Modelo reticular (finanzas)

Para las opciones europeas sobre acciones y materias primas , la aplicación es la siguiente. El primer paso es rastrear la evolución de la(s) variable(s) subyacente(s) clave de la opción, comenzando con el precio spot de hoy , de manera que este proceso sea consistente con su volatilidad; generalmente se asume un movimiento browniano log-normal con volatilidad constante. ^{[ 4 ]} El siguiente paso es valorar la opción recursivamente: retrocediendo desde el paso de tiempo final, donde tenemos el valor de ejercicio en cada nodo; y aplicando la valoración neutral al riesgo en cada nodo anterior, donde el valor de la opción es el valor presente ponderado por probabilidad de los nodos ascendentes y descendentes en el paso de tiempo posterior. Consulte el modelo de valoración de opciones binomiales § Método para obtener más detalles, así como la valoración racional § Valoración neutral al riesgo para la lógica y la derivación de fórmulas.  

Como se indicó anteriormente, el enfoque reticular es particularmente útil para valorar opciones americanas , donde la decisión de ejercer la opción anticipadamente o mantenerla puede modelarse para cada combinación discreta de tiempo y precio; esto también se aplica a las opciones bermudeñas . Por razones similares, las opciones reales y las opciones sobre acciones para empleados a menudo se modelan utilizando un marco reticular, aunque con supuestos modificados. En cada uno de estos casos, un tercer paso consiste en determinar si la opción se ejercerá o se mantendrá, y luego aplicar este valor en el nodo en cuestión. Algunas opciones exóticas , como las opciones barrera , también se modelan fácilmente aquí; para otras opciones dependientes de la trayectoria , se preferiría la simulación . (Aunque se han desarrollado métodos basados ​​en árboles. ^{[ 5 ] [ 6 ]} )

El modelo de retículo más simple es el modelo binomial de valoración de opciones ; ^{[ 7 ]} el método estándar ("canónico" ^{[ 8 ]} ) es el propuesto por Cox , Ross y Rubinstein (CRR) en 1979; véase el diagrama para las fórmulas. Se han desarrollado más de 20 métodos adicionales, ^{[ 9 ]} cada uno "derivado bajo una variedad de supuestos" con respecto al desarrollo del precio del subyacente. ^{[ 4 ]} En el límite , a medida que aumenta el número de pasos de tiempo, estos convergen a la distribución log-normal y, por lo tanto, producen el "mismo" precio de opción que Black-Scholes: para lograr esto, estos buscarán de diversas maneras coincidir con los momentos centrales , momentos brutos y/o momentos logarítmicos del subyacente en cada paso de tiempo, medidos discretamente . Se diseñan mejoras adicionales para lograr estabilidad relativa a Black-Scholes a medida que cambia el número de pasos de tiempo. De hecho, los modelos más recientes están diseñados en torno a la convergencia directa a Black-Scholes. ^{[ 9 ]}

Una variante del modelo binomial es el árbol trinomial , ^{[ 10 ] [ 11 ]} desarrollado por Phelim Boyle en 1986. En este caso, el precio de la acción puede permanecer sin cambios durante el paso de tiempo, y la valoración de la opción se basa entonces en el valor de la acción en los nodos superior, inferior e intermedio en el paso de tiempo posterior. Al igual que con el modelo binomial, existe una gama similar (aunque menor) de métodos. Se considera que el modelo trinomial ^{[ 12 ]} produce resultados más precisos que el modelo binomial cuando se modelan menos pasos de tiempo, y por lo tanto se utiliza cuando la velocidad computacional o los recursos pueden ser un problema. Para opciones simples , a medida que aumenta el número de pasos, los resultados convergen rápidamente, y entonces se prefiere el modelo binomial debido a su implementación más simple. Para opciones exóticas, el modelo trinomial (o adaptaciones) a veces es más estable y preciso, independientemente del tamaño del paso.

Para múltiples activos subyacentes , por ejemplo, opciones Rainbow y Basket , se pueden construir "retículos multinomiales" ^{[ 13 ]} . Cada activo subyacente tendrá su propio árbol, y el valor de la opción por nodo será una función de los nodos correspondientes en todos los árboles subyacentes. En el caso de dos activos, el árbol se denominará entonces " pirámide binomial" ^{[ 13 ]} . Aquí existen dos complicaciones adicionales ^{[ 14 ]} . Primero, el número de nodos aumenta exponencialmente con el número de activos subyacentes. Segundo, en estos productos, las correlaciones entre activos juegan un papel significativo, y estas también deben estar presentes en el modelo.

Varias de las griegas pueden estimarse directamente en la red, donde las sensibilidades se calculan utilizando diferencias finitas . ^{[ 15 ]} Delta y gamma , que son sensibilidades del valor de la opción con respecto al precio, se aproximan a partir de las diferencias entre los precios de las opciones (con su spot relacionado) en el mismo paso de tiempo. Theta , sensibilidad al tiempo, se estima de manera similar a partir del precio de la opción en el primer nodo del árbol y el precio de la opción para el mismo spot en un paso de tiempo posterior. (Segundo paso de tiempo para trinomial, tercero para binomial. Dependiendo del método, si el "factor de bajada" no es el inverso del "factor de subida", este método no será preciso). Para rho , sensibilidad a los tipos de interés, y vega , sensibilidad a la volatilidad de entrada, la medición es indirecta, ya que el valor debe calcularse una segunda vez en una nueva red construida con estas entradas ligeramente alteradas, y la sensibilidad aquí también se devuelve mediante diferencias finitas. Véase también Fugit , el tiempo estimado para ejercer una opción no europea, que normalmente se calcula utilizando una red.

A partir del desplome de 1987 , y especialmente desde la crisis financiera de 2008 , se ha vuelto fundamental incorporar la curva de volatilidad (o superficie de volatilidad ) en los modelos de valoración. Esto reconoce que la distribución subyacente de la variación de precios presenta una estructura temporal y no es normal, a diferencia de la supuesta por Black-Scholes; véase Economía financiera §  Valoración de derivados y Valoración de opciones §  Postcrisis . Para ello, los bancos suelen aplicar modelos de volatilidad estocástica o local . En el marco de Lattice, se pueden construir árboles implícitos , que discretizan esencialmente estos últimos. En este caso, el árbol se resuelve de forma que reproduzca con éxito los precios de mercado seleccionados (todos ellos), para diversos precios de ejercicio y vencimientos. Estos árboles, por lo tanto, "garantizan que todas las opciones estándar europeas (con precios de ejercicio y vencimientos que coinciden con los nodos del árbol) tendrán valores teóricos que se ajustan a sus precios de mercado". ^{[ 16 ]} Utilizando la retícula calibrada, se pueden fijar precios para opciones con combinaciones de precio de ejercicio/vencimiento no cotizadas en el mercado, de manera que estos precios sean consistentes con los patrones de volatilidad observados. Para la gestión de riesgos , las griegas devueltas reflejarán las sensibilidades de forma más adecuada.

Existen tanto árboles binomiales implícitos , a menudo Rubinstein IBT (R-IBT), ^{[ 17 ]} como árboles trinomiales implícitos , a menudo Derman -Kani- Chriss ^{[ 16 ]} (DKC; reemplazando al DK-IBT ^{[ 18 ]} ). El primero es más fácil de construir, pero es consistente con un solo vencimiento; el segundo será consistente con, pero al mismo tiempo requiere, precios conocidos (o interpolados ) en todos los pasos de tiempo y nodos. En cuanto a la construcción, para un R-IBT el primer paso es recuperar las "Probabilidades Neutrales al Riesgo Finales Implícitas" de los precios spot. Luego, bajo el supuesto de que todos los caminos que conducen al mismo nodo final tienen la misma probabilidad neutral al riesgo, se adjunta una "probabilidad de camino" a cada nodo final. A partir de ahí, "es tan simple como Uno-Dos-Tres", y una recursión hacia atrás de tres pasos permite recuperar las probabilidades de los nodos para cada paso de tiempo. La valoración de la opción procede entonces de forma estándar, sustituyendo estas probabilidades.${\displaystyle p}$arriba. Para DKC, el primer paso es recuperar los precios de estado correspondientes a cada nodo en el árbol, de modo que sean consistentes con los precios de opción observados (es decir, con la superficie de volatilidad). Posteriormente, se encuentran las probabilidades al alza, a la baja y media para cada nodo de modo que: estas sumen 1; los precios spot adyacentes en pasos de tiempo evolucionan neutralmente al riesgo, incorporando el rendimiento de dividendos ; los precios de estado de manera similar "crecen" a la tasa libre de riesgo. ^{[ 19 ]} (La solución aquí es iterativa por paso de tiempo en lugar de simultánea). En cuanto a R-IBT, la valoración de opciones se realiza mediante recursión hacia atrás estándar.

Como alternativa, se pueden emplear árboles binomiales de Edgeworth ^{[ 20 ]} , ya que permiten especificar la asimetría y la curtosis en los rendimientos del precio spot (véase la serie Edgeworth ). En este caso, las opciones con diferentes precios de ejercicio devolverán diferentes volatilidades implícitas, y el árbol puede calibrarse a la sonrisa de volatilidad mediante una "elección juiciosa" ^{[ 21 ]} de los valores de los parámetros. Para la valoración de opciones americanas, la valoración se basará en un R-IBT combinado con la distribución de vencimiento calibrada. El enfoque de Edgeworth está limitado en cuanto al conjunto de pares de asimetría y curtosis para los que existen distribuciones válidas: los árboles binomiales de Johnson más recientes [ ^{22 ]} utilizan la "familia" de distribuciones de Johnson , ya que esta es capaz de acomodar todos los pares posibles. Los árboles ^de Edgeworth (o Johnson) también son útiles para otras aplicaciones en las que el comportamiento del subyacente se desvía (marcadamente) de la normalidad. Como ejemplo, estos árboles se pueden aplicar a opciones multinomiales: las opciones de cesta , por ejemplo, se pueden valorar utilizando una "distribución aproximada" ^{[ 23 ]} que proporciona los nodos finales, la asimetría y la curtosis, sobre los cuales se construye el árbol.

En cuanto al modelado de CVA / XVA mediante retícula, véase más abajo.

La red inicial se construye discretizando un modelo de tasa a corto plazo , como Hull-White o Black Derman Toy , o un modelo basado en tasas a plazo , como el modelo de mercado LIBOR o HJM . En cuanto a la renta variable, también se pueden emplear árboles trinomiales para estos modelos; ^{[ 26 ]} este suele ser el caso para los árboles de Hull-White.

Bajo HJM, ^{[ 27 ]} la condición de no arbitraje implica que existe una medida de probabilidad de martingala , así como una restricción correspondiente en los "coeficientes de deriva" de las tasas forward. Estos, a su vez, son funciones de la(s) volatilidad(es) de las tasas forward. ^{[ 28 ]} Una expresión discretizada "simple" ^{[ 29 ]} para la deriva permite entonces que las tasas forward se expresen en una red binomial. Para estos modelos basados ​​en tasas forward, dependiendo de supuestos de volatilidad, la red podría no recombinarse. ^{[ 30 ] [ 27 ]} (Esto significa que un "movimiento alcista" seguido de un "movimiento bajista" no dará el mismo resultado que un "movimiento bajista" seguido de un "movimiento alcista"). En este caso, la red a veces se denomina "arbusto", y el número de nodos crece exponencialmente en función del número de pasos de tiempo. También está disponible una metodología de árbol binomial recombinante para el modelo de mercado Libor. ^{[ 31 ]}

En cuanto a los modelos de tasa corta, estos, a su vez, se categorizan aún más: estos serán basados ​​en el equilibrio ( Vasicek y CIR ) o libres de arbitraje ( Ho-Lee y subsiguientes ). Esta distinción: para los modelos basados ​​en el equilibrio la curva de rendimiento es una salida del modelo, mientras que para los modelos libres de arbitraje la curva de rendimiento es una entrada del modelo. ^{[ 32 ]} En el primer caso, el enfoque es "calibrar" los parámetros del modelo, de modo que los precios de los bonos producidos por el modelo, en su forma continua, se ajusten mejor a los precios de mercado observados. ^{[ 33 ]} El árbol se construye entonces como una función de estos parámetros. En el segundo caso, la calibración es directamente en la red: el ajuste es tanto a la estructura temporal actual de las tasas de interés (es decir, la curva de rendimiento ) como a la estructura de volatilidad correspondiente . Aquí, calibración significa que el árbol de tasas de interés reproduce los precios de los bonos cupón cero —y cualquier otro valor sensible a las tasas de interés— utilizados en la construcción de la curva de rendimiento ; Nótese el paralelismo con los árboles implícitos para la equidad mencionados anteriormente y compárese con Bootstrapping (finanzas) . Para modelos que asumen una distribución normal (como Ho-Lee), la calibración puede realizarse analíticamente, mientras que para modelos log-normales la calibración se realiza mediante un algoritmo de búsqueda de raíces ; véase, por ejemplo, la descripción recuadrada bajo el modelo Black-Derman-Toy .

La estructura de volatilidad (es decir, el espaciado vertical de los nodos) refleja aquí la volatilidad de las tasas durante el trimestre u otro período, correspondiente al paso de tiempo de la red. (Algunos analistas utilizan la " volatilidad realizada ", es decir, de las tasas aplicables históricamente para el paso de tiempo; para ser consistentes con el mercado, los analistas generalmente prefieren utilizar los precios actuales de los límites de las tasas de interés y la volatilidad implícita para los precios de Black-76 de cada caplet componente ; véase Límite de la tasa de interés §  Volatilidades implícitas ). Dado este vínculo funcional con la volatilidad, observe ahora la diferencia resultante en la construcción en relación con los árboles implícitos de renta variable: para las tasas de interés, la volatilidad se conoce para cada paso de tiempo, y los valores de los nodos (es decir, las tasas de interés) deben resolverse para probabilidades neutrales al riesgo especificadas; En cambio, para las acciones, no se puede especificar una única volatilidad por paso de tiempo, es decir, tenemos una "sonrisa", y el árbol se construye resolviendo las probabilidades correspondientes a los valores especificados del subyacente en cada nodo.

Una vez calibrada, la red de tipos de interés se utiliza en la valoración de varios instrumentos de renta fija y derivados. ^{[ 27 ]} El enfoque para las opciones sobre bonos se describe aparte; tenga en cuenta que este enfoque aborda el problema de la reducción a la par que se experimenta con los enfoques de forma cerrada; véase el modelo de Black-Scholes §  Valoración de opciones sobre bonos . Para las swaptions la lógica es casi idéntica, sustituyendo los swaps por bonos en el paso 1 y las swaptions por opciones sobre bonos en el paso 2. Para los caps (y floors) se combinan los pasos 1 y 2: en cada nodo el valor se basa en los nodos relevantes del paso posterior, más, para cualquier caplet ( floorlet ) que venza en el paso temporal, la diferencia entre su tipo de referencia y el tipo a corto plazo en el nodo (y que refleja la fracción del recuento de días correspondiente y el valor nocional intercambiado). Para los bonos rescatables y los bonos con opción de venta , se requeriría un tercer paso: en cada nodo del paso temporal, incorporar el efecto de la opción implícita sobre el precio del bono y/o el precio de la opción en ese punto antes de retroceder un paso temporal. (Y cabe señalar que estas opciones no son mutuamente excluyentes, por lo que un bono puede tener varias opciones implícitas; ^{[ 34 ]} los valores híbridos se tratan más adelante). Para otros derivados de tipos de interés más exóticos , se realizan ajustes similares a los pasos 1 y siguientes. Para las «griegas», en gran medida como para las acciones, véase la siguiente sección.

Un enfoque alternativo para modelar opciones sobre bonos (estadounidenses), particularmente aquellas negociadas en función del rendimiento al vencimiento (YTM), emplea métodos de retículo de acciones modificados. ^{[ 35 ]} Aquí, el analista construye un árbol CRR de YTM, aplicando un supuesto de volatilidad constante, y luego calcula el precio del bono como una función de este rendimiento en cada nodo; los precios aquí son, por lo tanto, de tipo pull-to-par. El segundo paso es luego incorporar cualquier estructura temporal de volatilidad construyendo un árbol DKC correspondiente (basado en cada segundo paso temporal en el árbol CRR: ya que DKC es trinomial mientras que CRR es binomial) y luego usar esto para la valoración de opciones.

Desde la crisis financiera de 2008 , la valoración de swaps se realiza (generalmente) bajo un " marco de múltiples curvas ", mientras que anteriormente se basaba en una única curva "autodescuentable"; véase Swap de tipos de interés §  Valoración y valoración . Aquí, los pagos se establecen como una función del tipo de referencia o tipo de previsión ( LIBOR ) específico para el plazo en cuestión, mientras que el descuento se realiza al tipo OIS . Para acomodar esto en el marco de lattice, el tipo OIS y el tipo de referencia relevante se modelan conjuntamente en un árbol tridimensional, construido para devolver los precios de entrada de los swaps OIS y Libor, al tiempo que hereda cualquier correlación entre los dos conjuntos de tipos. ^{[ 36 ]} Una vez completado el paso cero, la valoración procederá en gran medida como antes, utilizando los pasos 1 en adelante, pero aquí, de forma similar a la "pirámide" anterior, con flujos de efectivo basados ​​en el árbol LIBOR y descuento utilizando los nodos correspondientes del árbol OIS.

Un desarrollo relacionado es que los bancos harán un ajuste de valoración crediticia , CVA, así como varios de los otros XVA , al evaluar el valor de los contratos de derivados que han celebrado. El propósito de estos es doble: principalmente para cubrir posibles pérdidas debido a los incumplimientos de pago de las otras partes de los montos adeudados en los contratos de derivados; pero también para determinar (y cubrir) el monto de capital requerido según las reglas de adecuación de capital del banco . Aunque generalmente se calcula bajo un marco de simulación, los métodos basados ​​en árboles también se pueden aplicar aquí. ^{[ 37 ] [ 38 ] [ 39 ]} En el caso de un swap, por ejemplo, ^{[ 37 ]} la exposición futura potencial , PFE, que enfrenta el banco en cada fecha es el promedio ponderado por probabilidad de los pagos de liquidación positivos y valores de swap sobre los nodos de la red en la fecha; la probabilidad de cada nodo es a su vez una función de las probabilidades acumuladas de subida y bajada del árbol. Este PFE se combina con la probabilidad de incumplimiento (exógena al árbol) y la tasa de recuperación de la contraparte para obtener la pérdida esperada para la fecha. Finalmente, el valor presente agregado de estos es el CVA para la contraparte en esa posición.