Espacio conectado localmente

En topología y otras ramas de las matemáticas , un espacio topológico X es localmente conexo si cada punto admite una base de vecindad formada por conjuntos abiertos conexos .

Como concepto más fuerte, el espacio X es localmente conexo por caminos si cada punto admite una base de vecindad que consiste en conjuntos abiertos conexos por caminos .

A lo largo de la historia de la topología, la conexidad y la compacidad han sido dos de las propiedades topológicas más estudiadas. De hecho, el estudio de estas propiedades, incluso entre subconjuntos del espacio euclidiano , y el reconocimiento de su independencia de la forma particular de la métrica euclidiana , desempeñaron un papel importante en la clarificación de la noción de una propiedad topológica y, por lo tanto, de un espacio topológico. Sin embargo, mientras que la estructura de los subconjuntos compactos del espacio euclidiano se entendió bastante pronto a través del teorema de Heine-Borel , los subconjuntos conexos de${\displaystyle \mathbb {R} ^{n}}$(para n > 1) resultó ser mucho más complicado. De hecho, si bien cualquier espacio compacto de Hausdorff es localmente compacto , un espacio conexo —e incluso un subconjunto conexo del plano euclidiano— no tiene por qué ser localmente conexo (véase más adelante).

Esto dio lugar a una fructífera línea de investigación durante la primera mitad del siglo XX, en la que los topólogos estudiaron las implicaciones de variaciones cada vez más sutiles y complejas del concepto de espacio conexo local. Como ejemplo, más adelante en este artículo se analizará el concepto de conexidad en un punto y su relación con la conexidad local.

En la última parte del siglo XX, las tendencias de investigación se orientaron hacia un estudio más profundo de espacios como las variedades , que se comprenden bien localmente (al ser localmente homeomorfas al espacio euclidiano) pero presentan un comportamiento global complejo. Esto significa que, si bien la topología básica de conjuntos de puntos de las variedades es relativamente simple (ya que, según la mayoría de las definiciones del concepto, las variedades son esencialmente metrizables ), su topología algebraica es mucho más compleja. Desde esta perspectiva moderna, la propiedad más fuerte de la conectividad local por caminos resulta ser más importante: por ejemplo, para que un espacio admita un recubrimiento universal, debe ser conexo y estar conectado localmente por caminos.

Un espacio es localmente conexo si y solo si para todo conjunto abierto U , las componentes conexas de U (en la topología de subespacios ) son abiertas. De ello se deduce, por ejemplo, que una función continua de un espacio localmente conexo a un espacio totalmente disconexo debe ser localmente constante. De hecho, la apertura de las componentes es tan natural que conviene tener en cuenta que no es cierta en general: por ejemplo, el espacio de Cantor es totalmente disconexo pero no discreto .

Dejar${\displaystyle X}$Sea un espacio topológico y dejemos que${\displaystyle x}$ser un punto de${\displaystyle X.}$

Un espacio${\displaystyle X}$se denomina conectado localmente en${\displaystyle x}$^{[ 1 ]} si cadavecindariode${\displaystyle x}$contiene un vecindario abierto conectado de${\displaystyle x}$, es decir, si el punto${\displaystyle x}$tiene una base de vecindad que consiste en conjuntos abiertos conectados. Un espacio localmente conectado ^{[ 2 ] [ 1 ]} es un espacio que está localmente conectado en cada uno de sus puntos.

La conectividad local no implica conectividad (considere dos intervalos abiertos disjuntos en${\displaystyle \mathbb {R} }$por ejemplo); y la conectividad no implica conectividad local (véase la curva sinusoidal del topólogo ).

Un espacio${\displaystyle X}$se denomina ruta conectada localmente en${\displaystyle x}$^{[ 1 ]} si cada vecindario de${\displaystyle x}$contiene un camino conectado al vecindario abierto de${\displaystyle x}$, es decir, si el punto${\displaystyle x}$tiene una base de vecindad que consiste en conjuntos abiertos conectados por caminos. Un espacio conectado localmente por caminos ^{[ 3 ] [ 1 ]} es un espacio que está conectado localmente por caminos en cada uno de sus puntos.

Los espacios conectados localmente por caminos están conectados localmente. Lo contrario no es cierto (véase la topología del orden lexicográfico en el cuadrado unitario ).

1. Para cualquier entero positivo n , el espacio euclidiano${\displaystyle \mathbb {R} ^{n}}$está conectado localmente por ruta, por lo tanto está conectado localmente; también está conectado.
2. En términos más generales, todo espacio vectorial topológico localmente convexo es localmente conexo, ya que cada punto tiene una base local de vecindarios convexos (y por lo tanto conexos).
3. El subespacio${\displaystyle S=[0,1]\cup [2,3]}$de la línea real${\displaystyle \mathbb {R} ^{1}}$está conectado localmente por ruta pero no está conectado.
4. La curva sinusoidal del topólogo es un subespacio del plano euclidiano que es conexo, pero no localmente conexo. ^{[ 12 ]}
5. El espacio${\displaystyle \mathbb {Q} }$El conjunto de números racionales dotado de la topología euclidiana estándar no es ni conexo ni localmente conexo.
6. El espacio del peine está conectado por caminos, pero no está conectado localmente por caminos, y ni siquiera está conectado localmente.
7. Un conjunto infinitamente numerable dotado de la topología cofinita es localmente conectado (de hecho, hiperconectado ) pero no localmente conectado por caminos. ^{[ 13 ]}
8. La topología del orden lexicográfico en el cuadrado unitario es conexa y localmente conexa, pero no conexa por caminos, ni localmente conexa por caminos. ^{[ 14 ]}
9. El espacio de Kirch está conectado y conectado localmente, pero no conectado por caminos, y no conectado por caminos im kleinen en ningún punto. De hecho, está totalmente desconectado por caminos .

Un espacio de Hausdorff contable de primer orden${\displaystyle (X,\tau )}$es localmente conectado por caminos si y solo si${\displaystyle \tau }$es igual a la topología final en${\displaystyle X}$inducido por el conjunto${\displaystyle C([0,1];X)}$de todos los caminos continuos${\displaystyle [0,1]\to (X,\tau ).}$

1. La conectividad local es, por definición, una propiedad local de los espacios topológicos, es decir, una propiedad topológica P tal que un espacio X posee la propiedad P si y solo si cada punto x en X admite una base de vecindad de conjuntos que tienen la propiedad P. En consecuencia, todas las "metapropiedades" que posee una propiedad local se cumplen para la conectividad local. En particular:
2. Un espacio es localmente conexo si y solo si admite una base de subconjuntos conexos (abiertos).
3. La unión disjunta${\displaystyle \coprod _{i}X_{i}}$de una familia${\displaystyle \{X_{i}\}}$de espacios está conectado localmente si y solo si cada${\displaystyle X_{i}}$es localmente conexo. En particular, dado que un solo punto es ciertamente localmente conexo, se deduce que cualquier espacio discreto es localmente conexo. Por otro lado, un espacio discreto es totalmente disconexo , por lo que es conexo solo si tiene como máximo un punto.
4. Por el contrario, un espacio totalmente desconectado es localmente conexo si y solo si es discreto. Esto puede explicar el hecho mencionado anteriormente de que los números racionales no son localmente conexos.
5. Un espacio de producto no vacío${\displaystyle \prod _{i}X_{i}}$está conectado localmente si y solo si cada${\displaystyle X_{i}}$está conectado localmente y casi todos los${\displaystyle X_{i}}$están conectados. ^{[ 15 ]}
6. Cada espacio hiperconectado está conectado localmente y conectado.

El siguiente resultado se deduce casi inmediatamente de las definiciones, pero resultará bastante útil:

Lema: Sea X un espacio, y${\displaystyle \{Y_{i}\}}$una familia de subconjuntos de X. Supongamos que${\displaystyle \bigcap _ {i}Y_ {i}}$no está vacío. Entonces, si cada${\displaystyle Y_{i}}$está conectado (respectivamente, camino conectado) entonces la unión${\displaystyle \bigcup _{i}Y_{i}}$está conectado (respectivamente, camino conectado). ^{[ 16 ]}

Ahora consideremos dos relaciones en un espacio topológico X : para${\displaystyle x,y\in X,}$escribir:

${\displaystyle x\equiv _{c}y}$si existe un subconjunto conexo de X que contiene tanto x como y ; y

${\displaystyle x\equiv _{pc}y}$si existe un subconjunto de X conectado por un camino que contenga tanto x como y .

Evidentemente, ambas relaciones son reflexivas y simétricas. Además, si x e y están contenidos en un subconjunto conexo (respectivamente, conexo por caminos) A y y y z están contenidos en un subconjunto conexo (respectivamente, conexo por caminos) B , entonces el lema implica que${\displaystyle A\cup B}$es un subconjunto conectado (respectivamente, conectado por caminos) que contiene x , y y z . Por lo tanto, cada relación es una relación de equivalencia y define una partición de X en clases de equivalencia . Consideramos estas dos particiones a su vez.

Para x en X , el conjunto${\displaystyle C_{x}}$de todos los puntos y tales que${\displaystyle y\equiv _{c}x}$se denomina componente conexa de x . ^{[ 17 ]} El lema implica que${\displaystyle C_{x}}$es el único subconjunto conexo maximal de X que contiene a x . ^{[ 18 ]} Dado que el cierre de${\displaystyle C_{x}}$También es un subconjunto conexo que contiene a x , ^{[ 19 ] [ 20 ]} de donde se deduce que${\displaystyle C_{x}}$está cerrado. ^{[ 21 ]}

Si X tiene solo un número finito de componentes conexas, entonces cada componente es el complemento de una unión finita de conjuntos cerrados y, por lo tanto, abierto. En general, las componentes conexas no tienen por qué ser abiertas, ya que, por ejemplo, existen espacios totalmente disconexos (es decir,${\displaystyle C_{x}=\{x\}}$para todos los puntos x ) que no son discretos, como el espacio de Cantor. Sin embargo, las componentes conexas de un espacio localmente conexo también son abiertas y, por lo tanto, son conjuntos clopen . ^{[ 22 ]} De ello se deduce que un espacio localmente conexo X es una unión disjunta topológica${\displaystyle \coprod C_{x}}$de sus componentes conexas distintas. Por el contrario, si para cada subconjunto abierto U de X , las componentes conexas de U son abiertas, entonces X admite una base de conjuntos conexos y, por lo tanto, es localmente conexo. ^{[ 23 ]}

De manera similar, x en X , el conjunto${\displaystyle PC_{x}}$de todos los puntos y tales que${\displaystyle y\equiv _{pc}x}$se denomina componente de ruta de x . ^{[ 24 ]} Como se indicó anteriormente,${\displaystyle PC_{x}}$es también la unión de todos los subconjuntos conexos por caminos de X que contienen a x , por lo que, según el lema, es en sí mismo conexo por caminos. Debido a que los conjuntos conexos por caminos son conexos, tenemos${\displaystyle PC_{x}\subsetequ C_{x}}$a pesar de${\displaystyle x\in X.}$

Sin embargo, el cierre de un conjunto conexo por caminos no tiene por qué ser conexo por caminos: por ejemplo, la curva seno del topólogo es el cierre del subconjunto abierto U que consta de todos los puntos (x,sin(x)) con x > 0 , y U , al ser homeomorfo a un intervalo en la recta real, es ciertamente conexo por caminos. Además, las componentes de camino de la curva seno del topólogo C son U , que es abierto pero no cerrado, y${\displaystyle C\setminus U,}$que está cerrado pero no abierto.

Un espacio es localmente conexo por caminos si y solo si para todos los subconjuntos abiertos U , las componentes de camino de U son abiertas. ^{[ 24 ]} Por lo tanto, las componentes de camino de un espacio localmente conexo por caminos dan una partición de X en conjuntos abiertos disjuntos dos a dos. De ello se deduce que un subespacio abierto conexo de un espacio localmente conexo por caminos es necesariamente conexo por caminos. ^{[ 25 ]} Además, si un espacio es localmente conexo por caminos, entonces también es localmente conexo, por lo que para todo${\displaystyle x\in X,}$${\displaystyle C_{x}}$está conectado y abierto, por lo tanto el camino está conectado, es decir,${\displaystyle C_{x}=PC_{x}.}$ Es decir, para un espacio conectado localmente por caminos, los componentes y los componentes del camino coinciden.

Sea X un espacio topológico. Definimos una tercera relación en X :${\displaystyle x\equiv _{qc}y}$Si no existe una separación de X en conjuntos abiertos A y B tal que x sea un elemento de A e y sea un elemento de B. Esta es una relación de equivalencia en X y la clase de equivalencia.${\displaystyle QC_{x}}$que contiene x se denomina cuasicomponente de x . ^{[ 18 ]}

${\displaystyle QC_{x}}$También puede caracterizarse como la intersección de todos los subconjuntos abiertos y cerrados de X que contienen x . ^{[ 18 ]} En consecuencia${\displaystyle QC_{x}}$Está cerrado; en general, no es necesario que esté abierto.

Evidentemente${\displaystyle C_{x}\subseteq QC_{x}}$a pesar de${\displaystyle x\in X.}$^{[ 18 ]} En general, tenemos las siguientes contenciones entre componentes de ruta, componentes y cuasicomponentes enx: $${\displaystyle PC_{x}\subseteq C_{x}\subseteq QC_{x}.}$$

Si X está conectado localmente, entonces, como se indicó anteriormente,${\displaystyle C_{x}}$es un conjunto abierto y cerrado que contiene x , por lo tanto${\displaystyle QC_{x}\subseteq C_{x}}$y por lo tanto${\displaystyle QC_{x}=C_{x}.}$ Dado que la conectividad de caminos local implica conectividad local, se deduce que en todos los puntos x de un espacio con conectividad de caminos local tenemos $${\displaystyle PC_{x}=C_{x}=QC_{x}.}$$

Otra clase de espacios para los cuales los cuasicomponentes coinciden con los componentes es la clase de espacios compactos de Hausdorff. ^{[ 26 ]}

• Espacio conectado de forma sencilla a nivel local
• Conexidad semilocalmente simple : propiedad en topología algebraica 
• Se conjetura que el conjunto de Mandelbrot está conectado localmente

• Engelking, Ryszard (1989), Topología general , Heldermann Verlag, Berlín, ISBN 3-88538-006-4
• Kelley, John L. (1975) [1955], Topología general , Textos de posgrado en matemáticas , vol.  27 (2.ª  ed.), Nueva York: Springer-Verlag, ISBN 978-0-387-90125-1, OCLC 1365153 
• Munkres, James R. (2000), Topología (2.ª  ed.), Upper Saddle River, NJ : Prentice Hall, Inc. , ISBN 978-0-13-181629-9, OCLC 42683260 
• Steen, Lynn Arthur ; Seebach, J. Arthur Jr. (1995) [1978], Counterexamples in Topology ( reimpresión de Dover  de la edición de 1978), Mineola, NY: Dover Publications, Inc., ISBN 978-0-486-68735-3, MR 1382863 
• Willard, Stephen (2004) [1970], Topología general , Mineola, NY : Dover Publications , ISBN 978-0-486-43479-7, OCLC 115240 

• Coppin, CA (1972), "Funciones continuas de un espacio conexo localmente conexo a un espacio conexo con un punto de dispersión", Actas de la Sociedad Matemática Americana , 32 (2), Sociedad Matemática Americana: 625– 626, doi : 10.1090/S0002-9939-1972-0296913-7 , JSTOR 2037874 Para los espacios de Hausdorff, se demuestra que cualquier función continua de un espacio conexo localmente conexo a un espacio conexo con un punto de dispersión es constante.
• Davis, HS (1968), "Una nota sobre la conectividad en Kleinen", Actas de la Sociedad Matemática Americana , 19 (5), Sociedad Matemática Americana: 1237– 1241, doi : 10.1090/s0002-9939-1968-0254814-3 , JSTOR 2036067 .