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Ley del inverso del cuadrado

S representa la fuente de luz, mientras que r representa los puntos medidos. Las líneas representan el flujo que emana de las fuentes y los flujos. El número total de líneas de ...

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S representa la fuente de luz, mientras que r representa los puntos medidos. Las líneas representan el flujo que emana de las fuentes y los flujos. El número total de líneas de flujo depende de la intensidad de la fuente de luz y es constante con la distancia, donde una mayor densidad de líneas de flujo (líneas por unidad de área) indica un campo de energía más intenso. La densidad de líneas de flujo es inversamente proporcional al cuadrado de la distancia a la fuente, ya que el área de la superficie de una esfera aumenta con el cuadrado del radio. Por lo tanto, la intensidad del campo es inversamente proporcional al cuadrado de la distancia a la fuente.

En física , una ley del inverso del cuadrado es cualquier ley científica que establece que la "intensidad" observada de una magnitud física específica (que no es más que el valor de dicha magnitud) es inversamente proporcional al cuadrado de la distancia a la fuente de esa magnitud. La causa fundamental de esto puede entenderse como una dilución geométrica que corresponde a la radiación de una fuente puntual en el espacio tridimensional.

La energía del radar se expande tanto durante la transmisión de la señal como durante su retorno reflejado , por lo que el inverso del cuadrado para ambas trayectorias significa que el radar recibirá energía según la cuarta potencia inversa del alcance.

Para evitar la dilución de la energía durante la propagación de una señal, se pueden utilizar ciertos métodos, como una guía de ondas , que actúa como un canal para el agua, o como el cañón de un arma restringe la expansión de un gas caliente a una dimensión para evitar la pérdida de transferencia de energía a una bala .

Fórmula

En notación matemática, la ley del inverso del cuadrado se puede expresar como una intensidad (I) que varía en función de la distancia (d) desde un centro. La intensidad es proporcional (véase ∝ ) al recíproco del cuadrado de la distancia, por lo tanto: intensidad ∝ 1distancia2{\displaystyle {\text{intensidad}}\ \propto \ {\frac {1}{{\text{distancia}}^{2}}}\,}

También se puede expresar matemáticamente como  : intensidad1intensidad2=distancia22distancia12{\displaystyle {\frac {{\text{intensity}}_{1}}{{\text{intensity}}_{2}}}={\frac {{\text{distance}}_{2}^{2}}{{\text{distance}}_{1}^{2}}}}

o como la formulación de una cantidad constante: intensidad1×distancia12=intensidad2×distancia22{\displaystyle {\text{intensity}}_{1}\times {\text{distance}}_{1}^{2}={\text{intensity}}_{2}\times {\text{distance}}_{2}^{2}}

La divergencia de un campo vectorial que es el resultante de campos radiales de ley inversa del cuadrado con respecto a una o más fuentes es proporcional a la intensidad de las fuentes locales y, por lo tanto, nula con respecto a las fuentes externas.

Visualización de la Ley del Cuadrado Inverso. Cada celda de la cuadrícula corresponde a 2 unidades con valores de intensidad truncados a 2 decimales.

La ley de gravitación universal de Newton sigue una ley del inverso del cuadrado, al igual que los efectos de los fenómenos eléctricos , luminosos , sonoros y de radiación .

Justificación

La ley del inverso del cuadrado se aplica generalmente cuando una fuerza, energía u otra magnitud conservada se irradia uniformemente desde una fuente puntual en el espacio tridimensional . Dado que el área de la superficie de una esfera (que es  4π r² ) es proporcional al cuadrado del radio, a medida que la radiación emitida se aleja de la fuente, se extiende sobre un área que aumenta en proporción al cuadrado de la distancia a la fuente. Por lo tanto, la intensidad de la radiación que atraviesa cualquier área unitaria (directamente frente a la fuente puntual) es inversamente proporcional al cuadrado de la distancia a la fuente puntual. La ley de Gauss para la gravedad es igualmente aplicable y puede utilizarse con cualquier magnitud física que actúe de acuerdo con la relación del inverso del cuadrado.

Ocurrencias

Gravitación

La gravitación es la atracción entre objetos que tienen masa. La ley de Newton establece:

La fuerza de atracción gravitatoria entre dos masas puntuales es directamente proporcional al producto de sus masas e inversamente proporcional al cuadrado de la distancia que las separa. La fuerza siempre es atractiva y actúa a lo largo de la línea que las une. [ 1 ]

F=GRAMOmetro1metro2r2{\displaystyle F=G{\frac {m_{1}m_{2}}{r^{2}}}}

Si la distribución de materia en cada cuerpo es esféricamente simétrica, entonces los objetos pueden tratarse como masas puntuales sin aproximación, como se muestra en el teorema de la capa esférica . De lo contrario, si queremos calcular la atracción entre cuerpos masivos, necesitamos sumar vectorialmente todas las fuerzas de atracción punto a punto, y la atracción neta podría no ser exactamente el inverso del cuadrado. Sin embargo, si la separación entre los cuerpos masivos es mucho mayor en comparación con sus tamaños, entonces, como buena aproximación, es razonable tratar las masas como una masa puntual ubicada en el centro de masa del objeto al calcular la fuerza gravitatoria.

Como ley de gravitación, esta ley fue propuesta en 1645 por Ismaël Bullialdus . Pero Bullialdus no aceptó la segunda y tercera ley de Kepler , ni tampoco apreció la solución de Christiaan Huygens para el movimiento circular (movimiento en línea recta atraído por la fuerza central). De hecho, Bullialdus sostenía que la fuerza del sol era atractiva en el afelio y repulsiva en el perihelio. Robert Hooke y Giovanni Alfonso Borelli expusieron la gravitación en 1666 como una fuerza atractiva. [ 2 ] La conferencia de Hooke "Sobre la gravedad" tuvo lugar en la Royal Society, en Londres, el 21 de marzo. [ 3 ] La "Teoría de los Planetas" de Borelli se publicó más tarde en 1666. [ 4 ] La conferencia Gresham de Hooke de 1670 explicó que la gravitación se aplicaba a "todos los cuerpos celestes" y añadió los principios de que el poder gravitatorio disminuye con la distancia y que, en ausencia de tal poder, los cuerpos se mueven en línea recta. Para 1679, Hooke pensaba que la gravitación tenía una dependencia inversa al cuadrado y se lo comunicó en una carta a Isaac Newton : [ 5 ] mi suposición es que la atracción siempre es proporcional al inverso de la distancia al centro . [ 6 ]

Hooke seguía resentido porque Newton reclamara la invención de este principio, a pesar de que los Principia de Newton de 1686 reconocían que Hooke, junto con Wren y Halley, habían apreciado por separado la ley del cuadrado inverso en el Sistema Solar , [ 7 ] además de dar cierto crédito a Bullialdus. [ 8 ]

Electrostática

La fuerza de atracción o repulsión entre dos partículas con carga eléctrica, además de ser directamente proporcional al producto de las cargas eléctricas, es inversamente proporcional al cuadrado de la distancia entre ellas; esto se conoce como la ley de Coulomb . La desviación del exponente respecto a 2 es menor que una parte en 10¹⁵ . [ 9 ]

F=kmiq1q2r2{\displaystyle F=k_{\text{e}}{\frac {q_{1}q_{2}}{r^{2}}}}

Luz y otras radiaciones electromagnéticas

La intensidad (o iluminancia o irradiancia ) de la luz u otras ondas lineales que irradian desde una fuente puntual (energía por unidad de área perpendicular a la fuente) es inversamente proporcional al cuadrado de la distancia a la fuente, por lo que un objeto (del mismo tamaño) que se encuentra al doble de distancia recibe solo una cuarta parte de la energía (en el mismo período de tiempo).

En términos más generales, la irradiancia, es decir, la intensidad (o potencia por unidad de área en la dirección de propagación ), de un frente de onda esférico varía inversamente con el cuadrado de la distancia desde la fuente (suponiendo que no hay pérdidas causadas por absorción o dispersión ).

Por ejemplo, la intensidad de la radiación del Sol es de 9126 vatios por metro cuadrado a la distancia de Mercurio (0,387 UA ), pero solo de 1367 vatios por metro cuadrado a la distancia de la Tierra (1 UA); un aumento aproximado de tres veces en la distancia resulta en una disminución aproximada de nueve veces en la intensidad de la radiación.

En el caso de radiadores no isótropos , como antenas parabólicas , faros y láseres , el origen efectivo se encuentra muy lejos de la apertura del haz. Si se está cerca del origen, no es necesario desplazarse mucho para duplicar el radio, por lo que la señal se atenúa rápidamente. Cuando se está lejos del origen y aún se tiene una señal fuerte, como en el caso de un láser, es necesario desplazarse mucho para duplicar el radio y reducir la señal. Esto significa que se tiene una señal más fuerte o una mayor ganancia de antena en la dirección del haz estrecho en comparación con un haz ancho en todas las direcciones, como en el caso de una antena isótropa .

En fotografía e iluminación escénica , la ley del inverso del cuadrado se utiliza para determinar la disminución de la iluminación en un sujeto a medida que se acerca o se aleja de la fuente de luz. Para aproximaciones rápidas, basta con recordar que duplicar la distancia reduce la iluminación a una cuarta parte; [ 10 ] o, de forma similar, para reducir la iluminación a la mitad, aumente la distancia en un factor de 1,4 (la raíz cuadrada de 2 ), y para duplicar la iluminación, reduzca la distancia a 0,7 (raíz cuadrada de 1/2). Cuando la fuente de luz no es puntual, la regla del inverso del cuadrado suele ser una aproximación útil; cuando el tamaño de la fuente de luz es menor que una quinta parte de la distancia al sujeto, el error de cálculo es menor que el 1 %. [ 11 ]

La reducción fraccional de la fluencia electromagnética (Φ) para la radiación ionizante indirecta con el aumento de la distancia a una fuente puntual se puede calcular mediante la ley del inverso del cuadrado. Dado que las emisiones de una fuente puntual tienen direcciones radiales, se interceptan con una incidencia perpendicular. El área de dicha capa es 4π r² , donde r es la distancia radial desde el centro. Esta ley es particularmente importante en radiografía diagnóstica y planificación de tratamientos de radioterapia , aunque esta proporcionalidad no se cumple en situaciones prácticas a menos que las dimensiones de la fuente sean mucho menores que la distancia. Como se indica en la teoría del calor de Fourier , «a medida que la fuente puntual se magnifica con la distancia, su radiación se diluye proporcionalmente al seno del ángulo del arco circunferencial creciente desde el punto de origen».

Ejemplo

Sea P  la potencia total radiada por una fuente puntual (por ejemplo, un radiador isotrópico omnidireccional ). A grandes distancias de la fuente (en comparación con el tamaño de la fuente), esta potencia se distribuye sobre superficies esféricas cada vez mayores a medida que aumenta la distancia a la fuente. Dado que el área superficial de una esfera de radio r es A  =  4 πr² , la intensidad I (potencia por unidad de área) de la radiación a una  distancia r es I=PAGA=PAG4πr2.{\displaystyle I={\frac {P}{A}}={\frac {P}{4\pi r^{2}}}.\,}

La energía o intensidad disminuye (dividida por 4) al duplicarse  la distancia r ; si se mide en dB , disminuiría en 6,02  dB por cada duplicación de la distancia. Al referirse a mediciones de magnitudes de potencia, una relación puede expresarse como un nivel en decibelios calculando diez veces el logaritmo en base 10 de la relación entre la magnitud medida y el valor de referencia.

Sonido en un gas

En acústica , la presión sonora de un frente de onda esférico que irradia desde una fuente puntual disminuye un 50 % al duplicarse la distancia r ; medida en dB , la disminución sigue siendo de 6,02 dB, ya que dB representa una relación de intensidad. La relación de presión (a diferencia de la relación de potencia) no es inversamente proporcional al cuadrado, sino inversamente proporcional (ley de la distancia inversa): 

pag ∝ 1r{\displaystyle p\ \propto \ {\frac {1}{r}}\,}

Lo mismo ocurre con el componente de la velocidad de la partícula.v{\displaystyle v\,}que está en fase con la presión sonora instantáneapag{\displaystyle p\,}:

v ∝1r {\displaystyle v\ \propto {\frac {1}{r}}\ \,}

En el campo cercano, existe una componente en cuadratura de la velocidad de la partícula desfasada 90° con respecto a la presión sonora, que no contribuye a la energía promedio ni a la intensidad del sonido. La intensidad sonora es el producto de la presión sonora cuadrática media (RMS) y la componente en fase de la velocidad de la partícula RMS, ambas inversamente proporcionales. Por consiguiente, la intensidad sigue una ley del inverso del cuadrado.

I = pagv ∝ 1r2.{\displaystyle I\ =\ pv\ \propto \ {\frac {1}{r^{2}}}.\,}

interpretación de la teoría de campos

Para un campo vectorial irrotacional en el espacio tridimensional, la ley del inverso del cuadrado corresponde a la propiedad de que la divergencia es cero fuera de la fuente. Esto se puede generalizar a dimensiones superiores. En general, para un campo vectorial irrotacional en el espacio euclidiano n -dimensional , la intensidad "I" del campo vectorial disminuye con la distancia "r" siguiendo la ley de la potencia inversa ( n - 1).  

I∝1rnorte−1,{\displaystyle I\propto {\frac {1}{r^{n-1}}},}

dado que el espacio fuera de la fuente está libre de divergencia.

Implicaciones no euclidianas

La ley del inverso del cuadrado, fundamental en los espacios euclidianos , también se aplica a geometrías no euclidianas , incluido el espacio hiperbólico . La curvatura presente en estos espacios altera las leyes físicas, influyendo en diversos campos como la cosmología , la relatividad general y la teoría de cuerdas . [ 12 ]

John D. Barrow , en su artículo de 2020 "Cosmología newtoniana no euclidiana", profundiza en el comportamiento de la fuerza (F) y el potencial (Φ) dentro del espacio hiperbólico tridimensional (H3). Explica que F y Φ obedecen las relaciones F ∝ 1 / R² sinh²(r/R) y Φ ∝ coth(r/R), donde R representa el radio de curvatura y r representa la distancia desde el punto focal.

El concepto de dimensionalidad espacial, propuesto por primera vez por Immanuel Kant, sigue siendo un tema de debate en relación con la ley del inverso del cuadrado. [ 13 ] Dimitria Electra Gatzia y Rex D. Ramsier, en su artículo de 2021, sostienen que la ley del inverso del cuadrado está más relacionada con la simetría de la distribución de fuerzas que con la dimensionalidad del espacio.

En el contexto de las geometrías no euclidianas y la relatividad general, las desviaciones de la ley del inverso del cuadrado no surgen de la ley en sí, sino de la suposición de que la fuerza entre dos cuerpos es instantánea, lo cual contradice la relatividad especial . La relatividad general reinterpreta la gravedad como la curvatura del espaciotiempo, lo que lleva a que las partículas se muevan a lo largo de geodésicas en este espaciotiempo curvo. [ 14 ]

Historia

John Dumbleton, de los Calculadores de Oxford del siglo XIV , fue uno de los primeros en expresar relaciones funcionales en forma gráfica. Dio una demostración del teorema de la velocidad media afirmando que "la latitud de un movimiento uniformemente difuso corresponde al grado del punto medio" y utilizó este método para estudiar la disminución cuantitativa de la intensidad de la iluminación en su Summa logicæ et philosophiæ naturalis (ca. 1349), afirmando que no era linealmente proporcional a la distancia, pero no pudo exponer la ley del inverso del cuadrado. [ 15 ]

Kepler 1910
El astrónomo alemán Johannes Kepler habló sobre la ley del cuadrado inverso y cómo afecta a la intensidad de la luz.

En la proposición 9 del Libro 1 de su libro Ad Vitellionem paralipomena, quibus astronomiae pars optica traditur (1604), el astrónomo Johannes Kepler argumentó que la propagación de la luz desde una fuente puntual obedece a una ley del inverso del cuadrado: [ 16 ] [ 17 ]

Sicut se habent spharicae superificies, quibus origo lucis pro centro est, amplior ad angustiorem: ita se habet fortitudo seu densitas lucis radiorum in angustiori, ad illamin in laxiori sphaerica, hoc est, conversim. Nam per 6. 7. tantundem lucis est in angustiori sphaerica superficie, quantum in fusiore, tanto ergo illie stipatior & densior quam hic.

Traducción:

Así como la proporción de superficies esféricas, cuyo centro es la fuente de luz, va de la más ancha a la más estrecha, así también la densidad o intensidad de los rayos de luz en el espacio más estrecho, hacia las superficies esféricas más amplias, es decir, inversamente proporcional. Pues, según las proposiciones 6 y 7, hay tanta luz en la superficie esférica más estrecha como en la más ancha; por lo tanto, está mucho más comprimida y densa aquí que allí.

En 1645, en su libro Astronomia Philolaica ..., el astrónomo francés Ismaël Bullialdus (1605–1694) refutó la sugerencia de Johannes Kepler de que la "gravedad" [ 18 ] se debilita como el inverso de la distancia; en cambio, Bullialdus argumentó que la "gravedad" se debilita como el inverso del cuadrado de la distancia: [ 19 ] [ 20 ]

Virtus autem illa, qua Sol prehendit seu harpagat planetas, corporalis quae ipsi pro manibus est, lineis rectis in omnem mundi amplitudinem emissa quasi especie solis cum illius corpore rotatur: cum ergo sit corporalis imminuitur, & extenuatur in maiori spatio & intervalolo, ratio autem huius imminutionis eadem est, ac luminus, in ratione nempe dupla intervalolorum, sed eversa.

Traducción:

En cuanto al poder por el cual el Sol captura o sostiene los planetas, y que, al ser corpóreo, funciona a la manera de las manos, se emite en líneas rectas a lo largo de toda la extensión del mundo, y como las especies del Sol, gira con el cuerpo del Sol; ahora bien, dado que es corpóreo, se vuelve más débil y se atenúa a mayor distancia o intervalo, y la proporción de su disminución de fuerza es la misma que en el caso de la luz, es decir, la proporción duplicada, pero inversa, de las distancias [es decir, 1/d²].

En Inglaterra, el obispo anglicano Seth Ward (1617-1689) publicó las ideas de Bullialdus en su crítica In Ismaelis Bullialdi astronomiae philolaicae fundamenta inquisitio brevis (1653) y publicó la astronomía planetaria de Kepler en su libro Astronomia geométrica (1656).

Entre 1663 y 1664, el científico inglés Robert Hooke escribía su libro Micrographia (1666), en el que analizaba, entre otras cosas, la relación entre la altura de la atmósfera y la presión barométrica en la superficie. Dado que la atmósfera rodea la Tierra, que es una esfera, el volumen atmosférico que incide sobre cualquier unidad de área de la superficie terrestre es un cono truncado (que se extiende desde el centro de la Tierra hasta el vacío del espacio; obviamente, solo la sección del cono que va desde la superficie terrestre hasta el espacio incide sobre la superficie terrestre). Aunque el volumen de un cono es proporcional al cubo de su altura, Hooke argumentó que la presión del aire en la superficie terrestre es proporcional a la altura de la atmósfera, ya que la gravedad disminuye con la altitud. Si bien Hooke no lo afirmó explícitamente, la relación que propuso solo sería cierta si la gravedad disminuyera con el inverso del cuadrado de la distancia al centro de la Tierra. [ 21 ] [ 22 ]

Newton desarrolló y derivó de forma independiente la ley del inverso del cuadrado para la gravedad en sus Principia (1686). Esto posteriormente dio lugar a un debate sobre la prioridad entre Newton y Hooke a través de correspondencia. [ 23 ]

Véase también

Referencias

Dominio público Este artículo incorpora material de dominio público de la Norma Federal 1037C . Administración de Servicios Generales . Archivado del original el 22 de enero de 2022.

  1. ↑ Proposición 75, Teorema 35: pág. 956 – I. Bernard Cohen y Anne Whitman, traductores: Isaac Newton , Principia : Principios matemáticos de la filosofía natural . Precedido por A Guide to Newton's Principia , de I. Bernard Cohen. University of California Press 1999 ISBN 0-520-08816-6ISBN 0-520-08817-4
  2. ↑ La gravitación de Hooke tampoco era aún universal, aunque se aproximaba más a la universalidad que las hipótesis anteriores. Véase la página 239 en: Taton, René ; Wilson, Curtis; Hoskin, Michael A., eds. (2009). «El logro newtoniano en astronomía». Historia general de la astronomía . Vol. 2 Pt. A: Astronomía planetaria desde el Renacimiento hasta el auge de la astrofísica Tycho Brahe a Newton (1.ª ed.). Cambridge: Cambridge University Press . pp. 233–274 . ISBN    978-0-521-54205-0.
  3. ↑ Birch, Thomas (1756). Historia de la Royal Society de Londres . Vol. 2. págs. 68–73 .  ; véanse especialmente las páginas 70-72.
  4. ↑ Borelli, Giovanni Alfonso (1666). Theoricae mediceorum planetarum ex causis physicis deductae [ Teoría [del movimiento] de los planetas mediceos [es decir, lunas de Júpiter] deducida de causas físicas ] (en latín). Ex tipografía SMD Bibcode : 1666tmpe.book.....B .
  5. ↑ Koyré, Alexandre (1952). " Una carta inédita de Robert Hooke a Isaac Newton". Isis . 43 (4): 312– 337. doi : 10.1086/348155 . JSTOR 227384. PMID 13010921 .  
  6. ↑ Carta de Hooke a Newton del 6 de enero de 1680 (Koyré 1952:332).
  7. ↑ Newton reconoció a Wren, Hooke y Halley en este sentido en el escolio de la Proposición 4 del Libro 1 (en todas las ediciones): Véase, por ejemplo: Newton, Isaac (1729). Los principios matemáticos de la filosofía natural . B. Motte. pág. 66. 
  8. ↑ En una carta a Edmund Halley fechada el 20 de junio de 1686, Newton escribió: «Bullialdus escribió que toda fuerza con respecto al Sol como su centro y que depende de la materia debe ser recíprocamente proporcional a la distancia desde el centro». Véase: Cohen, I. Bernard ; Smith, George E. (2002). The Cambridge Companion to Newton . Cambridge University Press. p. 204. ISBN  978-0-521-65696-2.
  9. ↑ Williams, ER; Faller, JE; Hill, HA (1971). "Nueva prueba experimental de la ley de Coulomb: un límite superior de laboratorio para la masa en reposo del fotón". Physical Review Letters . 26 (12): 721– 724. Bibcode : 1971PhRvL..26..721W . doi : 10.1103/PhysRevLett.26.721 .
  10. ↑ Millerson, Gerald (1999). Iluminación para televisión y cine . CRC Press. pág. 27. ISBN  978-1-136-05522-5.
  11. ↑ Ryder, Alexander D. (1997). Manual de medición de la luz (PDF) . International Light. pág. 26. ISBN  978-0-96-583569-5.
  12. ↑ Barrow, John D (2020). "Cosmología newtoniana no euclidiana". Classical and Quantum Gravity . 37 (12): 125007. arXiv : 2002.10155 . Bibcode : 2020CQGra..37l5007B . doi : 10.1088/1361-6382/ab8437 .
  13. ↑ Gatzia, Dimitria Electra; Ramsier, Rex D. (2021). "Dimensionalidad, simetría y la ley del cuadrado inverso". Notes and Records: The Royal Society Journal of the History of Science . 75 (3): 333– 348. doi : 10.1098/rsnr.2019.0044 .
  14. ↑ Guth, Alan (2018). "Introducción a la relatividad general no euclidiana" (PDF) . MIT OpenCourseWare . Recuperado el 30 de julio de 2023 .
  15. ↑ Freely, John (2012). Antes de Galileo: El nacimiento de la ciencia moderna en la Europa medieval . Overlook Duckworth. ISBN 978-0-71-564536-9.
  16. ^ Kepler, Johannes (1604). Ad Vitellionem paralipomena, quibus astronomiae pars optica traditur (en latín). Apud Claudium Marnium y haeredes Ioannis Aubrii. pag. 10. 
  17. ↑ La traducción de la cita latina de Ad Vitellionem paralipomena de Kepler es de: Gal, Ofer; Chen-Morris, Raz (2005). "La arqueología de la ley del cuadrado inverso: (1) Imágenes metafísicas y prácticas matemáticas". History of Science . 43 (4): 391– 414. Bibcode : 2005HisSc..43..391G . doi : 10.1177/007327530504300402 . ; véase especialmente la página 397.
  18. ↑ Nota: Tanto Kepler como William Gilbert se anticiparon casi por completo a la concepción moderna de la gravedad, faltando únicamente la ley del inverso del cuadrado en su descripción de la "gravitas". En la página 4 del capítulo 1, Introductio, de Astronomia Nova , Kepler expone su descripción de la siguiente manera: "La verdadera teoría de la gravedad se fundamenta en los siguientes axiomas: Toda sustancia corpórea, en la medida en que es corpórea, tiene una aptitud natural para reposar en cualquier lugar donde pueda situarse por sí misma más allá de la esfera de influencia de un cuerpo cognado con ella. La gravedad es una afinidad mutua entre cuerpos cognados hacia la unión o conjunción (similar en naturaleza a la virtud magnética), de modo que la tierra atrae a una piedra mucho más que la piedra busca a la tierra. ... Si dos piedras se colocaran en cualquier parte del mundo cerca una de la otra, y más allá de la esfera de influencia de un tercer cuerpo cognado, estas piedras, como dos agujas magnéticas, se juntarían en el punto intermedio, acercándose cada una a la otra por un espacio proporcional a la masa comparativa de la otra . Si la luna y la tierra no se mantuvieran en sus órbitas por su fuerza animada o algún otro equivalente, la tierra ascendería a la luna por una cincuenta y cuatroava parte de su distancia, y la luna caería hacia la tierra a través de las otras cincuenta y tres partes, y allí se encontrarían, suponiendo, sin embargo, que la sustancia de ambas sea de la misma densidad." Nótese que al decir " la tierra atrae a una piedra mucho más que la piedra busca la tierra", Kepler se está apartando de la tradición aristotélica de que los objetos buscan estar en su lugar natural, que una piedra busca estar con la tierra.
  19. ^ Boulliau, Ismael (1645). Astronomia Philolaica (en latín). Simeón Piget. pag. 23. Bibcode : 1645ibap.book.....B . doi : 10.3931/e-rara-549 . 
  20. ↑ La traducción de la cita latina de la 'Astronomia Philolaica' de Bullialdus… es de: O'Connor, John J.; Robertson, Edmund F. (2006). "Ismael Boulliau" . The MacTutor History of Mathematics Archive . University of Saint Andrews .
  21. ↑ Gal y Chen-Morris 2005 , págs. 391–392 
  22. ↑ Hooke, Robert. Micrographia . Science Heritage. pág. 227. ISBN  978-0-940095-07-6Digo un cilindro , no un trozo de cono , porque, como puedo mostrar en otra parte en la Explicación de la gravedad, esa proporción triplicada de las capas de una esfera, con respecto a sus respectivos diámetros, supongo que se elimina en este caso por la disminución de la potencia de la gravedad.
  23. ↑ Rowlands, Peter (22 de septiembre de 2017). Newton y el gran sistema mundial . World Scientific. ISBN 978-1-78634-375-8.
  • Amortiguación del nivel de sonido con la distancia
  • Presión sonora p y la ley de la distancia inversa 1/r