Curva de indiferencia

La teoría del consumidor utiliza curvas de indiferencia y restricciones presupuestarias para generar curvas de demanda . Para un consumidor individual, este proceso es relativamente sencillo. Primero, consideremos un bien como ejemplo de mercado, por ejemplo, las zanahorias, y el otro como un compuesto de todos los demás bienes. Las restricciones presupuestarias proporcionan una línea recta en el mapa de indiferencia que muestra todas las posibles distribuciones entre los dos bienes; el punto de máxima utilidad es entonces el punto en el que una curva de indiferencia es tangente a la línea presupuestaria (ilustrado). Esto se deduce del sentido común: si el mercado valora un bien más que el hogar, el hogar lo venderá; si el mercado lo valora menos que el hogar, el hogar lo comprará. El proceso continúa hasta que las tasas marginales de sustitución del mercado y del hogar sean iguales. ^{[ 11 ]} Ahora bien, si el precio de las zanahorias cambiara y el precio de todos los demás bienes permaneciera constante, la pendiente de la línea presupuestaria también cambiaría, lo que daría lugar a un punto de tangencia diferente y a una cantidad demandada diferente. Estas combinaciones de precio/cantidad pueden luego usarse para deducir una curva de demanda completa. ^{[ 11 ]} Dicho con precisión, un conjunto de curvas de indiferencia para representativas de diferentes relaciones de precios entre dos bienes se utilizan para generar la curva de precio-consumo en el espacio vectorial bien-bien , que es equivalente a la curva de demanda en el espacio vectorial bien-precio. La línea que conecta todos los puntos de tangencia entre la curva de indiferencia y la restricción presupuestaria a medida que cambia la restricción presupuestaria se llama trayectoria de expansión , ^{[ 12 ]} y se correlaciona con cambios en la demanda. La línea que conecta todos los puntos de tangencia entre la curva de indiferencia y la restricción presupuestaria a medida que cambia el precio de cualquiera de los bienes es la curva de precio-consumo, y se correlaciona con el movimiento a lo largo de la curva de demanda.

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  Figura 1: Ejemplo de un mapa de indiferencia con tres curvas de indiferencia representadas.
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  Figura 2: Tres curvas de indiferencia donde los bienes X e Y son sustitutos perfectos. La línea gris perpendicular a todas las curvas indica que son paralelas entre sí.
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  Figura 3: Curvas de indiferencia para bienes complementarios perfectos X e Y. Los codos de las curvas son colineales . La línea gris muestra la curva de ingreso-consumo (el equivalente en la teoría del consumidor a la trayectoria de expansión ) de una serie de curvas de utilidad de Leontief .

_{En la} Figura 1, el consumidor preferiría estar en I3 que _{en I2} , y en I2 que en _{I1 ,} pero no le importa dónde se encuentre en una curva de indiferencia dada. La pendiente de una curva de indiferencia (en valor absoluto), conocida por los economistas como tasa marginal de sustitución , muestra la tasa a la que los consumidores están dispuestos a renunciar a un bien a cambio de más del otro. Para la mayoría de los bienes, la tasa marginal de sustitución no es constante, por lo que sus curvas de indiferencia son curvas. Las curvas son convexas al origen, lo que describe el efecto de sustitución negativo . A medida que el precio aumenta para un ingreso monetario fijo, el consumidor busca el sustituto menos costoso en una curva de indiferencia más baja. El efecto de sustitución se refuerza a través del efecto ingreso de un ingreso real menor (Beattie-LaFrance). Un ejemplo de una función de utilidad que genera curvas de indiferencia de este tipo es la función Cobb-Douglas.${\displaystyle \scriptstyle U\left(x,y\right)=x^{\alpha }y^{1-\alpha },0\leq \alpha \leq 1}$La pendiente negativa de la curva de indiferencia incorpora la disposición del consumidor a realizar concesiones. ^{[ 10 ]}

Si dos bienes son sustitutos perfectos , las curvas de indiferencia tendrán una pendiente constante, ya que el consumidor estaría dispuesto a cambiar entre ellos en una proporción fija. La tasa marginal de sustitución entre sustitutos perfectos también es constante. Un ejemplo de una función de utilidad asociada con curvas de indiferencia como estas sería:${\displaystyle \scriptstyle U\left(x,y\right)=\alpha x+\beta y}$.

Si dos bienes son complementos perfectos, las curvas de indiferencia tendrán forma de L. Ejemplos de complementos perfectos incluyen los zapatos izquierdos comparados con los zapatos derechos: el consumidor no se beneficia de tener varios zapatos derechos si solo tiene un zapato izquierdo; la utilidad marginal de los zapatos derechos adicionales es cero sin más zapatos izquierdos, por lo que las cestas de bienes que difieren únicamente en la cantidad de zapatos derechos que incluyen —cualquiera que sea— son igualmente preferidas. La tasa marginal de sustitución es cero o infinita. Un ejemplo del tipo de función de utilidad que tiene un mapa de indiferencia como el anterior es la función de Leontief:${\displaystyle \scriptstyle U\left(x,y\right)=\min\{\alpha x,\beta y\}}$.

Las diferentes formas de las curvas implican diferentes respuestas a un cambio de precio, como se muestra en el análisis de la demanda en la teoría del consumidor . Aquí solo se presentarán los resultados. Un cambio en la línea de presupuesto de precios que mantuvo al consumidor en equilibrio sobre la misma curva de indiferencia:

En la figura 1, la cantidad demandada de un bien disminuiría gradualmente a medida que el precio de ese bien aumentara relativamente.

En la figura 2, no tendría ningún efecto sobre la cantidad demandada de ninguno de los dos bienes (en un extremo de la restricción presupuestaria ) o cambiaría la cantidad demandada de un extremo de la restricción presupuestaria al otro.

En la figura 3 no tendría efecto alguno sobre las cantidades demandadas de equilibrio, puesto que la línea presupuestaria giraría alrededor de la esquina de la curva de indiferencia. ^{[ nb 2 ]}

Dejar

${\displaystyle A\;}$ser un conjunto de alternativas mutuamente excluyentes entre las que un consumidor puede elegir.

${\displaystyle a\;}$y${\displaystyle b\;}$ser elementos genéricos de${\displaystyle A\;}$.

En el lenguaje del ejemplo anterior, el conjunto${\displaystyle A\;}$está hecho de combinaciones de manzanas y plátanos. El símbolo${\displaystyle a\;}$es una de esas combinaciones, como 1 manzana y 4 plátanos y${\displaystyle b\;}$es otra combinación como 2 manzanas y 2 plátanos.

Una relación de preferencia, denotada${\displaystyle \succeq }$, es una relación binaria definida en el conjunto${\displaystyle A\;}$.

La declaración

${\displaystyle a\succeq b\;}$

se describe como '${\displaystyle a\;}$es débilmente preferido a${\displaystyle b\;}$.' Eso es,${\displaystyle a\;}$es al menos tan bueno como${\displaystyle b\;}$(en satisfacción de preferencias).

La declaración

${\displaystyle a\sim b\;}$

se describe como '${\displaystyle a\;}$es débilmente preferido a${\displaystyle b\;}$, y${\displaystyle b\;}$es débilmente preferido a${\displaystyle a\;}$.' Es decir, uno es indiferente a la elección de${\displaystyle a\;}$o${\displaystyle b\;}$, lo que no significa que sean indeseables, sino que son igualmente buenos para satisfacer las preferencias.

La declaración

${\displaystyle a\succ b\;}$

se describe como '${\displaystyle a\;}$es débilmente preferido a${\displaystyle b\;}$, pero${\displaystyle b\;}$no se prefiere débilmente a${\displaystyle a\;}$'Uno dice que'${\displaystyle a\;}$es estrictamente preferible${\displaystyle b\;}$.'

La relación de preferencia${\displaystyle \succeq }$está completo si todos los pares${\displaystyle a,b\;}$puede ser clasificado. La relación es una relación transitiva si siempre que${\displaystyle a\succeq b\;}$y${\displaystyle b\succeq c,\;}$entonces${\displaystyle a\succeq c\;}$.

Para cualquier elemento${\displaystyle a\in A\;}$, la curva de indiferencia correspondiente,${\displaystyle {\mathcal {C}}_{a}}$está compuesto por todos los elementos de${\displaystyle A\;}$que son indiferentes a${\displaystyle a}$Formalmente,

${\displaystyle {\mathcal {C}}_{a}=\{b\in A:b\sim a\}}$.

En el ejemplo anterior, un elemento${\displaystyle a\;}$del conjunto${\displaystyle A\;}$está compuesto por dos números: El número de manzanas, llamémoslo${\displaystyle x,\;}$y el número de plátanos, llámalo${\displaystyle y.\;}$

En la teoría de la utilidad , la función de utilidad de un agente es una función que clasifica todos los pares de cestas de consumo por orden de preferencia ( completitud ) de tal manera que cualquier conjunto de tres o más cestas forma una relación transitiva . Esto significa que para cada cesta${\displaystyle \left(x,y\right)}$existe una relación única,${\displaystyle U\left(x,y\right)}$, que representa la relación de utilidad (satisfacción) asociada con${\displaystyle \left(x,y\right)}$. La relación${\displaystyle \left(x,y\right)\to U\left(x,y\right)}$se denomina función de utilidad . El rango de la función es un conjunto de números reales . Los valores reales de la función no tienen importancia. Solo la clasificación de esos valores tiene contenido para la teoría. Más precisamente, si${\displaystyle U(x,y)\geq U(x',y')}$, luego el paquete${\displaystyle \left(x,y\right)}$Se describe como al menos tan bueno como el paquete.${\displaystyle \left(x',y'\right)}$. Si${\displaystyle U\left(x,y\right)>U\left(x',y'\right)}$, el paquete${\displaystyle \left(x,y\right)}$se describe como estrictamente preferido al paquete${\displaystyle \left(x',y'\right)}$.

Consideremos un conjunto particular${\displaystyle \left(x_{0},y_{0}\right)}$y tomar la derivada total de${\displaystyle U\left(x,y\right)}$Sobre este punto:

${\displaystyle dU\left(x_{0},y_{0}\right)=U_{1}\left(x_{0},y_{0}\right)dx+U_{2}\left(x_{0},y_{0}\right)dy}$

o, sin pérdida de generalidad ,

${\displaystyle {\frac {dU\left(x_{0},y_{0}\right)}{dx}}=U_{1}(x_{0},y_{0}).1+U_{2}(x_{0},y_{0}){\frac {dy}{dx}}}$(Ecuación 1)

dónde${\displaystyle U_{1}\left(x,y\right)}$es la derivada parcial de${\displaystyle U\left(x,y\right)}$con respecto a su primer argumento, evaluado en${\displaystyle \left(x,y\right)}$. (Igualmente para${\displaystyle U_{2}\left(x,y\right).}$)

La curva de indiferencia a través de${\displaystyle \left(x_{0},y_{0}\right)}$debe entregar en cada paquete de la curva el mismo nivel de utilidad que el paquete${\displaystyle \left(x_{0},y_{0}\right)}$. Es decir, cuando las preferencias se representan mediante una función de utilidad, las curvas de indiferencia son las curvas de nivel de la función de utilidad. Por lo tanto, si se va a cambiar la cantidad de${\displaystyle x\,}$por${\displaystyle dx\,}$, sin apartarse de la curva de indiferencia, también hay que cambiar la cantidad de${\displaystyle y\,}$por una cantidad${\displaystyle dy\,}$de tal manera que, al final, no haya ningún cambio en U :

${\displaystyle {\frac {dU\left(x_{0},y_{0}\right)}{dx}}=0}$o bien, sustituyendo 0 en la ecuación (1) anterior para despejar dy/dx :

${\displaystyle {\frac {dU\left(x_{0},y_{0}\right)}{dx}}=0\Leftrightarrow {\frac {dy}{dx}}=-{\frac {U_{1}(x_{0},y_{0})}{U_{2}(x_{0},y_{0})}}}$.

Así, la razón de las utilidades marginales da el valor absoluto de la pendiente de la curva de indiferencia en el punto${\displaystyle \left(x_{0},y_{0}\right)}$Esta relación se denomina tasa marginal de sustitución entre${\displaystyle x\,}$y${\displaystyle y\,}$.