Problemas en cuadrados latinos

Una transversal en un cuadrado latino de orden n es un conjunto S de n celdas tal que cada fila y cada columna contiene exactamente una celda de S , y tal que los símbolos en S forman {1, ..., n }. Sea T ( n ) el número máximo de transversales en un cuadrado latino de orden n . Estime T ( n ).

• Propuesta por Ian Wanless en Loops '03, Praga 2003.
• Comentarios: Wanless, McKay y McLeod tienen cotas de la forma c ⁿ < T ( n ) < d ⁿ n !, donde c > 1 y d es aproximadamente 0.6. Una conjetura de Rivin, Vardi y Zimmermann (Rivin et al., 1994) dice que se pueden colocar al menos exp( c n log n ) reinas en posiciones no atacantes en un tablero de ajedrez toroidal (para alguna constante c ). Si es cierto, esto implicaría que T ( n ) > exp( c n log n ). Una pregunta relacionada es estimar el número de transversales en las tablas de Cayley de grupos cíclicos de orden impar . En otras palabras, ¿cuántos ortomorfismos tienen estos grupos ?

El número mínimo de transversales de un cuadrado latino también es un problema abierto. H. J. Ryser conjeturó (Oberwolfach, 1967) que todo cuadrado latino de orden impar tiene una transversal. Estrechamente relacionada está la conjetura, atribuida a Richard Brualdi, de que todo cuadrado latino de orden n tiene una transversal parcial de orden al menos n − 1.

Describe cómo surgen todos los subcuadrados latinos en las tablas de multiplicar de los bucles de Moufang .

• Propuesto: por Aleš Drápal en Loops '03, Praga 2003
• Comentarios: Es bien sabido que todo subcuadrado latino en una tabla de multiplicar de un grupo G es de la forma aH x Hb , donde H es un subgrupo de G y a , b son elementos de G.

Un cuadrado latino parcial posee la propiedad de Blackburn si, siempre que las celdas ( i , j ) y ( k , l ) estén ocupadas por el mismo símbolo, las esquinas opuestas ( i , l ) y ( k , j ) están vacías. ¿Cuál es la máxima densidad posible de celdas llenas en un cuadrado latino parcial con la propiedad de Blackburn? En particular, ¿existe alguna constante c > 0 tal que siempre podamos llenar al menos c n ² celdas?

• Propuesta por Ian Wanless en Loops '03, Praga 2003.
• Comentarios: En un artículo que aparecerá próximamente, Wanless ha demostrado que si c existe, entonces c < 0,463. También construyó una familia de cuadrados latinos parciales con la propiedad de Blackburn y una densidad asintótica de al menos exp(- d (log n ) ^1/2 ) para una constante d > 0.

Dejar${\displaystyle L_{n}}$Sea el número de cuadrados latinos de orden n . ¿Cuál es el mayor entero?${\displaystyle p(n)}$de tal manera que${\displaystyle 2^{p(n)}}$divide${\displaystyle L_{n}}$? Hace${\displaystyle p(n)}$¿Crecen cuadráticamente en n ?

• Propuesta por Ian Wanless en Loops '03, Praga 2003.
• Comentarios: Por supuesto,${\ Displaystyle L_ {n} = n! (n-1)! R_ {n}}$dónde${\displaystyle R_{n}}$es el número de cuadrados latinos reducidos de orden n . Esto da inmediatamente un número lineal de factores de 2. Sin embargo, aquí están las factorizaciones primas de${\displaystyle R_{n}}$para n = 2, ...,11:

Esta tabla sugiere que la potencia de 2 está creciendo de forma superlineal. El mejor resultado actual es que${\displaystyle R_{n}}$siempre es divisible por f !, donde f es aproximadamente n /2. Véase (McKay y Wanless, 2003). Dos autores notaron la potencia sospechosamente alta de 2 (sin poder esclarecerla mucho): (Alter, 1975), (Mullen, 1978).