Representación de un grupo de mentiras

Una representación compleja de un grupo es una acción de un grupo sobre un espacio vectorial de dimensión finita sobre el campo${\displaystyle \mathbb {C} }$. Una representación del grupo de Lie G , que actúa sobre un espacio vectorial n -dimensional V sobre${\displaystyle \mathbb {C} }$es entonces un homomorfismo de grupo suave

${\displaystyle \Pi :G\rightarrow \operatorname {GL} (V)}$,

dónde${\displaystyle \operatorname {GL} (V)}$es el grupo lineal general de todas las transformaciones lineales invertibles de${\displaystyle V}$bajo su composición. Dado que todos los espacios n- dimensionales son isomorfos, el grupo${\displaystyle \operatorname {GL} (V)}$puede identificarse con el grupo de los complejos invertibles${\displaystyle n\times n}$matrices, generalmente llamadas${\displaystyle \operatorname {GL} (n;\mathbb {C} ).}$Suavidad del mapa${\displaystyle \Pi }$puede considerarse una cuestión técnica, ya que cualquier homomorfismo continuo será automáticamente suave. ^{[ 1 ]}

Alternativamente, podemos describir una representación de un grupo de Lie.${\displaystyle G}$como una acción lineal de${\displaystyle G}$en un espacio vectorial${\displaystyle V}$En notación, escribiríamos entonces${\displaystyle g\cdot v}$en lugar de${\displaystyle \Pi (g)v}$por la forma en que un elemento de grupo${\displaystyle g\in G}$actúa sobre el vector${\displaystyle v\in V}$.

Un ejemplo típico en el que surgen representaciones en física sería el estudio de una ecuación diferencial parcial lineal con grupo de simetría${\displaystyle G}$Aunque las soluciones individuales de la ecuación pueden no ser invariantes bajo la acción de${\displaystyle G}$, el espacio${\displaystyle V}$de todas las soluciones es invariante bajo la acción de${\displaystyle G}$. De este modo,${\displaystyle V}$constituye una representación de${\displaystyle G}$. Véase el ejemplo de SO(3), que se analiza a continuación.

Si el homomorfismo${\displaystyle \Pi }$Si es inyectiva (es decir, un monomorfismo ), se dice que la representación es fiel .

Si se elige una base para el espacio vectorial complejo V , la representación puede expresarse como un homomorfismo en un grupo lineal general.${\displaystyle \operatorname {GL} (n;\mathbb {C} )}$Esto se conoce como representación matricial . Dos representaciones de G en espacios vectoriales V y W son equivalentes si tienen las mismas representaciones matriciales con respecto a ciertas elecciones de bases para V y W.

Dada una representación${\displaystyle \Pi :G\rightarrow \operatorname {GL} (V)}$Decimos que un subespacio W de V es un subespacio invariante si${\displaystyle \Pi (g)w\in W}$a pesar de${\displaystyle g\in G}$y${\displaystyle w\in W}$Se dice que una representación es irreducible si los únicos subespacios invariantes de V son el espacio cero y V mismo. Para ciertos tipos de grupos de Lie, concretamente los grupos compactos ^{[ 2 ]} y semisimples ^{[ 3 ]} , toda representación de dimensión finita se descompone como una suma directa de representaciones irreducibles, una propiedad conocida como reducibilidad completa. Para estos grupos, un objetivo típico de la teoría de representaciones es clasificar todas las representaciones irreducibles de dimensión finita del grupo dado, salvo isomorfismo. (Véase la sección de Clasificación más adelante).

Una representación unitaria en un espacio de producto interno de dimensión finita se define de la misma manera, excepto que${\displaystyle \Pi }$es necesario mapear en el grupo de operadores unitarios . Si G es un grupo de Lie compacto , toda representación de dimensión finita es equivalente a una unitaria. ^{[ 2 ]}

Cada representación de un grupo de Lie G da lugar a una representación de su álgebra de Lie; esta correspondencia se analiza en detalle en secciones posteriores. Véase la representación de álgebras de Lie para la teoría de álgebras de Lie.

El grupo de rotación SO(3) es un grupo de Lie compacto y, por lo tanto, toda representación de dimensión finita de SO(3) se descompone como una suma directa de representaciones irreducibles. El grupo SO(3) tiene una representación irreducible en cada dimensión impar. ^{[ 4 ]} Para cada entero no negativo${\displaystyle k}$, la representación irreducible de dimensión${\displaystyle 2k+1}$puede realizarse como el espacio${\displaystyle V_{k}}$de polinomios armónicos homogéneos en${\displaystyle \mathbb {R} ^{3}}$de grado${\displaystyle k}$. ^{[ 5 ]} Aquí, SO(3) actúa sobre${\displaystyle V_{k}}$de la forma habitual en que las rotaciones actúan sobre las funciones${\displaystyle \mathbb {R} ^{3}}$:

${\displaystyle (\Pi (R)f)(x)=f(R^{-1}x)\quad R\in \operatorname {SO} (3).}$

La restricción a la esfera unitaria${\displaystyle S^{2}}$de los elementos de${\displaystyle V_{k}}$son los armónicos esféricos de grado${\displaystyle k}$.

Si, por ejemplo,${\displaystyle k=1}$, entonces todos los polinomios que son homogéneos de grado uno son armónicos, y obtenemos un espacio tridimensional${\displaystyle V_{1}}$generados por los polinomios lineales${\displaystyle x}$,${\displaystyle y}$, y${\displaystyle z}$. Si${\displaystyle k=2}$, el espacio${\displaystyle V_{2}}$está generado por los polinomios${\displaystyle xy}$,${\displaystyle xz}$,${\displaystyle yz}$,${\displaystyle x^{2}-y^{2}}$, y${\displaystyle x^{2}-z^{2}}$.

Como se mencionó anteriormente, las representaciones de dimensión finita de SO(3) surgen naturalmente al estudiar la ecuación de Schrödinger independiente del tiempo para un potencial radial, como el del átomo de hidrógeno , como reflejo de la simetría rotacional del problema. (Véase el papel que desempeñan los armónicos esféricos en el análisis matemático del hidrógeno ).

Si observamos el álgebra de Lie${\displaystyle {\mathfrak {entonces}}(3)}$de SO(3), esta álgebra de Lie es isomorfa al álgebra de Lie${\displaystyle {\mathfrak {su}}(2)}$de SU(2). Por la teoría de representación de${\displaystyle {\mathfrak {su}}(2)}$, entonces existe una representación irreducible de${\displaystyle {\mathfrak {entonces}}(3)}$en todas las dimensiones. Sin embargo, las representaciones de dimensión par no corresponden a representaciones del grupo SO(3). ^{[ 6 ]} Estas llamadas representaciones de "espín fraccional" sí corresponden a representaciones proyectivas de SO(3). Estas representaciones surgen en la mecánica cuántica de partículas con espín fraccional, como un electrón.

Si tenemos dos representaciones de un grupo${\displaystyle G}$,${\displaystyle \Pi _{1}:G\rightarrow GL(V_{1})}$y${\displaystyle \Pi _{2}:G\rightarrow GL(V_{2})}$, entonces la suma directa tendría${\displaystyle V_{1}\oplus V_{2}}$como el espacio vectorial subyacente, con la acción del grupo dada por

${\displaystyle \Pi (g)(v_{1},v_{2})=(\Pi _{1}(g)v_{1},\Pi _{2}(g)v_{2}),}$

a pesar de${\ Displaystyle v_ {1} \ en V_ {1},}$${\ Displaystyle v_ {2} \ en V_ {2}}$, y${\displaystyle g\in G}$.

Ciertos tipos de grupos de Lie —en particular, los grupos de Lie compactos— tienen la propiedad de que toda representación de dimensión finita es isomorfa a una suma directa de representaciones irreducibles. ^{[ 2 ]} En tales casos, la clasificación de representaciones se reduce a la clasificación de representaciones irreducibles. Véase el teorema de Weyl sobre reducibilidad completa .

Si tenemos dos representaciones de un grupo${\displaystyle G}$,${\displaystyle \Pi _{1}:G\rightarrow GL(V_{1})}$y${\displaystyle \Pi _{2}:G\rightarrow GL(V_{2})}$, entonces el producto tensorial de las representaciones tendría el espacio vectorial del producto tensorial${\displaystyle V_{1}\otimes V_{2}}$como el espacio vectorial subyacente, con la acción de${\displaystyle G}$determinado de forma única por el supuesto de que

${\displaystyle \Pi (g)(v_{1}\otimes v_{2})=(\Pi _{1}(g)v_{1})\otimes (\Pi _{2}(g)v_{2})}$

a pesar de${\ Displaystyle v_ {1} \ en V_ {1}}$y${\ Displaystyle v_ {2} \ en V_ {2}}$. Es decir,${\displaystyle \Pi (g)=\Pi _{1}(g)\otimes \Pi _{2}(g)}$.

La representación del álgebra de Lie${\displaystyle \pi }$asociado a la representación del producto tensorial${\displaystyle \Pi }$viene dada por la fórmula: ^{[ 8 ]}

${\displaystyle \pi (X)=\pi _{1}(X)\otimes I+I\otimes \pi _{2}(X).}$

El producto tensorial de dos representaciones irreducibles generalmente no es irreducible; un problema fundamental en la teoría de representaciones consiste entonces en descomponer los productos tensoriales de representaciones irreducibles como una suma directa de subespacios irreducibles. Este problema se conoce en la literatura física como "suma de momento angular" o " teoría de Clebsch-Gordan ".

Dejar${\displaystyle G}$ser un grupo de mentiras y${\displaystyle \Pi :G\rightarrow GL(V)}$Sea una representación de G.${\displaystyle V^{*}}$sea ​​el espacio dual, es decir, el espacio de funcionales lineales en${\displaystyle V}$Entonces podemos definir una representación${\displaystyle \Pi ^{*}:G\rightarrow GL(V^{*})}$por la fórmula

${\displaystyle \Pi ^{*}(g)=(\Pi (g^{-1}))^{\operatorname {tr} },}$

donde para cualquier operador${\displaystyle A:V\rightarrow V}$, el operador de transposición${\displaystyle A^{\operatorname {tr} }:V^{*}\rightarrow V^{*}}$se define como la "composición con${\displaystyle A}$" operador:

${\displaystyle (A^{\operatorname {tr} }\phi )(v)=\phi (Av).}$

(Si trabajamos sobre una base, entonces${\displaystyle A^{\operatorname {tr} }}$es simplemente la transpuesta de matriz habitual de${\displaystyle A}$.) Lo inverso en la definición de${\displaystyle \Pi ^{*}}$es necesario para garantizar que${\displaystyle \Pi ^{*}}$en realidad es una representación de${\displaystyle G}$, a la luz de la identidad${\displaystyle (AB)^{\operatorname {tr} }=B^{\operatorname {tr} }A^{\operatorname {tr} }}$.

El dual de una representación irreducible es siempre irreducible, ^{[ 9 ]} pero puede o no ser isomorfo a la representación original. En el caso del grupo SU(3), por ejemplo, las representaciones irreducibles se etiquetan con un par${\displaystyle (m_{1},m_{2})}$de enteros no negativos. El dual de la representación asociada a${\displaystyle (m_{1},m_{2})}$es la representación asociada a${\displaystyle (m_{2},m_{1})}$. ^{[ 10 ]}

En muchos casos, resulta conveniente estudiar las representaciones de un grupo de Lie mediante el estudio de las representaciones del álgebra de Lie asociada. Sin embargo, en general, no toda representación del álgebra de Lie proviene de una representación del grupo. Por ejemplo, esto explica la distinción entre espín entero y espín semientero en mecánica cuántica. Por otro lado, si G es un grupo simplemente conexo , entonces un teorema ^{[ 11 ]} afirma que, de hecho, existe una correspondencia biunívoca entre las representaciones del grupo y del álgebra de Lie.

Sea G un grupo de Lie con álgebra de Lie${\displaystyle {\mathfrak {g}}}$y suponemos que una representación${\displaystyle \pi }$de${\displaystyle {\mathfrak {g}}}$está a mano. La correspondencia de Lie puede emplearse para obtener representaciones de grupo de la componente conexa de G. En términos generales, esto se logra tomando la exponencial matricial de las matrices de la representación del álgebra de Lie. Surge una sutileza si G no es simplemente conexo . Esto puede resultar en representaciones proyectivas o, en términos de física, representaciones multivaluadas de G. Estas son, en realidad , representaciones del grupo de recubrimiento universal de G.

Estos resultados se explicarán con más detalle a continuación.

La correspondencia de Lie proporciona resultados únicamente para la componente conexa de los grupos, por lo que las demás componentes del grupo completo se tratan por separado, asignando representantes a las matrices que las representan, una para cada componente. Estos representantes forman el grupo de homotopía cero de G. Por ejemplo, en el caso del grupo de Lorentz de cuatro componentes , los representantes de la inversión espacial y la inversión temporal deben introducirse manualmente . A continuación, se presentarán más ejemplos a partir de la teoría de la representación del grupo de Lorentz .

Si${\displaystyle G}$es un grupo de Lie con álgebra de Lie${\displaystyle {\mathfrak {g}}}$, entonces tenemos el mapa exponencial de${\displaystyle {\mathfrak {g}}}$a${\displaystyle G}$, escrito como

${\displaystyle X\mapsto e^{X},\quad X\in {\mathfrak {g}}.}$

Si${\displaystyle G}$es un grupo de Lie matricial, la expresión${\displaystyle e^{X}}$se puede calcular mediante la serie de potencias habitual para la exponencial. En cualquier grupo de Lie, existen entornos${\displaystyle U}$de la identidad en${\displaystyle G}$y${\displaystyle V}$del origen en${\displaystyle {\mathfrak {g}}}$con la propiedad que cada${\displaystyle g}$en${\displaystyle U}$puede escribirse de forma única como${\displaystyle g=e^{X}}$con${\displaystyle X\in V}$Es decir, la función exponencial tiene una inversa local . En la mayoría de los grupos, esta inversa es solo local; es decir, la función exponencial no suele ser ni biyectiva ni sobreyectiva.

Siempre es posible pasar de una representación de un grupo de Lie G a una representación de su álgebra de Lie.${\displaystyle {\mathfrak {g}}.}$Si Π  : G → GL( V ) es una representación de grupo para algún espacio vectorial V , entonces su avance (diferencial) en la identidad, o mapa de Lie ,${\displaystyle \pi$ :{\mathfrak {g}}\to {\text{End}}V} es una representación de álgebra de Lie. Se calcula explícitamente usando ^{[ 12 ].}

Una propiedad básica relacionada${\displaystyle \Pi }$y${\displaystyle \pi }$implica el mapa exponencial: ^{[ 12 ]}

${\displaystyle \Pi (e^{X})=e^{\pi (X)}.}$

La pregunta que deseamos investigar es si toda representación de${\displaystyle {\mathfrak {g}}}$surge de esta manera de las representaciones del grupo${\displaystyle G}$Como veremos, este es el caso cuando${\displaystyle G}$simplemente está conectado.

El resultado principal de esta sección es el siguiente: ^{[ 13 ]}

Teorema : Si${\displaystyle G}$simplemente está conectado, entonces cada representación${\displaystyle \pi }$del álgebra de Lie${\displaystyle {\mathfrak {g}}}$de${\displaystyle G}$proviene de una representación${\displaystyle \Pi }$de${\displaystyle G}$sí mismo.

De esto deducimos fácilmente lo siguiente:

Corolario : Si${\displaystyle G}$está conectado pero no simplemente conectado, cada representación${\displaystyle \pi }$de${\displaystyle {\mathfrak {g}}}$proviene de una representación${\displaystyle \Pi }$de${\displaystyle {\tilde {G}}}$, la portada universal de${\displaystyle G}$. Si${\displaystyle \pi }$es irreductible, entonces${\displaystyle \Pi }$desciende a una representación proyectiva de${\displaystyle G}$.

Una representación proyectiva es aquella en la que cada${\displaystyle \Pi (g),\,g\in G,}$se define solo hasta la multiplicación por una constante. En física cuántica, es natural permitir representaciones proyectivas además de las ordinarias, porque los estados realmente se definen solo hasta una constante. (Es decir, si${\displaystyle \psi }$es un vector en el espacio de Hilbert cuántico, entonces${\displaystyle c\psi }$representa el mismo estado físico para cualquier constante${\displaystyle c}$.) Toda representación proyectiva de dimensión finita de un grupo de Lie conexo${\displaystyle G}$proviene de una representación ordinaria de la cubierta universal${\displaystyle {\tilde {G}}}$de${\displaystyle G}$. ^{[ 14 ]} Por el contrario, como discutiremos más adelante, toda representación ordinaria irreducible de${\displaystyle {\tilde {G}}}$desciende a una representación proyectiva de${\displaystyle G}$En la literatura de física, las representaciones proyectivas a menudo se describen como representaciones multivaluadas (es decir, cada${\displaystyle \Pi (g)}$no tiene un único valor, sino toda una familia de valores). Este fenómeno es importante para el estudio del espín fraccionario en mecánica cuántica.

A continuación, exponemos la demostración de los resultados principales anteriores. Supongamos que${\displaystyle \pi$ :{\mathfrak {g}}\to {\mathfrak {gl}}(V)} es una representación de${\displaystyle {\mathfrak {g}}}$en un espacio vectorial V. Si va a haber una representación de grupo de Lie asociada${\displaystyle \Pi }$, debe satisfacer la relación exponencial de la subsección anterior. Ahora, a la luz de la invertibilidad local de la exponencial, podemos definir un mapa${\displaystyle \Pi }$de un barrio${\displaystyle U}$de la identidad en${\displaystyle G}$por esta relación:

${\displaystyle \Pi (e^{X})=e^{\pi (X)},\quad g=e^{X}\in U.}$

Una pregunta clave es entonces esta: ¿Es este mapa definido localmente un "homomorfismo local"? (Esta pregunta se aplicaría incluso en el caso especial en que el mapeo exponencial sea globalmente uno a uno y sobreyectivo; en ese caso,${\displaystyle \Pi }$Sería un mapa definido globalmente, pero no es obvio por qué.${\displaystyle \Pi }$sería un homomorfismo.) La respuesta a esta pregunta es sí:${\displaystyle \Pi }$es un homomorfismo local, y esto se puede establecer utilizando la fórmula de Baker-Campbell-Hausdorff . ^{[ 15 ]}

Si${\displaystyle G}$está conectado, entonces cada elemento de${\displaystyle G}$es al menos un producto de exponenciales de elementos de${\displaystyle {\mathfrak {g}}}$Por lo tanto, podemos definir tentativamente${\displaystyle \Pi }$globalmente de la siguiente manera.

Sin embargo, tenga en cuenta que la representación de un elemento de grupo dado como producto de exponenciales está muy lejos de ser única, por lo que está muy lejos de ser claro que${\displaystyle \Pi }$En realidad está bien definido.

Para abordar la cuestión de si${\displaystyle \Pi }$está bien definido, conectamos cada elemento del grupo${\displaystyle g\in G}$a la identidad usando una ruta continua. Entonces es posible definir${\displaystyle \Pi }$a lo largo del camino y para demostrar que el valor de${\displaystyle \Pi (g)}$permanece sin cambios bajo deformación continua de la trayectoria con puntos finales fijos. Si${\displaystyle G}$simplemente está conectado, cualquier camino que comience en la identidad y termine en${\displaystyle g}$puede deformarse continuamente en cualquier otra trayectoria de este tipo, lo que demuestra que${\displaystyle \Pi (g)}$es totalmente independiente de la elección de la ruta. Dado que la definición inicial de${\displaystyle \Pi }$Cerca de la identidad había un homomorfismo local, no es difícil demostrar que el mapa definido globalmente también es un homomorfismo que satisface (G2) . ^{[ 16 ]}

Si${\displaystyle G}$No es simplemente una conexión, podemos aplicar el procedimiento anterior a la cubierta universal.${\displaystyle {\tilde {G}}}$de${\displaystyle G}$. Dejar${\displaystyle p:{\tilde {G}}\rightarrow G}$ser el mapa de cobertura. Si sucediera que el núcleo de${\displaystyle \Pi$ :{\tilde {G}}\rightarrow \operatorname {GL} (V)} contiene el núcleo de${\displaystyle p}$, entonces${\displaystyle \Pi }$desciende a una representación del grupo original${\displaystyle G}$. Incluso si este no es el caso, tenga en cuenta que el núcleo de${\displaystyle p}$es un subgrupo normal discreto de${\displaystyle {\tilde {G}}}$, que por lo tanto se encuentra en el centro de${\displaystyle {\tilde {G}}}$. Por lo tanto, si${\displaystyle \pi }$es irreducible, el lema de Schur implica que el núcleo de${\displaystyle p}$actuará mediante múltiplos escalares de la identidad. Por lo tanto,${\displaystyle \Pi }$desciende a una representación proyectiva de${\displaystyle G}$, es decir, una que se define solo módulo múltiplos escalares de la identidad.

Se ofrece una representación gráfica de cómo el grupo de recubrimiento universal contiene todas esas clases de homotopía, y una definición técnica del mismo (como conjunto y como grupo) desde una perspectiva geométrica .

Por ejemplo, cuando esto se especializa al SO(3, 1) ⁺ doblemente conectado , el grupo de recubrimiento universal es${\displaystyle {\text{SL}}(2,\mathbb {C} )}$y si su representación correspondiente es fiel decide si Π es proyectiva .

Si el espacio de Hilbert V es de dimensión finita, existe una representación asociada.${\displaystyle \pi }$del álgebra de Lie${\displaystyle {\mathfrak {g}}}$de${\displaystyle G}$. Si${\displaystyle G}$está conectado, entonces la representación${\displaystyle \Pi }$de${\displaystyle G}$es unitaria si y solo si${\displaystyle \pi (X)}$es sesgado autoadjunto para cada${\displaystyle X\in {\mathfrak {g}}}$. ^{[ 18 ]}

Si${\displaystyle G}$es compacto , entonces cada representación${\displaystyle \Pi }$de${\displaystyle G}$en un espacio vectorial de dimensión finita V es "unitarizable", lo que significa que es posible elegir un producto interno en V de modo que cada${\displaystyle \Pi (g),\,g\in G}$es unitario. ^{[ 19 ]}

Si se permite que el espacio de Hilbert V sea de dimensión infinita, el estudio de las representaciones unitarias implica una serie de características interesantes que no están presentes en el caso de dimensión finita. Por ejemplo, la construcción de una representación apropiada del álgebra de Lie.${\displaystyle {\mathfrak {g}}}$se vuelve técnicamente desafiante. Un entorno en el que la representación del álgebra de Lie se entiende bien es el de los grupos de Lie semisimples (o reductivos), donde la representación del álgebra de Lie asociada forma un (g,K)-módulo .

Ejemplos de representaciones unitarias surgen en la mecánica cuántica y la teoría cuántica de campos, pero también en el análisis de Fourier , como se muestra en el siguiente ejemplo. Sea${\displaystyle G=\mathbb {R} }$y sea V el espacio de Hilbert complejo .${\displaystyle L^{2}(\mathbb {R} )}$. Definimos la representación${\displaystyle \psi$ :\mathbb {R} \rightarrow U(L^{2}(\mathbb {R} ))} por

${\displaystyle [\psi (a)(f)](x)=f(x-a).}$

Aquí se presentan algunos ejemplos importantes en los que se han analizado representaciones unitarias de un grupo de Lie.

• El teorema de Stone-von Neumann puede entenderse como una clasificación de las representaciones unitarias irreducibles del grupo de Heisenberg .
• La clasificación de Wigner para las representaciones del grupo de Poincaré desempeña un papel conceptual fundamental en la teoría cuántica de campos, al mostrar cómo la masa y el espín de las partículas pueden entenderse en términos de teoría de grupos.
• La teoría de representación de SL(2,R) fue desarrollada por V. Bargmann y sirve como prototipo para el estudio de representaciones unitarias de grupos de Lie semisimples no compactos.