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Articulo de referencia

Plaza latina

Esta vidriera del Gonville and Caius College de Cambridge , que muestra un cuadrado latino de 7 × 7, rendía homenaje a Ronald Fisher , cuya obra «Diseño de experimentos» trataba...

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Esta vidriera del Gonville and Caius College de Cambridge , que muestra un cuadrado latino de 7 × 7, rendía homenaje a Ronald Fisher , cuya obra «Diseño de experimentos» trataba sobre cuadrados latinos. La vidriera de Sir Ronald Fisher fue retirada en 2020 debido a la relación de Fisher con la eugenesia. [ 1 ]

En combinatoria y diseño experimental , un cuadrado latino es una matriz de n × n llena de n símbolos diferentes, cada uno de los cuales aparece exactamente una vez en cada fila y exactamente una vez en cada columna. Un ejemplo de un cuadrado latino de 3 × 3 es      

El nombre "cuadrado latino" se inspiró en los trabajos matemáticos de Leonhard Euler (1707-1783), quien utilizó caracteres latinos como símbolos, [ 2 ] [ 3 ] pero se puede usar cualquier conjunto de símbolos: en el ejemplo anterior, la secuencia alfabética A,  B,  C puede reemplazarse por la secuencia de números enteros 1,  2,  3. Euler inició la teoría general de los cuadrados latinos. [ 4 ]

Historia

El matemático coreano Choi Seok-jeong fue el primero en publicar un ejemplo de cuadrados latinos de orden nueve, con el fin de construir un cuadrado mágico en 1700, adelantándose a Leonhard Euler por 67 años. [ 5 ]

Cálculo

Este relato sigue a McKay, Meynert y Myrvold (2007 , p. 100) . [ 6 ] 

El conteo de cuadrados latinos tiene una larga historia, pero los relatos publicados contienen muchos errores. Euler en 1782, [ 7 ] y Cayley en 1890, [ 8 ] conocían el número de cuadrados latinos reducidos hasta el orden cinco. En 1915, MacMahon [ 9 ] abordó el problema de una manera diferente, pero inicialmente obtuvo un valor incorrecto para el orden cinco. M. Frolov en 1890, [ 10 ] y Tarry en 1901, [ 11 ] [ 12 ] encontraron el número de cuadrados reducidos de orden seis. M. Frolov dio un conteo incorrecto de cuadrados reducidos de orden siete. RA Fisher y F. Yates , [ 13 ] sin conocer el trabajo anterior de E. Schönhardt, [ 14 ] dieron el número de clases de isotopía de órdenes hasta seis. En 1939, HW Norton encontró 562 clases de isótopos de orden siete, [ 15 ] pero reconoció que su método era incompleto. A. Sade, en 1951, [ 16 ] pero publicado privadamente antes en 1948, y PN Saxena [ 17 ] encontraron más clases y, en 1966, DA Preece señaló que esto corregía el resultado de Norton a 564 clases de isótopos. [ 18 ] Sin embargo, en 1968, JW Brown anunció un valor incorrecto de 563, [ 19 ] que se ha repetido a menudo. También dio el número incorrecto de clases de isótopos de orden ocho. El número correcto de cuadrados reducidos de orden ocho ya había sido encontrado por MB Wells en 1967, [ 20 ] y los números de clases de isótopos, en 1990, por G. Kolesova, CWH Lam y L. Thiel. [ 21 ] El número de cuadrados reducidos para el orden nueve fue obtenido por SE Bammel y J. Rothstein, [ 22 ] para el orden 10 por BD McKay y E. Rogoyski, [ 23 ] y para el orden 11 por BD McKay e IM Wanless. [ 24 ]

forma reducida

Se dice que un cuadrado latino está reducido (también normalizado o en forma estándar ) si tanto su primera fila como su primera columna están en su orden natural. [ 25 ] Por ejemplo, el cuadrado latino anterior no está reducido porque su primera columna es A,  C,  B en lugar de A,  B,  C.

Cualquier cuadrado latino se puede reducir permutando (es decir, reordenando) las filas y columnas. En este caso, al intercambiar la segunda y la tercera fila de la matriz anterior se obtiene el siguiente cuadrado:

Este cuadrado latino está reducido; tanto su primera fila como su primera columna están ordenadas alfabéticamente A,  B,  C.

Propiedades

Representación de matriz ortogonal

Si cada elemento de un cuadrado latino n × n se escribe como una terna ( r , c , s ), donde r es la fila, c es la columna y s es el símbolo, obtenemos un conjunto de n × 2 ternas llamado representación de matriz ortogonal del cuadrado. Por ejemplo, la representación de matriz ortogonal del cuadrado latino

es

{ (1, 1, 1), (1, 2, 2), (1, 3, 3), (2, 1, 2), (2, 2, 3), (2, 3, 1), (3, 1, 3), (3, 2, 1), (3, 3, 2) },

donde, por ejemplo, la tripleta (2, 3, 1) significa que en la fila 2 y la columna 3 está el símbolo 1. Las matrices ortogonales se suelen escribir en forma de matriz donde las tripletas son las filas, como por ejemplo:

La definición de un cuadrado latino se puede escribir en términos de matrices ortogonales:

  • Un cuadrado latino es un conjunto de n 2 triples ( r , c , s ), donde 1 ≤ r , c , s ≤ n , de tal manera que todos los pares ordenados ( r , c ) son distintos, todos los pares ordenados ( r , s ) son distintos y todos los pares ordenados ( c , s ) son distintos.

Esto significa que los n 2 pares ordenados ( r , c ) son todos los pares ( i , j ) con 1 ≤ i , j ≤ n , una vez cada uno. Lo mismo es cierto para los pares ordenados ( r , s ) y los pares ordenados ( c , s ).

La representación mediante matrices ortogonales muestra que las filas, las columnas y los símbolos desempeñan funciones bastante similares, como se explicará más adelante.

Clases de equivalencia de cuadrados latinos

Muchas operaciones realizadas sobre un cuadrado latino producen otro cuadrado latino (por ejemplo, darle la vuelta).

Si permutamos las filas, las columnas o los nombres de los símbolos de un cuadrado latino, obtenemos un nuevo cuadrado latino isotópico al primero. El isotopismo es una relación de equivalencia , por lo que el conjunto de todos los cuadrados latinos se divide en subconjuntos, llamados clases de isotopía , de modo que dos cuadrados de la misma clase son isotópicos y dos cuadrados de clases diferentes no lo son.

Existe una forma más fuerte de equivalencia. Dos cuadrados latinos L 1 y L 2 de lado n con un conjunto de símbolos común S que también es el conjunto de índices para las filas y columnas de cada cuadrado son isomorfos si hay una biyección g : S → S tal que g ( L 1 ( i , j )) = L 2 ( g ( i ), g ( j )) para todo i , j en S . [ 26 ] Una forma alternativa de definir cuadrados latinos isomorfos es decir que un par de cuadrados latinos isotópicos son isomorfos si las tres biyecciones utilizadas para mostrar que son isotópicos son, de hecho, iguales. [ 27 ] El isomorfismo también es una relación de equivalencia y sus clases de equivalencia se llaman clases de isomorfismo .

Otro tipo de operación se explica más fácilmente utilizando la representación de matriz ortogonal del cuadrado latino. Si reordenamos sistemática y consistentemente los tres elementos de cada triple (es decir, permutamos las tres columnas en la forma de matriz), se obtiene otra matriz ortogonal (y, por lo tanto, otro cuadrado latino). Por ejemplo, podemos reemplazar cada triple ( r , c , s ) por ( c , r , s ), lo que corresponde a transponer el cuadrado (reflejarlo respecto a su diagonal principal), o podríamos reemplazar cada triple ( r , c , s ) por ( c , s , r ), lo cual es una operación más compleja. En total hay 6 posibilidades, incluyendo "no hacer nada", lo que nos da 6 cuadrados latinos llamados conjugados (también parástrofes ) del cuadrado original. [ 28 ]

Finalmente, podemos combinar estas dos operaciones de equivalencia: se dice que dos cuadrados latinos son paratópicos , también isotópicos de clase principal , si uno de ellos es isotópico a un conjugado del otro. Esta es nuevamente una relación de equivalencia, con las clases de equivalencia llamadas clases principales , especies o clases de paratopía . [ 28 ] Cada clase principal contiene hasta seis clases de isotopía.

Número de cuadrados latinos n × n

No se conoce ninguna fórmula fácilmente computable para el número L n de cuadrados latinos de n × n con símbolos 1, 2, ..., n . Los límites superior e inferior más precisos conocidos para n grande están muy separados. Un resultado clásico [ 29 ] es que ∏k=1norte(k¡)norte/k≥Lnorte≥(norte¡)2nortenortenorte2.{\displaystyle \prod _{k=1}^{n}\left(k!\right)^{n/k}\geq L_{n}\geq {\frac {\left(n!\right)^{2n}}{n^{n^{2}}}}.}

En 1992 se publicó una fórmula simple y explícita para el número de cuadrados latinos, pero aún no es fácil de calcular debido al aumento exponencial del número de términos. Esta fórmula para el número L n de cuadrados latinos de n × n es:Lnorte=norte¡∑A∈Bnorte(−1)σ0(A)(por⁡Anorte),{\displaystyle L_{n}=n!\sum _{A\in B_{n}}^{}(-1)^{\sigma _{0}(A)}{\binom {\operatorname {per} A}{n}},} donde B n es el conjunto de todas las matrices {0, 1} de n × n , σ 0 ( A ) es el número de entradas cero en la matriz A , y per( A ) es el permanente de la matriz A. [ 30 ]

La tabla siguiente contiene todos los valores exactos conocidos. Se puede observar que los números crecen extremadamente rápido. Para cada n , el número total de cuadrados latinos (secuencia A002860 en la OEIS ) es n ! ( n − 1)! veces el número de cuadrados latinos reducidos (secuencia A000315 en la OEIS ) .

Para cada n , cada clase de isótopo (secuencia A040082 en el OEIS ) contiene hasta ( n !) 3 cuadrados latinos (el número exacto varía), mientras que cada clase principal (secuencia A003090 en el OEIS ) contiene 1, 2, 3 o 6 clases de isótopos.

El número de cuadrados latinos estructuralmente distintos (es decir, los cuadrados no se pueden hacer idénticos mediante rotación, reflexión y permutación de los símbolos) para n = 1 hasta 7 es 1, 1, 1, 12, 192, 145164, 1524901344 respectivamente (secuencia A264603 en el OEIS ) .

Ejemplos

Damos un ejemplo de cuadrado latino de cada clase principal hasta el quinto orden.

[1][1221][123231312]{\displaystyle {\begin{bmatrix}1\end{bmatrix}}\quad {\begin{bmatrix}1&2\\2&1\end{bmatrix}}\quad {\begin{bmatrix}1&2&3\\2&3&1\\3&1&2\end{bmatrix}}}
[1234214334124321][1234241331424321]{\displaystyle {\begin{bmatrix}1&2&3&4\\2&1&4&3\\3&4&1&2\\4&3&2&1\end{bmatrix}}\quad {\begin{bmatrix}1&2&3&4\\2&4&1&3\\3&1&4&2\\4&3&2&1\end{bmatrix}}}
[1234523514354214125354132][1234524153354214153253214]{\displaystyle {\begin{bmatrix}1&2&3&4&5\\2&3&5&1&4\\3&5&4&2&1\\4&1&2&5&3\\5&4&1&3&2\end{bmatrix}}\quad {\begin{bmatrix}1&2&3&4&5\\2&4&1&5&3\\3&5&4&2&1\\4&1&5&3&2\\5&3&2&1&4\end{bmatrix}}}

Presentan, respectivamente, las tablas de multiplicar de los siguientes grupos:

  • {0} – el grupo trivial de 1 elemento
  • Z2{\displaystyle \mathbb {Z} _ {2}}– el grupo binario
  • Z3{\displaystyle \mathbb {Z} _ {3}}– grupo cíclico de orden 3
  • Z2×Z2{\displaystyle \mathbb {Z} _{2}\times \mathbb {Z} _{2}}– el grupo de cuatro Klein
  • Z4{\displaystyle \mathbb {Z} _ {4}}– grupo cíclico de orden 4
  • Z5{\displaystyle \mathbb {Z} _ {5}}– grupo cíclico de orden 5
  • El último es un ejemplo de cuasigrupo , o más bien de bucle , que no es asociativo.

Pares ortogonales

Dos cuadrados latinos del mismo orden n se denominan ortogonales si, al superponerlos, se obtiene cualquier par ordenado ( a , b ) de símbolos, donde a es un símbolo del primer cuadrado y b es uno del segundo. Los pares ortogonales y, en general, los conjuntos de cuadrados latinos ortogonales entre sí, son importantes en la teoría del diseño y la geometría finita.

Completar un cuadrado latino parcial

Un rectángulo latino es un rectángulo de m × n , donde m < n , de modo que cada número 1, ..., n aparece exactamente una vez en cada fila y como máximo una vez en cada columna. Cualquier rectángulo latino puede completarse para formar un cuadrado latino añadiendo filas. La demostración utiliza el teorema del matrimonio de Hall . [ 31 ]

De forma más general, se puede considerar el problema de si un relleno parcial de un cuadrado de n × n con los números 1, ..., n, que no contiene dos entradas iguales en ninguna fila o columna, puede completarse para formar un cuadrado latino. Si se dan n − 1 o menos celdas rellenas, esto siempre es posible. Se han considerado otras cuestiones de completabilidad. [ 32 ]

El problema de determinar si un cuadrado parcialmente lleno puede completarse para formar un cuadrado latino es NP-completo . [ 33 ]

Un conjunto crítico en un cuadrado latino es un cuadrado latino parcial que tiene una completación única, pero para el cual ningún subconjunto propio tiene una completación única. [ 34 ] Las notaciones scs( n ) y lcs( n ) denotan, respectivamente, el tamaño mínimo y máximo posible de un conjunto crítico en cualquier cuadrado latino de orden n . Los valores exactos de scs( n ) se conocen para n ≤ 8, [ 35 ] y los de lcs( n ) para n ≤ 7: [ 36 ]

Transversales y emparejamientos arcoíris

Una transversal en un cuadrado latino es una selección de n celdas, donde cada fila contiene una celda, cada columna contiene una celda y hay una celda que contiene cada símbolo.

Un cuadrado latino puede considerarse un grafo bipartito completo en el que las filas son vértices de una parte, las columnas son vértices de la otra parte, cada celda es una arista (entre su fila y su columna) y los símbolos son colores. Las reglas de los cuadrados latinos implican que esta es una coloración de aristas propia . Con esta definición, una transversal latina es un emparejamiento en el que cada arista tiene un color diferente; dicho emparejamiento se denomina emparejamiento arcoíris .

Por lo tanto, muchos resultados sobre cuadrados/rectángulos latinos se encuentran en artículos con el término "coincidencia arcoíris" en su título, y viceversa. [ 37 ]

Algunos cuadrados latinos no tienen transversal. Por ejemplo, cuando n es par, un cuadrado latino de n x n en el que el valor de la celda i , j es ( i + j ) mod n no tiene transversal. Aquí hay dos ejemplos:[1221][1234234134124123]{\displaystyle {\begin{bmatrix}1&2\\2&1\end{bmatrix}}\quad {\begin{bmatrix}1&2&3&4\\2&3&4&1\\3&4&1&2\\4&1&2&3\end{bmatrix}}}En 1967, HJ Ryser conjeturó que, cuando n es impar , todo cuadrado latino de n por n tiene una transversal. [ 38 ]

En 1975, SK Stein y Brualdi conjeturaron que, cuando n es par , todo cuadrado latino de n por n tiene una transversal parcial de tamaño n −1. [ 39 ]

Una conjetura más general de Stein es que una transversal de tamaño n −1 existe no solo en cuadrados latinos sino también en cualquier matriz n × n de n símbolos, siempre que cada símbolo aparezca exactamente n veces. [ 38 ]

Se han demostrado algunas versiones más débiles de estas conjeturas:

  • Todo cuadrado latino de n por n tiene una transversal parcial de tamaño 2 n /3. [ 40 ]
  • Todo cuadrado latino de n por n tiene una transversal parcial de tamaño n − sqrt( n ). [ 41 ]
  • Cada cuadrado latino de n por n tiene una transversal parcial de tamaño n − 11 log 2 2 ( n ). [ 42 ]
  • Cada cuadrado latino de n por n tiene una transversal parcial de tamaño n − O(log n/loglog n). [ 43 ]
  • Todo cuadrado latino n x n suficientemente grande tiene una transversal parcial de tamaño n −1. [ 44 ] (Preimpresión)

Algoritmos

Para cuadrados pequeños es posible generar permutaciones y comprobar si se cumple la propiedad del cuadrado latino. Para cuadrados más grandes, el algoritmo de Jacobson y Matthews permite muestrear a partir de una distribución uniforme sobre el espacio de cuadrados latinos de n  × n . [ 45 ] 

Aplicaciones

Estadística y matemáticas

Códigos de corrección de errores

Los conjuntos de cuadrados latinos ortogonales entre sí han encontrado aplicación como códigos correctores de errores en situaciones donde la comunicación se ve afectada por más tipos de ruido que el simple ruido blanco , como cuando se intenta transmitir Internet de banda ancha a través de líneas eléctricas. [ 48 ] [ 49 ] [ 50 ]

En primer lugar, el mensaje se envía utilizando varias frecuencias o canales, un método común que reduce la vulnerabilidad de la señal al ruido en cualquier frecuencia específica. Cada letra del mensaje se codifica mediante el envío de una serie de señales a diferentes frecuencias en intervalos de tiempo sucesivos. En el ejemplo siguiente, las letras de la A a la L se codifican enviando señales a cuatro frecuencias diferentes, en cuatro intervalos de tiempo. La letra C, por ejemplo, se codifica enviando primero señales a la frecuencia 3, luego a la 4, la 1 y la 2.

ABdoD[1234214334124321]miFGRAMOH[1342243131244213]IJKL[1423231432414132]{\displaystyle {\begin{matrix}A\\B\\C\\D\\\end{matrix}}{\begin{bmatrix}1&2&3&4\\2&1&4&3\\3&4&1&2\\4&3&2&1\\\end{bmatrix}}\quad {\begin{matrix}E\\F\\G\\H\\\end{matrix}}{\begin{bmatrix}1&3&4&2\\2&4&3&1\\3&1&2&4\\4&2&1&3\\\end{bmatrix}}\quad {\begin{matrix}I\\J\\K\\L\\\end{matrix}}{\begin{bmatrix}1&4&2&3\\2&3&1&4\\3&2&4&1\\4&1&3&2\\\end{bmatrix}}}

La codificación de las doce letras se forma a partir de tres cuadrados latinos que son ortogonales entre sí. Ahora imagina que hay ruido añadido en los canales 1 y 2 durante toda la transmisión. La letra A se captaría entonces como 1212123124{\displaystyle {\begin{matrix}12&12&123&124\end{matrix}}}

En otras palabras, en el primer intervalo recibimos señales de las frecuencias 1 y 2; mientras que el tercer intervalo tiene señales de las frecuencias 1, 2 y 3. Debido al ruido, ya no podemos determinar si los dos primeros intervalos fueron 1,1, 1,2, 2,1 o 2,2. Pero el caso 1,2 es el único que produce una secuencia que coincide con una letra de la tabla anterior, la letra A. De manera similar, podemos imaginar una ráfaga de estática en todas las frecuencias en el tercer intervalo: 1212344{\displaystyle {\begin{matrix}1&2&1234&4\end{matrix}}}

Nuevamente, podemos inferir de la tabla de codificaciones que debió haber sido la letra A la transmitida. El número de errores que este código puede detectar es uno menos que el número de intervalos de tiempo. También se ha demostrado que si el número de frecuencias es primo o una potencia de un primo, los cuadrados latinos ortogonales producen códigos de detección de errores lo más eficientes posible.

Rompecabezas matemáticos

Construcción del cuadrado mágico del cumpleaños de Ramanujan a partir de un cuadrado latino de 4 × 4 con diagonales distintas y valores de día (D), mes (M), siglo (C) y año (Y), y ejemplo del cumpleaños de Ramanujan.

Los populares rompecabezas de Sudoku son un caso especial de cuadrados latinos; cualquier solución a un rompecabezas de Sudoku es un cuadrado latino. El Sudoku impone la restricción adicional de que nueve subcuadrados adyacentes de 3  ×  3 deben contener también los dígitos del 1 al 9 (en la versión estándar). Véase también Matemáticas del Sudoku .

Los rompecabezas más recientes de KenKen y Strimko también son ejemplos de cuadrados latinos.

juegos de mesa

Los cuadrados latinos se han utilizado como base para varios juegos de mesa, en particular el popular juego de estrategia abstracta Kamisado .

Investigación agronómica

Los cuadrados latinos se utilizan en el diseño de experimentos de investigación agronómica para minimizar los errores experimentales. [ 51 ]

Heráldica

El cuadrado latino también figura en el escudo de armas de la Sociedad Estadística de Canadá , [ 52 ] siendo mencionado específicamente en su blasón . Asimismo, aparece en el logotipo de la Sociedad Biométrica Internacional . [ 53 ]

Generalizaciones

Un cubo latino de orden 4 explotó
  • Un rectángulo latino es una generalización de un cuadrado latino en el que hay n columnas y n valores posibles, pero el número de filas puede ser menor que n . Cada valor aparece como máximo una vez en cada fila y columna.
  • Un cuadrado grecolatino es un par de cuadrados latinos tales que, cuando se colocan uno encima del otro, cada par ordenado de símbolos aparece exactamente una vez.
  • Un hipercubo latino es una generalización de un cuadrado latino de dos dimensiones a múltiples dimensiones.

Véase también

Notas

  1. ↑ Busby, Mattha (27 de junio de 2020). "Universidad de Cambridge retirará vidriera que conmemora a un eugenista" . The Guardian . Consultado el 28 de junio de 2020 .
  2. ↑ Wallis, WD; George, JC (2011). Introducción a la combinatoria . CRC Press. pág. 212. ISBN  978-1-4398-0623-4.
  3. ^ (Euler, 1782), págs.90-91. De la pág. 90: "Pour cet effect nous reprenons le quarré latin fondamentel, qui, en omettant les exponsans, aura la forme suivante: ..." (Para ello tomamos el cuadrado latino fundamental, que, omitiendo los exponentes, tendrá la siguiente forma: ...) De la p. 91: "§.8 Ayant donc établi ce quarré latin, ... " (§.8 Habiendo establecido así esta plaza latina , ...")
  4. ^ Euler, Leonhard (1782). "Recherches sur une nouvelle espèce de quarrés magiques" [ Investigaciones sobre un nuevo tipo de cuadrados mágicos ] . Verhandelingen Uitgegeven Door Het Zeeuwsch Genootschap der Wetenschappen te Vlissingen (Actas publicadas por la Sociedad de Ciencias de Zelanda en Flushing [, Países Bajos]) (en francés). 9 : 85-239 .(Nota: Euler presentó por primera vez estas memorias a la Academia Imperial de Ciencias de San Petersburgo, Rusia, el 8 de marzo de 1779).
  5. ↑ Colbourn, Charles J.; Dinitz, Jeffrey H. (2007). Manual de diseños combinatorios (2.ª ed.). CRC Press. pág. 12. ISBN   9781420010541Consultado el 28 de marzo de 2017 .
  6. ↑ McKay, Brendan D. ; Meynert, Alison; Myrvold, Wendy (2007). "Cuadrados latinos pequeños, cuasigrupos y bucles". Journal of Combinatorial Designs . 15 (2): 98– 119. doi : 10.1002/jcd.20105 . MR 2291523 . 
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Referencias

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Lecturas adicionales

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    • Hinkelmann, Klaus; Kempthorne, Oscar (2008). Diseño y análisis de experimentos, Volumen I: Introducción al diseño experimental (Segunda  edición). Wiley. ISBN 978-0-471-72756-9MR 2363107 .​ 
    • Hinkelmann, Klaus; Kempthorne, Oscar (2005). Diseño y análisis de experimentos, volumen 2: Diseño experimental avanzado (Primera  ed.). Wiley. ISBN 978-0-471-55177-5MR 2129060 .​ 
  • Knuth, Donald (2011). El arte de la programación informática, Volumen 4A: Algoritmos combinatorios, Parte 1. Reading, Massachusetts: Addison-Wesley. ISBN 978-0-201-03804-0.
  • Laywine, Charles F.; Mullen, Gary L. (1998). Matemáticas discretas mediante cuadrados latinos . Serie Wiley-Interscience en Matemáticas Discretas y Optimización. Nueva York: John Wiley & Sons, Inc. ISBN 0-471-24064-8. MR 1644242 . 
  • Shah, KR; Sinha, Bikas K. (1996). «Diseños de filas y columnas». En S. Ghosh y CR Rao (eds.). Diseño y análisis de experimentos . Manual de estadística. Vol.  13. Ámsterdam: North-Holland Publishing Co. pp. 903–937 . ISBN  0-444-82061-2. MR 1492586 . 
  • Raghavarao, Damaraju (1988). Construcciones y problemas combinatorios en el diseño de experimentos (reimpresión corregida de la  edición de Wiley de 1971). Nueva York: Dover. ISBN 0-486-65685-3MR 1102899 .​ 
  • Street, Anne Penfold ; Street, Deborah J. (1987). Combinatoria del diseño experimental . Nueva York: Oxford University Press. ISBN 0-19-853256-3. SR 0908490 . 
  • Berger, Paul D.; Maurer, Robert E.; Celli, Giovana B. (28 de noviembre de 2017). Diseño experimental con aplicaciones en gestión, ingeniería y ciencias (2.ª edición, ed. (28 de noviembre de 2017)  ). Springer. págs. 267–282 .