Representación regular

En matemáticas , y en particular en la teoría de las representaciones de grupos , la representación regular de un grupo G es la representación lineal que proporciona la acción de grupo de G sobre sí mismo mediante traslación .

Se distingue entre la representación regular izquierda λ, dada por la traslación izquierda, y la representación regular derecha ρ, dada por la inversa de la traslación derecha.

Para un grupo finito G , la representación regular izquierda λ (sobre un cuerpo K ) es una representación lineal en el espacio vectorial V sobre K libremente generado por los elementos de G , es decir, los elementos de G pueden identificarse con una base de V. Dado g ∈ G , λg _es la aplicación lineal determinada por su acción sobre la base mediante traslación izquierda por g , es decir  

${\displaystyle \lambda _{g}:h\mapsto gh,{\text{ para todo }}h\in G.}$

Para la representación regular derecha ρ, debe ocurrir una inversión para satisfacer los axiomas de una representación. Específicamente, dado g  ∈ G , ρg _es la aplicación lineal en V determinada por su acción sobre la base mediante traslación derecha por g ^{− 1} , es decir 

${\displaystyle \rho _{g}:h\mapsto hg^{-1},{\text{ para todo }}h\in G.\ }$

Alternativamente, estas representaciones pueden definirse en el espacio vectorial K W de todas las funciones G → K. Es de esta forma que la representación regular se generaliza a grupos topológicos como los grupos de Lie .

La definición específica en términos de W es la siguiente. Dada una función f  : G → K y un elemento g  ∈ G , 

${\displaystyle (\lambda _{g}f)(x)=f(\lambda _{g}^{-1}(x))=f({g}^{-1}x)}$

y

${\displaystyle (\rho _{g}f)(x)=f(\rho _{g}^{-1}(x))=f(xg).}$

Todo grupo G actúa sobre sí mismo mediante traslaciones. Si consideramos esta acción como una representación de permutación, se caracteriza por tener una única órbita y estabilizar el subgrupo identidad { e } de G. La representación regular de G , para un cuerpo K dado , es la representación lineal que se obtiene al tomar esta representación de permutación como un conjunto de vectores base de un espacio vectorial sobre K. La importancia radica en que, si bien la representación de permutación no se descompone (es transitiva ), la representación regular, en general, se divide en representaciones más pequeñas. Por ejemplo, si G es un grupo finito y K es el cuerpo de los números complejos , la representación regular se descompone como una suma directa de representaciones irreducibles , donde cada representación irreducible aparece en la descomposición con multiplicidad igual a su dimensión . El número de estas representaciones irreducibles es igual al número de clases de conjugación de G.

El hecho anterior puede explicarse mediante la teoría de caracteres . Recordemos que el carácter de la representación regular χ (g) es el número de puntos fijos de g que actúan sobre la representación regular V. Esto significa que el número de puntos fijos χ (g) es cero cuando g no es id y | G | en caso contrario. Sea V la descomposición ⊕ a _i V _i donde V _i son representaciones irreducibles de G y a _i son las multiplicidades correspondientes. Mediante la teoría de caracteres , la multiplicidad a _i puede calcularse como

${\displaystyle a_{i}=\langle \chi ,\chi _{i}\rangle ={\frac {1}{|G|}}\sum {\overline {\chi (g)}}\chi _{i}(g)={\frac {1}{|G|}}\chi (1)\chi _{i}(1)=\operatorname {dim} V_{i},}$ lo que significa que la multiplicidad de cada representación irreducible es su dimensión.

El artículo sobre anillos de grupo articula la representación regular para grupos finitos , además de mostrar cómo la representación regular puede tomarse como un módulo .

Para expresar la construcción de forma más abstracta, el anillo de grupo K [ G ] se considera como un módulo sobre sí mismo. (Aquí se puede elegir entre acción izquierda o derecha, pero esto no es importante salvo por la notación). Si G es finito y la característica de K no divide a | G |, se trata de un anillo semisimple y estamos considerando sus ideales de anillo izquierdo (derecho) . Esta teoría se ha estudiado en profundidad. Se sabe, en particular, que la descomposición en suma directa de la representación regular contiene un representante de cada clase de isomorfismo de representaciones lineales irreducibles de G sobre K. Se puede decir que la representación regular es completa para la teoría de representaciones, en este caso. El caso modular, cuando la característica de K sí divide a | G |, es más complejo principalmente porque, con K [ G ] no semisimple, una representación puede no ser irreducible sin dividirse como una suma directa.

Para un grupo cíclico C generado por g de orden n , la forma matricial de un elemento de K [ C ] que actúa sobre K [ C ] mediante multiplicación toma una forma distintiva conocida como matriz circulante , en la que cada fila es un desplazamiento a la derecha de la anterior (en orden cíclico , es decir, con el elemento más a la derecha apareciendo a la izquierda), cuando se refiere a la base natural.

1, g , g ² , ..., g ^{n − 1} .

Cuando el campo K contiene una raíz primitiva n -ésima de la unidad , se puede diagonalizar la representación de C escribiendo n autovectores simultáneos linealmente independientes para todos los circulantes n × n . De hecho, si ζ es cualquier raíz n -ésima de la unidad, el elemento

1 + ζ gramo + ζ ² gramo ² + ... + ζ ^{norte − 1} gramo ^{norte − 1}

es un vector propio para la acción de g por multiplicación, con valor propio

ζ ^{− 1}

y también un vector propio de todas las potencias de g y sus combinaciones lineales.

Esta es la forma explícita, en este caso, del resultado abstracto que establece que sobre un cuerpo algebraicamente cerrado K (como los números complejos ), la representación regular de G es completamente reducible , siempre que la característica de K (si es un número primo p ) no divida el orden de G. Esto se conoce como el teorema de Maschke . En este caso, la condición sobre la característica está implícita en la existencia de una raíz primitiva n -ésima de la unidad, lo cual no puede ocurrir cuando la característica prima p divide a n .

Los determinantes circulantes aparecieron por primera vez en las matemáticas del siglo XIX, y se dedujo la consecuencia de su diagonalización. Es decir, el determinante de un circulante es el producto de los n autovalores para los n autovectores descritos anteriormente. El trabajo fundamental de Frobenius sobre representaciones de grupos comenzó con la motivación de encontrar factorizaciones análogas de los determinantes de grupo para cualquier G finito ; es decir, los determinantes de matrices arbitrarias que representan elementos de K [ G ] actuando mediante la multiplicación sobre los elementos base dados por g en G. A menos que G sea abeliano , la factorización debe contener factores no lineales que correspondan a representaciones irreducibles de G de grado > 1.

Para un grupo topológico G , la representación regular en el sentido anterior debe reemplazarse por un espacio adecuado de funciones sobre G , donde G actúa mediante traslación. Véase el teorema de Peter-Weyl para el caso compacto . Si G es un grupo de Lie pero no compacto ni abeliano , esto constituye un problema complejo de análisis armónico . El caso abeliano localmente compacto forma parte de la teoría de dualidad de Pontryagin .

En la teoría de Galois se demuestra que para un cuerpo L y un grupo finito G de automorfismos de L , el cuerpo fijo K de G tiene [ L : K ] = | G |. De hecho, podemos decir más: L visto como un K [ G ]-módulo es la representación regular. Este es el contenido del teorema de la base normal , siendo una base normal un elemento x de L tal que los g ( x ) para g en G son una base de espacio vectorial para L sobre K. Tales x existen, y cada uno da un K [ G ]-isomorfismo de L a K [ G ]. Desde el punto de vista de la teoría algebraica de números , es interesante estudiar las bases enteras normales , donde intentamos reemplazar L y K por los anillos de enteros algebraicos que contienen. Ya en el caso de los enteros gaussianos se puede ver que tales bases pueden no existir: a + bi y a − bi nunca pueden formar una base de Z -módulo de Z [ i ] porque 1 no puede ser una combinación entera. Las razones se estudian en profundidad en la teoría de módulos de Galois .

La representación regular de un anillo de grupo es tal que las representaciones regulares izquierda y derecha dan módulos isomorfos (y a menudo no necesitamos distinguir los casos). Dada una álgebra sobre un cuerpo A , no tiene sentido inmediatamente preguntar sobre la relación entre A como módulo izquierdo sobre sí mismo y como módulo derecho. En el caso de grupo, la aplicación sobre los elementos base g de K [ G ] definida tomando el elemento inverso da un isomorfismo de K [ G ] a su anillo opuesto . Para A general, dicha estructura se llama álgebra de Frobenius . Como su nombre lo indica, estas fueron introducidas por Frobenius en el siglo XIX. Se ha demostrado que están relacionadas con la teoría cuántica de campos topológica en 1 + 1 dimensiones mediante un caso particular de la hipótesis del cobordismo .

• Representación fundamental
• Representación de permutación
• Representación cuasirregular

• Fulton, William ; Harris, Joe (1991). Teoría de la representación. Un primer curso . Textos de posgrado en matemáticas , Lecturas en matemáticas. Vol.  129. Nueva York: Springer-Verlag. doi : 10.1007/978-1-4612-0979-9 . ISBN 978-0-387-97495-8. MR 1153249 . OCLC 246650103 .