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Locus (matemáticas)

Cada curva en este ejemplo es un lugar geométrico definido como la concoide del punto P y la línea l . En este ejemplo, P está a 8 cm de l . En geometría , un lugar geométrico...

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Cada curva en este ejemplo es un lugar geométrico definido como la concoide del punto P y la línea l . En este ejemplo, P está a 8  cm de l .

En geometría , un lugar geométrico (plural: loci ; del latín ' lugar, ubicación ' ) es un conjunto de todos los puntos (comúnmente, una línea , un segmento de línea , una curva o una superficie ) cuya ubicación satisface o está determinada por una o más condiciones específicas. [ 1 ] [ 2 ]

El conjunto de puntos que satisfacen una propiedad determinada se denomina a menudo lugar geométrico de un punto que satisface dicha propiedad. El uso del singular en esta formulación evidencia que, hasta finales del siglo XIX, los matemáticos no consideraban conjuntos infinitos . En lugar de ver las líneas y curvas como conjuntos de puntos, las veían como lugares donde un punto podía ubicarse o moverse.

Historia y filosofía

Hasta principios del siglo XX, una figura geométrica (por ejemplo, una curva) no se consideraba como un conjunto infinito de puntos, sino como una entidad sobre la cual un punto podía ubicarse o moverse. Así, un círculo en el plano euclidiano se definía como el lugar geométrico de un punto que se encuentra a una distancia determinada de un punto fijo, el centro del círculo. En matemáticas modernas, conceptos similares se reformulan con mayor frecuencia describiendo las figuras como conjuntos; por ejemplo, se dice que el círculo es el conjunto de puntos que se encuentran a una distancia determinada del centro. [ 3 ]

A diferencia de la visión de la teoría de conjuntos, la formulación antigua evita considerar colecciones infinitas, ya que evitar el infinito real era una postura filosófica importante de los matemáticos anteriores. [ 4 ] [ 5 ]

Una vez que la teoría de conjuntos se convirtió en la base universal sobre la que se construye toda la matemática, [ 6 ] el término lugar geométrico quedó bastante anticuado. [ 7 ] Sin embargo, la palabra todavía se usa ampliamente, principalmente para una formulación concisa, por ejemplo:

Más recientemente, técnicas como la teoría de esquemas y el uso de la teoría de categorías en lugar de la teoría de conjuntos para fundamentar las matemáticas, han vuelto a nociones más parecidas a la definición original de un lugar geométrico como un objeto en sí mismo en lugar de como un conjunto de puntos. [ 5 ]

Ejemplos en geometría plana

Algunos ejemplos de geometría plana son:

  • El conjunto de puntos equidistantes de dos puntos es una mediatriz del segmento de recta que une los dos puntos. [ 8 ]
  • El conjunto de puntos equidistantes de dos líneas secantes es la unión de sus dos bisectrices de ángulos .
  • Todas las secciones cónicas son loci: [ 9 ]
    • Círculo : el conjunto de puntos a una distancia constante (el radio ) de un punto fijo (el centro ).
    • Parábola : el conjunto de puntos equidistantes de un punto fijo (el foco ) y una línea (la directriz ).
    • Hipérbola : conjunto de puntos para cada uno de los cuales el valor absoluto de la diferencia entre las distancias a dos focos dados es una constante.
    • Elipse : conjunto de puntos para cada uno de los cuales la suma de las distancias a dos focos dados es una constante.

Otros ejemplos de lugares geométricos aparecen en diversas áreas de las matemáticas. Por ejemplo, en dinámica compleja , el conjunto de Mandelbrot es un subconjunto del plano complejo que puede caracterizarse como el lugar geométrico de conectividad de una familia de aplicaciones polinómicas.

Prueba de un locus

Para demostrar que una figura geométrica es el lugar geométrico correcto para un conjunto dado de condiciones, generalmente se divide la demostración en dos etapas: la demostración de que todos los puntos que satisfacen las condiciones están en la figura dada, y la demostración de que todos los puntos en la figura dada satisfacen las condiciones. [ 10 ]

Ejemplos

(distancia PA ) = 3.(distancia PB )

Primer ejemplo

Encuentra el lugar geométrico de un punto P que tiene una razón dada de distancias k = d 1 / d 2 a dos puntos dados.

En este ejemplo , k = 3, A (−1, 0) y B (0, 2) se eligen como puntos fijos.

P ( x , y ) es un punto del lugar geométrico
⇔|PAGA|=3|PAGB|{\displaystyle \Leftrightarrow |PA|=3|PB|}
⇔|PAGA|2=9|PAGB|2{\displaystyle \Leftrightarrow |PA|^{2}=9|PB|^{2}}
⇔(incógnita+1)2+(y−0)2=9(incógnita−0)2+9(y−2)2{\displaystyle \Leftrightarrow (x+1)^{2}+(y-0)^{2}=9(x-0)^{2}+9(y-2)^{2}}
⇔8(incógnita2+y2)−2incógnita−36y+35=0{\displaystyle \Leftrightarrow 8(x^{2}+y^{2})-2x-36y+35=0}
⇔(incógnita−18)2+(y−94)2=4564.{\displaystyle \Leftrightarrow \left(x-{\frac {1}{8}}\right)^{2}+\left(y-{\frac {9}{4}}\right)^{2}={\frac {45}{64}}.}

Esta ecuación representa un círculo con centro (1/8, 9/4) y radio385{\displaystyle {\tfrac {3}{8}}{\sqrt {5}}}. Es el círculo de Apolonio definido por estos valores de k , A y B .

Segundo ejemplo

Lugar geométrico del punto C

Un triángulo ABC tiene un lado fijo [ AB ] de longitud c . Determina el lugar geométrico del tercer vértice C tal que las medianas desde A y C sean ortogonales .

Elija un sistema de coordenadas ortonormal tal que A (− c /2, 0), B ( c /2, 0). C ( x , y ) es el tercer vértice variable. El centro de [ BC ] es M ((2 x + c )/4, y /2). La mediana desde C tiene una pendiente y / x . La mediana AM tiene una pendiente 2 y /(2 x + 3 c ).

El lugar geométrico es un círculo.
C ( x , y ) es un punto del lugar geométrico
⇔{\displaystyle \Leftrightarrow }Las medianas de A y C son ortogonales.
⇔yincógnita⋅2y2incógnita+3do=−1{\displaystyle \Leftrightarrow {\frac {y}{x}}\cdot {\frac {2y}{2x+3c}}=-1}
⇔2y2+2incógnita2+3doincógnita=0{\displaystyle \Leftrightarrow 2y^{2}+2x^{2}+3cx=0}
⇔incógnita2+y2+(3do/2)incógnita=0{\displaystyle \Leftrightarrow x^{2}+y^{2}+(3c/2)x=0}
⇔(incógnita+3do/4)2+y2=9do2/16.{\displaystyle \Leftrightarrow (x+3c/4)^{2}+y^{2}=9c^{2}/16.}

El lugar geométrico del vértice C es un círculo con centro (−3 c /4, 0) y radio 3 c /4.

Tercer ejemplo

El punto de intersección de las líneas asociadas k y l describe el círculo.

Un lugar geométrico también puede definirse mediante dos curvas asociadas que dependen de un parámetro común . Si el parámetro varía, los puntos de intersección de las curvas asociadas describen el lugar geométrico.

En la figura, los puntos K y L son puntos fijos en una línea m dada . La línea k es una línea variable que pasa por K. La línea l que pasa por L es perpendicular a k . El ánguloα{\displaystyle \alpha }Entre k y m se encuentra el parámetro. k y l son líneas asociadas que dependen de este parámetro común. El punto de intersección variable S de k y l describe un círculo. Este círculo es el lugar geométrico del punto de intersección de las dos líneas asociadas.

Cuarto ejemplo

Un lugar geométrico de puntos no tiene por qué ser unidimensional (como un círculo, una línea, etc.). Por ejemplo, [ 1 ] el lugar geométrico de la desigualdad 2 x + 3 y – 6 < 0 es la porción del plano que está debajo de la línea de la ecuación 2 x + 3 y – 6 = 0 .

Véase también

Referencias

  1. 1 2 James, Robert Clarke; James, Glenn (1992), Diccionario de matemáticas , Springer, pág.  255, ISBN 978-0-412-99041-0.
  2. ↑ Whitehead, Alfred North (1911), Introducción a las matemáticas , H. Holt, pág. 121, ISBN  978-1-103-19784-2{{citation}}: Incompatibilidad de ISBN/Fecha ( ayuda ) .
  3. ↑ Cooke, Roger L. (2012), "38.3 Topología", Historia de las matemáticas: Un breve curso (3.ª ed.), John Wiley & Sons, ISBN  9781118460290La palabra lugar geométrico es una que todavía usamos hoy para denotar la trayectoria seguida por un punto que se mueve sujeto a restricciones establecidas, aunque, desde la introducción de la teoría de conjuntos, un lugar geométrico se piensa más a menudo de forma estática como el conjunto de puntos que satisfacen una colección dada.
  4. ↑ Bourbaki, N. (2013), Elementos de la historia de las matemáticas , traducido por J. Meldrum , Springer, pág. 26, ISBN  9783642616938Los matemáticos clásicos evitaron cuidadosamente introducir en su razonamiento el "infinito real"..
  5. 1 2 Borovik, Alexandre (2010), "6.2.4 ¿Se puede vivir sin el infinito actual?", Matemáticas bajo el microscopio: Notas sobre los aspectos cognitivos de la práctica matemática , Sociedad Matemática Americana, pág. 124, ISBN  9780821847619.
  6. ↑ Mayberry, John P. (2000), The Foundations of Mathematics in the Theory of Sets , Encyclopedia of Mathematics and its Applications, vol. 82, Cambridge University Press, p. 7, ISBN   9780521770347La teoría de conjuntos proporciona los fundamentos de todas las matemáticas..
  7. ↑ Ledermann, Walter; Vajda, S. (1985), Combinatoria y geometría, Parte 1 , Manual de matemáticas aplicables, vol. 5, Wiley, pág. 32, ISBN   9780471900238Comenzamos explicando un término un tanto anticuado ..
  8. ↑ George E. Martin, Los fundamentos de la geometría y el plano no euclidiano , Springer-Verlag, 1975.
  9. ↑ Hamilton, Henry Parr (1834), Un sistema analítico de secciones cónicas: diseñado para el uso de los estudiantes , Springer.
  10. ↑ GP West, La nueva geometría: forma 1 .
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