de un poco de álgebra, la relación entre la densidad de polarización y el campo eléctrico se puede expresar como PAG=−nortemi2metroω2mi{\displaystyle P=-{\frac {ne^{2}}{m\omega ^{2}}}E} La función dieléctrica del sólido, que depende de la frecuencia, es εr(ω)=1−nortemi2ε0metroω2{\displaystyle \varepsilon _{r}(\omega )=1-{\frac {ne^{2}}{\varepsilon _{0}m\omega ^{2}}}}

Demostración utilizando las ecuaciones de Maxwell [ 27 ]

Dadas las aproximaciones para laσ(ω){\displaystyle \sigma (\omega )}incluido arriba

  • Supusimos que no había campo electromagnético: este siempre es menor por un factor v/c dado el término de Lorentz adicional.−mipagmetrodo×B{\displaystyle -{\frac {e\mathbf {p} }{mc}}\times \mathbf {B} }en la ecuación de movimiento
  • Partimos de la base de un campo espacialmente uniforme: esto es cierto si el campo no oscila considerablemente a lo largo de unos pocos caminos libres medios de los electrones. Sin embargo, esto no suele ser así: el camino libre medio es del orden de los angstroms, que corresponden a longitudes de onda típicas de los rayos X.

Las siguientes son las ecuaciones de Maxwell sin fuentes (que se tratan por separado en el ámbito de las oscilaciones del plasma ), en unidades gaussianas : ∇⋅mi=0;∇⋅B=0;∇×mi=−1do∂B∂t;∇×B=4πdoj+1do∂mi∂t.{\displaystyle {\begin{aligned}\nabla \cdot \mathbf {E} &=0;&\nabla \cdot \mathbf {B} &=0;\\\nabla \times \mathbf {E} &=-{\frac {1}{c}}{\frac {\partial \mathbf {B} }{\partial t}};&\nabla \times \mathbf {B} &={\frac {4\pi }{c}}\mathbf {j} +{\frac {1}{c}}{\frac {\partial \mathbf {E} }{\partial t}}.\end{aligned}}} Entonces ∇×∇×mi=−∇2mi=iωdo∇×B=iωdo(4πσdomi−iωdomi){\displaystyle \nabla \times \nabla \times \mathbf {E} =-\nabla ^{2}\mathbf {E} ={\frac {i\omega }{c}}\nabla \times \mathbf {B} ={\frac {i\omega }{c}}\left({\frac {4\pi \sigma }{c}}\mathbf {E} -{\frac {i\omega }{c}}\mathbf {E} \right)} o −∇2mi=ω2do2(1+4πiσω)mi{\displaystyle -\nabla ^{2}\mathbf {E} ={\frac {\omega ^{2}}{c^{2}}}\left(1+{\frac {4\pi i\sigma }{\omega }}\right)\mathbf {E} } que es una ecuación de onda electromagnética para un medio homogéneo continuo con constante dieléctricaε(ω){\displaystyle \varepsilon (\omega )}en la forma de Helmholtz −∇2mi=ω2do2ε(ω)mi{\displaystyle -\nabla ^{2}\mathbf {E} ={\frac {\omega ^{2}}{c^{2}}}\varepsilon (\omega )\mathbf {E} } donde el índice de refracción esnorte(ω)=ε(ω){\textstyle n(\omega )={\sqrt {\varepsilon (\omega )}}}y la velocidad de fase esvpag=donorte(ω){\displaystyle v_{\text{p}}={\frac {c}{n(\omega )}}} Por lo tanto, la constante dieléctrica compleja es ε(ω)=(1+4πiσω){\displaystyle \varepsilon (\omega )=\left(1+{\frac {4\pi i\sigma }{\omega }}\right)} que en el casoωτ≫1{\displaystyle \omega \tau \gg 1}se puede aproximar a: ε(ω)=(1−ωpag2ω2);ωpag2=4πnortemi2metro(Unidades gaussianas).{\displaystyle \varepsilon (\omega )=\left(1-{\frac {\omega _{\rm {p}}^{2}}{\omega ^{2}}}\right);\omega _{\rm {p}}^{2}={\frac {4\pi ne^{2}}{m}}{\text{(Gaussian units)}}.}En unidades del SI el4π{\displaystyle 4\pi }en el numerador se reemplaza porε0{\displaystyle \varepsilon _{0}}en el denominador y la constante dieléctrica se escribe comoεr{\displaystyle \varepsilon _{r}}.

A una frecuencia de resonanciaωpag{\displaystyle \omega _{\rm {p}}}, denominada frecuencia de plasma , la función dieléctrica cambia de signo de negativo a positivo y la parte real de la función dieléctrica cae a cero. ωpag=nortemi2ε0metro{\displaystyle \omega _{\rm {p}}={\sqrt {\frac {ne^{2}}{\varepsilon _{0}m}}}} La frecuencia de plasma representa una resonancia de oscilación de plasma o plasmón . La frecuencia de plasma puede emplearse como una medida directa de la raíz cuadrada de la densidad de electrones de valencia en un sólido. Los valores observados concuerdan razonablemente con esta predicción teórica para una gran cantidad de materiales. [ 28 ] Por debajo de la frecuencia de plasma, la función dieléctrica es negativa y el campo no puede penetrar la muestra. La luz con frecuencia angular inferior a la frecuencia de plasma se reflejará totalmente. Por encima de la frecuencia de plasma, las ondas de luz pueden penetrar la muestra; un ejemplo típico son los metales alcalinos, que se vuelven transparentes en el rango de la radiación ultravioleta . [ 29 ]

Conductividad térmica de los metales

Uno de los grandes éxitos del modelo de Drude es la explicación de la ley de Wiedemann-Franz . Esto se debió a una cancelación fortuita de errores en el cálculo original de Drude. Drude predijo el valor del número de Lorenz: κσT=32(kBmi)2=1.11×10−8W⋅Ω/K2{\displaystyle {\frac {\kappa }{\sigma T}}={\frac {3}{2}}\left({\frac {k_{\rm {B}}}{e}}\right)^{2}=1.11\times 10^{-8}\,\mathrm {W{\cdot }\Omega /K^{2}} } Los valores experimentales suelen estar en el rango de2−3×10−8 W⋅Ω/K2{\displaystyle 2-3\times 10^{-8}~\mathrm {W{\cdot }\Omega /K^{2}} }para metales a temperaturas entre 0 y 100 grados Celsius. [ 30 ]

Derivación y errores de Drude [ 27 ]

Los sólidos pueden conducir el calor mediante el movimiento de electrones, átomos e iones. Los conductores poseen una alta densidad de electrones libres, mientras que los aislantes carecen de ella; en ambos casos pueden estar presentes iones. Dada la buena conductividad eléctrica y térmica de los metales y la baja conductividad eléctrica y térmica de los aislantes, un punto de partida natural para estimar la conductividad térmica es calcular la contribución de los electrones de conducción.

La densidad de corriente térmica es el flujo de energía térmica por unidad de tiempo a través de un área unitaria perpendicular al flujo. Es proporcional al gradiente de temperatura. jq=−κ∇T{\displaystyle \mathbf {j} _{q}=-\kappa \nabla T} dóndeκ{\displaystyle \kappa }es la conductividad térmica. En un cable unidimensional, la energía de los electrones depende de la temperatura local.ε[T(incógnita)]{\displaystyle \varepsilon [T(x)]} Si imaginamos un gradiente de temperatura en el que la temperatura disminuye en la dirección positiva del eje x, la velocidad media de los electrones es cero (pero no la rapidez media). Los electrones que llegan a la ubicación x desde el lado de mayor energía llegarán con energíasε[T(incógnita−vτ)]{\displaystyle \varepsilon [T(x-v\tau )]}, mientras que aquellos del lado de menor energía llegarán con energíasε[T(incógnita+vτ)]{\displaystyle \varepsilon [T(x+v\tau )]}. Aquí,v{\displaystyle v}es la velocidad promedio de los electrones yτ{\displaystyle \tau }es el tiempo promedio transcurrido desde la última colisión.

El flujo neto de energía térmica en la ubicación x es la diferencia entre lo que pasa de izquierda a derecha y de derecha a izquierda: jq=12nortev(ε[T(incógnita−vτ)]−ε[T(incógnita+vτ)]){\displaystyle \mathbf {j} _{q}={\frac {1}{2}}nv{\big (}\varepsilon [T(x-v\tau )]-\varepsilon [T(x+v\tau )]{\big )}} El factor de 1/2 explica el hecho de que los electrones tienen la misma probabilidad de moverse en cualquier dirección. Solo la mitad contribuye al flujo en x .

Cuando el camino libre medioℓ=vτ{\displaystyle \ell =v\tau }es pequeña, la cantidad (ε[T(incógnita−vτ)]−ε[T(incógnita+vτ)])/2vτ{\displaystyle {\big (}\varepsilon [T(x-v\tau )]-\varepsilon [T(x+v\tau )]{\big )}/2v\tau } puede aproximarse mediante una derivada con respecto a x . Esto da como resultado jq=nortev2τdεdT⋅(−dTdincógnita){\displaystyle \mathbf {j} _{q}=nv^{2}\tau {\frac {d\varepsilon }{dT}}\cdot \left(-{\frac {dT}{dx}}\right)} Dado que el electrón se mueve en elincógnita{\displaystyle x},y{\displaystyle y}, yz{\displaystyle z}direcciones, la velocidad cuadrática media en elincógnita{\displaystyle x}la dirección es⟨vincógnita2⟩=13⟨v2⟩{\displaystyle \langle v_{x}^{2}\rangle ={\tfrac {1}{3}}\langle v^{2}\rangle }También tenemosnortedεdT=norteVdεdT=1VdmidT=dov{\displaystyle n{\frac {d\varepsilon }{dT}}={\frac {N}{V}}{\frac {d\varepsilon }{dT}}={\frac {1}{V}}{\frac {dE}{dT}}=c_{v}}, dóndedov{\displaystyle c_{v}}es la capacidad calorífica específica del material.

Al juntar todo esto, la densidad de corriente de energía térmica es jq=−13v2τdov∇T{\displaystyle \mathbf {j} _{q}=-{\frac {1}{3}}v^{2}\tau c_{v}\nabla T} Esto determina la conductividad térmica: κ=13v2τdov{\displaystyle \kappa ={\frac {1}{3}}v^{2}\tau c_{v}}(Esta deducción ignora la dependencia de la velocidad v con la temperatura y, por lo tanto, con la posición . Esto no introducirá un error significativo a menos que la temperatura cambie rápidamente en una distancia comparable al camino libre medio).

Dividiendo la conductividad térmicaκ{\displaystyle \kappa }por la conductividad eléctricaσ=nortemi2τmetro{\displaystyle \sigma ={\frac {ne^{2}\tau }{m}}}elimina el tiempo de dispersiónτ{\displaystyle \tau }y da κσ=dovmetrov23nortemi2{\displaystyle {\frac {\kappa }{\sigma }}={\frac {c_{v}mv^{2}}{3ne^{2}}}}

En este punto del cálculo, Drude hizo dos suposiciones que ahora se sabe que son erróneas. Primero, utilizó el resultado clásico para la capacidad calorífica específica de los electrones de conducción:dov=32nortekB{\displaystyle c_{v}={\tfrac {3}{2}}nk_{\rm {B}}}. Esto sobreestima la contribución electrónica a la capacidad calorífica específica en un factor de aproximadamente 100. En segundo lugar, Drude utilizó la velocidad cuadrática media clásica para los electrones,12metrov2=32kBT{\displaystyle {\tfrac {1}{2}}mv^{2}={\tfrac {3}{2}}k_{\rm {B}}T}Esto subestima la energía de los electrones en un factor de aproximadamente 100. La cancelación de estos dos errores da como resultado una buena aproximación a la conductividad de los metales. Además de estas dos estimaciones, Drude también cometió un error estadístico y sobreestimó el tiempo medio entre colisiones en un factor de 2. Esta confluencia de errores dio como resultado un valor para el número de Lorenz notablemente cercano a los valores experimentales.

El valor correcto del número de Lorenz estimado a partir del modelo de Drude es [ 31 ].κσT=32(kBmi)2=1.11×10−8WΩ/K2.{\displaystyle {\frac {\kappa }{\sigma T}}={\frac {3}{2}}\left({\frac {k_{\rm {B}}}{e}}\right)^{2}=1.11\times 10^{-8}\,{\text{W}}\Omega /{\text{K}}^{2}.}

Energía termoeléctrica

Un gradiente de temperatura genérico, al activarse en una barra delgada, desencadenará una corriente de electrones hacia el lado de menor temperatura. Si los experimentos se realizan en circuito abierto, esta corriente se acumulará en ese lado, generando un campo eléctrico que contrarresta la corriente eléctrica. Este campo se denomina campo termoeléctrico. mi=Q∇T{\displaystyle \mathbf {E} =Q\nabla T} y Q se denomina potencia termoeléctrica. Las estimaciones de Drude son un factor de 100 bajas dada la dependencia directa con el calor específico. Q=−dov3nortemi=−kB2mi=0,43×10−4 V/K{\displaystyle Q=-{\frac {c_{v}}{3ne}}=-{\frac {k_{\rm {B}}}{2e}}=0.43\times 10^{-4}\mathrm {~V/K} } donde las potencias termoeléctricas típicas a temperatura ambiente son 100 veces menores, del orden de microvoltios. [ 32 ]

Demostración junto con los errores de Drude [ 33 ]

A partir del modelo unidimensional simple vQ=12[v(incógnita−vτ)−v(incógnita+vτ)]=−vτdvdincógnita=−τddincógnita(v22){\displaystyle v_{Q}={\frac {1}{2}}[v(x-v\tau )-v(x+v\tau )]=-v\tau {\frac {dv}{dx}}=-\tau {\frac {d}{dx}}\left({\frac {v^{2}}{2}}\right)} Ampliando a 3 grados de libertad⟨vincógnita2⟩=13⟨v2⟩{\displaystyle \langle v_{x}^{2}\rangle ={\frac {1}{3}}\langle v^{2}\rangle }vQ=−τ6dv2dT(∇T){\displaystyle \mathbf {v_{Q}} =-{\frac {\tau }{6}}{\frac {dv^{2}}{dT}}(\nabla T)} La velocidad media debida al campo eléctrico (dada la ecuación de movimiento anterior en equilibrio) vmi=−mimiτmetro{\displaystyle \mathbf {v_{E}} =-{\frac {e\mathbf {E} \tau }{m}}} Para tener un total actual nulovmi+vQ=0{\displaystyle \mathbf {v_{E}} +\mathbf {v_{Q}} =0}tenemos Q=−13middT(metrov22)=−dov3nortemi{\displaystyle Q=-{\frac {1}{3e}}{\frac {d}{dT}}\left({\frac {mv^{2}}{2}}\right)=-{\frac {c_{v}}{3ne}}} Y como de costumbre en el caso Drudedov=32nortekB{\displaystyle c_{v}={\frac {3}{2}}nk_{\rm {B}}}Q=−kB2mi=0,43×10−4 V/K{\displaystyle Q=-{\frac {k_{\rm {B}}}{2e}}=0.43\times 10^{-4}~\mathrm {V/K} } donde las potencias termoeléctricas típicas a temperatura ambiente son 100 veces menores del orden de microvoltios. [ 32 ]

Precisión del modelo

El modelo de Drude ofrece una excelente explicación de la conductividad de CC y CA en metales, el efecto Hall y la magnetoresistencia [ 25 ] en metales a temperaturas cercanas a la ambiente. El modelo también explica parcialmente la ley de Wiedemann-Franz de 1853.

La fórmula de Drude se deriva de forma limitada, asumiendo que los portadores de carga forman un gas ideal clásico . Al considerar la teoría cuántica, el modelo de Drude puede extenderse al modelo de electrones libres , donde los portadores siguen la distribución de Fermi-Dirac . La conductividad predicha es la misma que en el modelo de Drude, ya que no depende de la forma de la distribución de velocidad electrónica. Sin embargo, el modelo de Drude sobreestima considerablemente la capacidad calorífica electrónica de los metales. En realidad, los metales y los aislantes tienen aproximadamente la misma capacidad calorífica a temperatura ambiente. Además, el modelo de Drude no explica la tendencia dispersa de la conductividad eléctrica en función de la frecuencia por encima de aproximadamente 2 THz. [ 34 ] [ 35 ] 

El modelo también puede aplicarse a portadores de carga positiva (huecos).

Respuesta de Drude en materiales reales

El comportamiento característico de un metal de Drude en el dominio del tiempo o de la frecuencia, es decir, la relajación exponencial con constante de tiempo τ o la dependencia de la frecuencia para σ ( ω ) mencionada anteriormente, se denomina respuesta de Drude. En un metal convencional, simple y real (por ejemplo, sodio, plata u oro a temperatura ambiente), este comportamiento no se encuentra experimentalmente, porque la frecuencia característica τ −1 se encuentra en el rango de frecuencias infrarrojas, donde otras características que no se consideran en el modelo de Drude (como la estructura de bandas ) desempeñan un papel importante. [ 34 ] Pero para ciertos otros materiales con propiedades metálicas, se encontró una conductividad dependiente de la frecuencia que sigue de cerca la predicción simple de Drude para σ ( ω ) . Estos son materiales donde la tasa de relajación τ −1 está a frecuencias mucho más bajas. [ 34 ] Este es el caso de ciertos monocristales semiconductores dopados , [ 36 ] gases de electrones bidimensionales de alta movilidad , [ 37 ] y metales de fermiones pesados . [ 38 ]

Véase también

Referencias

  1. ↑ springer, ed. (2009). "Electrones "libres" en sólidos. Electrones libres en sólidos . págs. 135–158 . doi : 10.1007/978-3-540-93804-0_6 . ISBN  978-3-540-93803-3.
  2. ↑ Ashcroft y Mermin 1976 , págs. 3, nota de página 6 
  3. ↑ Ashcroft y Mermin 1976 , págs. 3, nota 4 y fig. 1.1 
  4. ↑ Ashcroft y Mermin 1976 , págs. 3, nota 7 y fig. 1.2 
  5. ^ Ashcroft y Mermin 1976 , págs.8 tabla 1.2 
  6. ^ Ashcroft y Mermin 1976 , págs. 5 tabla 1.1 
  7. ^ Ashcroft y Mermin 1976 , págs.6–7 . 
  8. ↑ Edward M. Purcell (1965). Electricidad y magnetismo . McGraw-Hill. págs. 117–122 . ISBN  978-0-07-004908-6.
  9. ↑ David J. Griffiths (1999). Introducción a la electrodinámica . Prentice-Hall. 289 págs . ISBN  978-0-13-805326-0.
  10. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 Hoddeson, Lillian; Braun, Ernst; Teichmann, Jurgen; Weart, Spencer (1992-10-01). Fuera del laberinto de cristal: Capítulos de La historia de la física del estado sólido . Oxford University Press. ISBN 978-0-19-534532-2.
  11. ^ Drudo, Paul (1900). "Zur Elektronentheorie der Metalle" . Annalen der Physik . 306 (3): 566– 613. Código bibliográfico : 1900AnP...306..566D . doi : 10.1002/andp.19003060312 .
  12. ^ Drudo, Paul (1900). "Zur Elektronentheorie der Metalle; II. Teil. Galvanomagnetische und thermomagnetische Effecte" . Annalen der Physik . 308 (11): 369– 402. Código bibliográfico : 1900AnP...308..369D . doi : 10.1002/andp.19003081102 .
  13. ^ Ashcroft y Mermin 1976 , págs . 2-3 . 
  14. ↑ Staley, Richard (2008). La generación de Einstein: Los orígenes de la revolución de la relatividad . University of Chicago Press. ISBN 978-0-226-77057-4.
  15. ^ Thomson, JJ (1900). "Indicaciones relativas a la matière fournis par les recherches récentes sur le passage de l'électricité à travers les gaz". Rapports présentés au Congrès international de physique (en francés). París: 138– 151 – vía Gauthier-Villars.
  16. ↑ Howard, Don; Stachel, John J. (2000). Einstein: Los años formativos, 1879-1909 . Springer Science & Business Media. ISBN 978-0-8176-4030-9.
  17. ↑ Renn, Jürgen (1997-12-01). "La controversia de Einstein con Drude y el origen de la mecánica estadística: una nueva perspectiva desde las "Cartas de amor"" . Archivo para la Historia de las Ciencias Exactas . 51 (4): 315– 354. doi : 10.1007/BF00518232 . hdl : 11858/00-001M-0000-002A-7399-A . ISSN 1432-0657 . 
  18. ↑ Lorentz, Hendrik (1905). " El movimiento de los electrones en cuerpos metálicos I" (PDF) . KNAW, Actas . 7 : 438–453 – vía KNAW.
  19. ↑ Kim, Ki Young (24 de octubre de 2012). Plasmónica: Principios y aplicaciones . BoD – Books on Demand. ISBN 978-953-51-0797-2.
  20. ^ Ashcroft y Mermin 1976 , págs.4 
  21. ^ Ashcroft y Mermin 1976 , págs . 2-6​​​ 
  22. ^ Ashcroft y Mermin 1976 , págs.4 
  23. ↑ Einstein (1924). "Teoría cuántica del gas ideal monoatómico". Sitzungsberichte der Preussischen Akademie der Wissenschaften, Physikalisch-mathematische Klasse : 261– 267.
  24. ↑ "Física del estado sólido, Lección 17: Dinámica de los electrones en bandas" . YouTube .
  25. ^ Ashcroft y Mermin 1976 , pág. 11 
  26. ^ Ashcroft y Mermin 1976  ,págs.16
  27. ^ Ashcroft y Mermin 1976 ,págs.17 
  28. ↑ C. Kittel (1953–1976). Introducción a la física del estado sólido . Wiley & Sons. ISBN 978-0-471-49024-1.{{cite book}}: Incompatibilidad de ISBN/Fecha ( ayuda )
  29. ^ Ashcroft y Mermin 1976 , págs. 18 tabla 1.5 
  30. ^ Ashcroft y Mermin 1976 , págs. 18 tabla 1.6 
  31. ^ Ashcroft y Mermin 1976 , págs.25 problema 1
  32. 1 2 Ashcroft & Mermin 1976 , págs. 25  Error de cita: La referencia con nombre ":22" se definió varias veces con contenido diferente (consulte la página de ayuda ).
  33. ^ Ashcroft y Mermin 1976  ,págs.24
  34. 1 2 3 M. Dressel; M. Scheffler (2006). "Verificando la respuesta Drude". Annalen der Physik . 15 ( 7– 8): 535– 544. Bibcode : 2006AnP...518..535D . doi : 10.1002/andp.200510198 . S2CID 14153937 . 
  35. ↑ Jeon, Tae-In; Grischkowsky, D.; Mukherjee, AK; Menon, Reghu (2000-10-16). "Caracterización eléctrica del polipirrol conductor mediante espectroscopia de dominio temporal de THz" . Applied Physics Letters . 77 (16): 2452– 2454. Bibcode : 2000ApPhL..77.2452J . doi : 10.1063/1.1319188 . hdl : 11244/19868 . ISSN 0003-6951 . 
  36. ↑ M. van Exter; D. Grischkowsky (1990). "Dinámica de portadores de electrones y huecos en silicio moderadamente dopado" (PDF) . Physical Review B. 41 ( 17): 12140– 12149. Bibcode : 1990PhRvB..4112140V . doi : 10.1103/PhysRevB.41.12140 . hdl : 11244/19898 . PMID 9993669 . 
  37. ↑ PJ Burke; IB Spielman; JP Eisenstein; LN Pfeiffer; KW West (2000). "Conductividad de alta frecuencia del gas de electrones bidimensional de alta movilidad" (PDF) . Applied Physics Letters . 76 (6): 745– 747. Bibcode : 2000ApPhL..76..745B . doi : 10.1063/1.125881 .
  38. ↑ M. Scheffler; M. Dressel; M. Jourdan; H. Adrian (2005). "Relajación de Drude extremadamente lenta de electrones correlacionados". Nature . 438 ( 7071): 1135– 1137. Bibcode : 2005Natur.438.1135S . doi : 10.1038/nature04232 . PMID 16372004. S2CID 4391917 .  

General

  • Heaney, Michael B. (2003). «Conductividad y resistividad eléctrica» . En Webster, John G. (ed.). Medición eléctrica, procesamiento de señales y pantallas . CRC Press. ISBN 9780203009406.