Operador lineal integral

Una forma bilineal integral es una función bilineal que pertenece al espacio dual continuo de , el producto tensorial inyectivo de los espacios vectoriales topológicos (TVS) localmente convexos X e Y . Un operador lineal integral es un operador lineal continuo que surge de manera canónica a partir de una forma bilineal integral. ${\displaystyle X{\widehat {\otimes }}_{\epsilon }Y}$

Estos mapas juegan un papel importante en la teoría de los espacios nucleares y los mapas nucleares .

Sean X e Y sistemas vectoriales convexos localmente, sea , el producto tensorial proyectivo , sea , su completitud , sea , el producto tensorial inyectivo , y sea , su completitud. Supóngase que es la incrustación de un sistema vectorial convexo en su completitud y sea , su transpuesta , que es un isomorfismo de espacio vectorial. Esto identifica el espacio dual continuo de como idéntico al espacio dual continuo de . ${\displaystyle X\otimes _{\pi }Y}$${\displaystyle X{\widehat {\otimes }}_{\pi }Y}$${\displaystyle X\otimes _{\epsilon }Y}$${\displaystyle X{\widehat {\otimes }}_{\epsilon }Y}$${\displaystyle \operatorname {In} :X\otimes _{\epsilon }Y\to X{\widehat {\otimes }}_{\epsilon }Y}$${\displaystyle X\otimes _{\epsilon }Y}$${\displaystyle {}^{t}\operatorname {In} :\left(X{\widehat {\otimes }}_{\epsilon }Y\right)_{b}^{\prime }\to \left(X\otimes _{\epsilon }Y\right)_{b}^{\prime }}$${\displaystyle X\otimes _{\epsilon }Y}$${\displaystyle X{\widehat {\otimes }}_{\epsilon }Y}$

Sea , denotado por la función identidad y , denotado por su transpuesta , que es una inyección continua. Recordemos que se identifica canónicamente con , el espacio de funciones bilineales continuas en . De esta manera, el espacio dual continuo de puede identificarse canónicamente como un subespacio vectorial de , denotado por . Los elementos de se denominan formas integrales (bilineales) en . El siguiente teorema justifica la palabra integral . ${\displaystyle \operatorname {Id} :X\otimes _{\pi }Y\to X\otimes _{\epsilon }Y}$${\displaystyle {}^{t}\operatorname {Id} :\left(X\otimes _{\epsilon }Y\right)_{b}^{\prime }\to \left(X\otimes _{\pi }Y\right)_{b}^{\prime }}$${\displaystyle \left(X\otimes _{\pi }Y\right)^{\prime }}$${\displaystyle B(X,Y)}$${\displaystyle X\times Y}$${\displaystyle X\otimes _{\epsilon }Y}$${\displaystyle B(X,Y)}$${\displaystyle J(X,Y)}$${\displaystyle J(X,Y)}$${\displaystyle X\times Y}$

También existe una formulación estrechamente relacionada ^[3] del teorema anterior que también se puede utilizar para explicar la terminología forma bilineal integral : una forma bilineal continua en el producto de espacios localmente convexos es integral si y solo si hay un espacio topológico compacto equipado con una medida de Radon positiva (necesariamente acotada) y mapas lineales continuos y desde y hacia el espacio de Banach tales que ${\displaystyle u}$${\displaystyle X\times Y}$${\displaystyle \Omega }$${\displaystyle \mu }$${\displaystyle \alpha }$${\displaystyle \beta }$${\displaystyle X}$${\displaystyle Y}$${\displaystyle L^{\infty }(\Omega ,\mu )}$

${\displaystyle u(x,y)=\langle \alpha (x),\beta (y)\rangle =\int _{\Omega }\alpha (x)\beta (y)\;d\mu }$,

es decir, la forma puede realizarse integrando funciones (esencialmente limitadas) en un espacio compacto. ${\displaystyle u}$

Una función lineal continua se denomina integral si su forma bilineal asociada es una forma bilineal integral, donde esta forma se define por . ^[4] De ello se deduce que una función integral tiene la forma: ^[4]${\displaystyle \kappa :X\to Y'}$${\displaystyle (x,y)\in X\times Y\mapsto (\kappa x)(y)}$${\displaystyle \kappa :X\to Y'}$

${\displaystyle x\in X\mapsto \kappa (x)=\int _{S\times T}\left\langle x',x\right\rangle y'\mathrm {d} \mu \!\left(x',y'\right)}$

para subconjuntos adecuados débilmente cerrados y equicontinuos S y T de y , respectivamente, y alguna medida de Radon positiva de masa total ≤ 1. La integral anterior es la integral débil , por lo que la igualdad se cumple si y solo si para cada , . ${\displaystyle X'}$${\displaystyle Y'}$${\displaystyle \mu }$${\displaystyle y\in Y}$${\textstyle \left\langle \kappa (x),y\right\rangle =\int _{S\times T}\left\langle x',x\right\rangle \left\langle y',y\right\rangle \mathrm {d} \mu \!\left(x',y'\right)}$

Dado un mapa lineal , se puede definir una forma bilineal canónica , llamada forma bilineal asociada en , por . Un mapa continuo se llama integral si su forma bilineal asociada es una forma bilineal integral. ^[5] Un mapa integral tiene la forma, para cada y : ${\displaystyle \Lambda :X\to Y}$${\displaystyle B_{\Lambda }\in Bi\left(X,Y'\right)}$${\displaystyle X\times Y'}$${\displaystyle B_{\Lambda }\left(x,y'\right):=\left(y'\circ \Lambda \right)\left(x\right)}$${\displaystyle \Lambda :X\to Y}$${\displaystyle \Lambda :X\to Y}$${\displaystyle x\in X}$${\displaystyle y'\in Y'}$

${\displaystyle \left\langle y',\Lambda (x)\right\rangle =\int _{A'\times B''}\left\langle x',x\right\rangle \left\langle y'',y'\right\rangle \mathrm {d} \mu \!\left(x',y''\right)}$

para conjuntos aubsets débilmente cerrados y equicontinuos adecuados y de y , respectivamente, y alguna medida positiva de Radon de masa total . ${\displaystyle A'}$${\displaystyle B''}$${\displaystyle X'}$${\displaystyle Y''}$${\displaystyle \mu }$${\displaystyle \leq 1}$

El siguiente resultado muestra que los mapas integrales se "factorizan a través" de los espacios de Hilbert.

Proposición: ^[6] Supóngase que es una función integral entre TVS localmente convexa con Y Hausdorff y completa. Existe un espacio de Hilbert H y dos funciones lineales continuas y tales que . ${\displaystyle u:X\to Y}$${\displaystyle \alpha :X\to H}$${\displaystyle \beta :H\to Y}$${\displaystyle u=\beta \circ \alpha }$

Además, todo operador integral entre dos espacios de Hilbert es nuclear . ^[6] Por lo tanto, un operador lineal continuo entre dos espacios de Hilbert es nuclear si y sólo si es integral.

Todo mapa nuclear es integral. ^[5] Una recíproca parcial importante es que todo operador integral entre dos espacios de Hilbert es nuclear . ^[6]

Supóngase que A , B , C y D son sistemas de transmisión de valores transversos localmente convexos de Hausdorff y que , y son todos operadores lineales continuos. Si es un operador integral, entonces también lo es la composición . ^[6]${\displaystyle \alpha :A\to B}$${\displaystyle \beta :B\to C}$${\displaystyle \gamma :C\to D}$${\displaystyle \beta :B\to C}$${\displaystyle \gamma \circ \beta \circ \alpha :A\to D}$

Si es un operador lineal continuo entre dos espacios normados, entonces es integral si y sólo si es integral. ^[7]${\displaystyle u:X\to Y}$${\displaystyle u:X\to Y}$${\displaystyle {}^{t}u:Y'\to X'}$

Supongamos que es una función lineal continua entre TVS localmente convexas. Si es integral, entonces también lo es su transpuesta . ^[5] Ahora supongamos que la transpuesta de la función lineal continua es integral. Entonces es integral si las inyecciones canónicas (definidas por el valor en x ) y son incrustaciones de TVS (lo que sucede si, por ejemplo, y son barrelizadas o metrizables). ^[5]${\displaystyle u:X\to Y}$${\displaystyle u:X\to Y}$ ${\displaystyle {}^{t}u:Y_{b}^{\prime }\to X_{b}^{\prime }}$${\displaystyle {}^{t}u:Y_{b}^{\prime }\to X_{b}^{\prime }}$${\displaystyle u:X\to Y}$${\displaystyle u:X\to Y}$${\displaystyle \operatorname {In} _{X}:X\to X''}$${\displaystyle x\mapsto }$${\displaystyle \operatorname {In} _{Y}:Y\to Y''}$${\displaystyle X}$${\displaystyle Y_{b}^{\prime }}$

Supóngase que A , B , C y D son TVS localmente convexos de Hausdorff con B y D completos . Si , y son todos mapas lineales integrales, entonces su composición es nuclear . ^[6] Por lo tanto, en particular, si X es un espacio de Fréchet de dimensión infinita , entonces una sobreyección lineal continua no puede ser un operador integral. ${\displaystyle \alpha :A\to B}$${\displaystyle \beta :B\to C}$${\displaystyle \gamma :C\to D}$${\displaystyle \gamma \circ \beta \circ \alpha :A\to D}$${\displaystyle u:X\to X}$

• Espacios auxiliares normados
• Topología final
• Producto tensorial inyectivo
• Operadores nucleares
• Espacios nucleares
• Producto tensorial proyectivo
• Producto tensorial topológico

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• El espacio nuclear en el NCATLAB