respuesta de impulso infinita

La respuesta impulsional infinita ( RII ) es una propiedad fundamental que se aplica a muchos sistemas lineales invariantes en el tiempo que se distinguen por tener una respuesta impulsional. $h(t)$ que no se vuelve exactamente cero después de cierto punto, sino que continúa indefinidamente. ^{[ 1 ]} Esto contrasta con un sistema de respuesta de impulso finito (FIR), en el que la respuesta de impulso sí se vuelve exactamente cero en ciertos momentos. $t>T$ para algún finito $T$ , siendo así de duración finita. Ejemplos comunes de sistemas lineales invariantes en el tiempo son la mayoría de los filtros electrónicos y digitales . Los sistemas con esta propiedad se conocen como sistemas IIR o filtros IIR .

En la práctica, la respuesta impulsional, incluso de los sistemas IIR, suele aproximarse a cero y puede despreciarse a partir de cierto punto. Sin embargo, los sistemas físicos que dan lugar a respuestas IIR o FIR son diferentes, y ahí radica la importancia de la distinción. Por ejemplo, los filtros electrónicos analógicos compuestos por resistencias, condensadores y/o inductores (y quizás amplificadores lineales) son generalmente filtros IIR. Por otro lado, los filtros de tiempo discreto (generalmente digitales) basados en una línea de retardo con derivaciones que no emplean retroalimentación son necesariamente filtros FIR. Los condensadores (o inductores) en el filtro analógico tienen "memoria" y su estado interno nunca se relaja por completo tras un impulso (suponiendo el modelo clásico de condensadores e inductores donde se ignoran los efectos cuánticos). Pero en este último caso, una vez que un impulso ha llegado al final de la línea de retardo con derivaciones, el sistema no tiene más memoria de ese impulso y ha vuelto a su estado inicial; su respuesta impulsional más allá de ese punto es exactamente cero.

Implementación y diseño

Aunque casi todos los filtros electrónicos analógicos son IIR, los filtros digitales pueden ser IIR o FIR. La presencia de retroalimentación en la topología de un filtro de tiempo discreto (como el diagrama de bloques que se muestra a continuación) generalmente crea una respuesta IIR. La función de transferencia en el dominio z de un filtro IIR contiene un denominador no trivial que describe esos términos de retroalimentación. La función de transferencia de un filtro FIR, por otro lado, solo tiene un numerador, como se expresa en la forma general que se deriva a continuación. $a_{i}$ coeficientes con $i>0$ (términos de retroalimentación) son cero y el filtro no tiene polos finitos .

Las funciones de transferencia de los filtros electrónicos analógicos IIR se han estudiado y optimizado exhaustivamente en cuanto a sus características de amplitud y fase. Estas funciones de filtro de tiempo continuo se describen en el dominio de Laplace . Las soluciones deseadas pueden transferirse al caso de filtros de tiempo discreto, cuyas funciones de transferencia se expresan en el dominio z, mediante el uso de ciertas técnicas matemáticas como la transformada bilineal , la invariancia de impulso o el método de coincidencia de polos y ceros . De este modo, los filtros IIR digitales pueden basarse en soluciones bien conocidas para filtros analógicos como el filtro de Chebyshev , el filtro de Butterworth y el filtro elíptico , heredando las características de dichas soluciones.

Derivación de la función de transferencia

Los filtros digitales a menudo se describen e implementan en términos de la ecuación de diferencias que define cómo se relaciona la señal de salida con la señal de entrada:

{\begin{aligned}y[n]{}=&b_{0}x[n]+b_{1}x[n-1]+\cdots +b_{P}x[nP]\\&{}+a_{1}y[n-1]+a_{2}y[n-2]+\cdots +a_{Q}y[nQ]\end{aligned}}

dónde:

$\ P$ es el orden del filtro de alimentación directa
$\ b_{i}$ son los coeficientes del filtro de alimentación directa
$\ Q$ es el orden del filtro de retroalimentación
$\ a_{i}$ son los coeficientes del filtro de retroalimentación
$\ x[n]$ es la señal de entrada
$\ y[n]$ es la señal de salida.

Una forma más condensada de la ecuación de diferencias es:

\ y[n]=\sum _{i=0}^{P}b_{i}x[ni]+\sum _{i=1}^{Q}a_{i}y[ni]

Para hallar la función de transferencia del filtro, primero aplicamos la transformada Z a cada lado de la ecuación anterior para obtener:

\ Y(z)=X(z)\sum _{i=0}^{P}b_{i}z^{-i}+Y(z)\sum _{i=1}^{Q}a_{i}z^{-i}

Después de reorganizar:

\ Y(z)\left[1-\sum _{i=1}^{Q}a_{i}z^{-i}\right]=X(z)\sum _{i=0}^{P}b_{i}z^{-i}

A continuación, definimos la función de transferencia como:

H(z)={\frac {Y(z)}{X(z)}}={\frac {\sum _{i=0}^{P}b_{i}z^{-i}}{1-\sum _{i=1}^{Q}a_{i}z^{-i}}}

Diagrama de bloques de un filtro IIR simple — Un ejemplo de diagrama de bloques de un filtro IIR. $z^{-1}$ El bloque es un retardo unitario.

{\displaystyle z^{-1}} — Un ejemplo de diagrama de bloques de un filtro IIR. $z^{-1}$ El bloque es un retardo unitario.

Estabilidad

La función de transferencia permite juzgar si un sistema es estable o no con entrada acotada y salida acotada (BIBO) . Para ser más específicos, el criterio de estabilidad BIBO requiere que la región de convergencia (ROC) del sistema incluya el círculo unitario. Por ejemplo, para que un sistema causal sea estable, todos los polos de la función de transferencia deben tener un valor absoluto menor que uno. En otras palabras, todos los polos deben estar ubicados dentro de un círculo unitario en la $z$ -avión.

Los polos se definen como los valores de $z$ que hacen que el denominador de $H(z)$ igual a 0:

\ 0=\sum _{j=0}^{Q}a_{j}z^{-j}

Claramente, si $a_{j}\neq 0$ entonces los polos no están ubicados en el origen de la $z$ -plano. Esto contrasta con el filtro FIR , donde todos los polos se encuentran en el origen y, por lo tanto, siempre es estable.

En ocasiones, se prefieren los filtros IIR a los filtros FIR porque un filtro IIR puede lograr una atenuación de la región de transición mucho más pronunciada que un filtro FIR del mismo orden.

Ejemplo

Sea la función de transferencia $H(z)$ de un filtro de tiempo discreto viene dado por:

H(z)={\frac {B(z)}{A(z)}}={\frac {1}{1-az^{-1}}}

gobernado por el parámetro $a$ , un número real con $0<|a|<1$ . $H(z)$ es estable y causal con un polo en $a$ Se puede demostrar que la respuesta impulsional en el dominio del tiempo viene dada por:

h(n)=a^{n}u(n)

dónde $u(n)$ es la función escalón unitario . Se puede observar que $h(n)$ es distinto de cero para todos $n\geq 0$ , por lo tanto, una respuesta impulsional que continúa infinitamente.

Ventajas y desventajas

La principal ventaja de los filtros IIR digitales sobre los filtros FIR radica en su eficiencia de implementación, ya que permiten cumplir con especificaciones de ancho de banda , atenuación, rizado y/o atenuación. Este conjunto de especificaciones se puede lograr con un filtro IIR de menor orden ( Q en las fórmulas anteriores) que el requerido para un filtro FIR que cumpla con los mismos requisitos. Si se implementa en un procesador de señales, esto implica un menor número de cálculos por paso de tiempo; el ahorro computacional suele ser considerable.

Por otro lado, los filtros FIR pueden ser más fáciles de diseñar, por ejemplo, para cumplir con un requisito específico de respuesta en frecuencia. Esto es especialmente cierto cuando el requisito no corresponde a los casos habituales (paso alto, paso bajo, rechazo de banda, etc.) que se han estudiado y optimizado para filtros analógicos. Además, los filtros FIR pueden diseñarse fácilmente para tener fase lineal ( retardo de grupo constante en función de la frecuencia), una propiedad que no se logra fácilmente con filtros IIR, y solo como una aproximación (por ejemplo, con el filtro Bessel ). Otro problema relacionado con los filtros IIR digitales es la posibilidad de que presenten un comportamiento de ciclo límite en reposo, debido al sistema de retroalimentación junto con la cuantización.

Métodos de diseño

Invariancia de impulsos

La invariancia de impulso es una técnica para diseñar filtros de respuesta de impulso infinita (IIR) de tiempo discreto a partir de filtros de tiempo continuo, en la que la respuesta de impulso del sistema de tiempo continuo se muestrea para producir la respuesta de impulso del sistema de tiempo discreto. La invariancia de impulso es uno de los métodos más utilizados para cumplir con los dos requisitos básicos del mapeo del plano s al plano z. Esto se obtiene resolviendo la ecuación T(z) que tiene el mismo valor de salida en el mismo instante de muestreo que el filtro analógico, y solo es aplicable cuando las entradas son pulsos. Cabe destacar que todas las entradas del filtro digital generado por este método son valores aproximados, excepto las entradas de pulso, que son muy precisas. Este es el método más sencillo para diseñar filtros IIR . Es el más preciso a bajas frecuencias, por lo que se suele utilizar en filtros paso bajo.

En la transformada de Laplace o la transformada Z, la salida después de la transformación es simplemente la entrada multiplicada por la función de transformación correspondiente, T(s) o T(z). Y(s) e Y(z) son la salida convertida de la entrada X(s) y la entrada X(z), respectivamente.

Y(s)=T(s)X(s)

Y(z)=T(z)X(z)

Al aplicar la transformada de Laplace o la transformada Z al impulso unitario, el resultado es 1. Por lo tanto, los resultados de salida después de la conversión son

Y(s)=T(s)

Y(z)=T(z)

Ahora, la salida del filtro analógico es simplemente la transformada inversa de Laplace en el dominio del tiempo .

y(t)=L^{-1}[Y(s)]=L^{-1}[T(s)]

Si usamos nT en lugar de t, podemos obtener la salida y(nT) derivada del pulso en el tiempo de muestreo. También se puede expresar como y(n).

y(n)=y(nT)=y(t)|_{t=sT}

A esta señal de tiempo discreto se le puede aplicar la transformada Z para obtener T(z).

T(z)=Y(z)=Z[y(n)]

T(z)=Z[y(n)]=Z[y(nT)]

T(z)=Z\left\{L^{-1}[T(s)]_{t=nT}\right\}

La última ecuación describe matemáticamente que un filtro IIR digital debe realizar una transformada Z sobre la señal analógica que ha sido muestreada y convertida a T(s) por Laplace, que generalmente se simplifica a

T(z)=Z[T(s)]*T

Presta atención al hecho de que aparece un multiplicador T en la fórmula. Esto se debe a que, aunque la transformada de Laplace y la transformada Z para el pulso unitario sean 1, el pulso en sí no es necesariamente el mismo. Para las señales analógicas, el pulso tiene un valor infinito, pero el área es 1 en t=0; sin embargo, también es 1 en el pulso discreto t=0, por lo que se requiere la existencia de un multiplicador T.

Invariancia de pasos

La invariancia de paso es un método de diseño mejor que la invariancia de impulso. El filtro digital tiene varios segmentos de entrada con diferentes constantes durante el muestreo, que se compone de pasos discretos. El filtro IIR invariante de paso es menos preciso que la misma señal de entrada de paso al ADC. Sin embargo, es una mejor aproximación para cualquier entrada que la invariancia de impulso. La invariancia de paso resuelve el problema de los mismos valores de muestra cuando T(z) y T(s) son ambas entradas de paso. La entrada al filtro digital es u(n) y la entrada al filtro analógico es u(t). Aplique la transformada Z y la transformada de Laplace a estas dos entradas para obtener la señal de salida convertida. Realice la transformada Z en la entrada de paso. $Z[u(n)]={\dfrac {z}{z-1}}$ Salida convertida después de la transformada Z. $Y(z)=T(z)U(z)=T(z){\dfrac {z}{z-1}}$ Realizar la transformada de Laplace en la entrada escalón $L[u(t)]={\dfrac {1}{s}}$ Salida convertida tras la transformada de Laplace $Y(s)=T(s)U(s)={\dfrac {T(s)}{s}}$ La salida del filtro analógico es y(t), que es la transformada inversa de Laplace de Y(s). Si se muestrea cada T segundos, es y(n), que es la transformada inversa de Y(z). Estas señales se utilizan para calcular el filtro digital y el filtro analógico, y tienen la misma salida en el instante de muestreo. La siguiente ecuación muestra la solución de T(z), que es la fórmula aproximada para el filtro analógico.

T(z)={\dfrac {z-1}{z}}Y(z)

T(z)={\dfrac {z-1}{z}}Z[y(n)]

T(z)={\dfrac {z-1}{z}}Z[Y(s)]

T(z)={\dfrac {z-1}{z}}Z[{\dfrac {T(s)}{s}}]

Transformación bilineal

La transformación bilineal es un caso especial de una transformación conforme, que se utiliza a menudo para convertir una función de transferencia. $H_{a}(s)$ de un filtro lineal e invariante en el tiempo (LTI) en el dominio del tiempo continuo (a menudo llamado filtro analógico) a una función de transferencia $H_{d}(z)$ de un filtro lineal invariante a desplazamientos en el dominio del tiempo discreto. La transformada bilineal es una aproximación de primer orden de la función logaritmo natural que es un mapeo exacto del plano z al plano s . Cuando se realiza la transformada de Laplace en una señal de tiempo discreto (con cada elemento de la secuencia de tiempo discreto conectado a un impulso unitario correspondientemente retardado), el resultado es precisamente la transformada Z de la secuencia de tiempo discreto con la sustitución de

{\begin{aligned}z&=e^{sT}\\&={\frac {e^{sT/2}}{e^{-sT/2}}}\\&\approx {\frac {1+sT/2}{1-sT/2}}\end{aligned}}

dónde $T$ es el tamaño del paso de integración numérica de la regla trapezoidal utilizada en la derivación de la transformación bilineal; o, en otras palabras, el período de muestreo. La aproximación bilineal anterior se puede resolver para $s$ o una aproximación similar para $s=(1/T)\ln(z)$ puede realizarse.

La inversa de esta aplicación (y su aproximación bilineal de primer orden) es

{\begin{aligned}s&={\frac {1}{T}}\ln(z)\\&={\frac {2}{T}}\left[{\frac {z-1}{z+1}}+{\frac {1}{3}}\left({\frac {z-1}{z+1}}\right)^{3}+{\frac {1}{5}}\left({\frac {z-1}{z+1}}\right)^{5}+{\frac {1}{7}}\left({\frac {z-1}{z+1}}\right)^{7}+\cdots \right]\\&\approx {\frac {2}{T}}{\frac {z-1}{z+1}}\\&={\frac {2}{T}}{\frac {1-z^{-1}}{1+z^{-1}}}\end{aligned}}

Esta relación se utiliza en la función de transferencia de Laplace de cualquier filtro analógico o en el filtro digital de respuesta de impulso infinito (IIR) T(z) del filtro analógico. La transformada bilineal utiliza esencialmente esta aproximación de primer orden y la sustituye en la función de transferencia de tiempo continuo. $H_{a}(s)$

s\leftarrow {\frac {2}{T}}{\frac {z-1}{z+1}}.

Eso es

H_{d}(z)=H_{a}(s){\bigg |}_{s={\frac {2}{T}}{\frac {z-1}{z+1}}}=H_{a}\left({\frac {2}{T}}{\frac {z-1}{z+1}}\right).\

que se utiliza para calcular el filtro digital IIR, partiendo de la función de transferencia de Laplace del filtro analógico.

Véase también

Modelo autorregresivo
Filtro electrónico
Respuesta de impulso finita
Relación de recurrencia , formalización matemática
Análisis de sistemas

Referencias

↑ Oppenheim, Alan; Schafer, Ronald (18 de agosto de 2009). Procesamiento de señales en tiempo discreto . Procesamiento de señales de Prentice Hall (3.ª ed.). Pearson. ISBN 978-0131988422.

Enlaces externos

El quinto módulo del curso de Procesamiento de Señales DSP de BORES - Introducción al DSP ] en Wayback Machine (archivado el 2 de julio de 2016)
Applet de diseño de filtros digitales IIR en Wayback Machine (archivado el 13 de febrero de 2010)
Herramienta de diseño de filtros digitales IIR. Archivada el 30/08/2020 en Wayback Machine . Genera coeficientes, gráficos, polos, ceros y código C.
Herramienta de diseño IIR en línea EngineerJS : no requiere Java.

[1] Oppenheim, Alan; Schafer, Ronald (18 de agosto de 2009). Procesamiento de señales en tiempo discreto . Procesamiento de señales de Prentice Hall (3.ª ed.). Pearson. ISBN 978-0131988422.

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