Árbol trinomial

El árbol trinomial es un modelo computacional basado en retículos utilizado en matemáticas financieras para valorar opciones sobre acciones . Fue desarrollado por Phelim Boyle en 1986. Es una extensión del modelo binomial de valoración de opciones y es conceptualmente similar. También se puede demostrar que este enfoque es equivalente al método explícito de diferencias finitas para la valoración de opciones . ^{[ 1 ]}

Los árboles trinomiales también se utilizan ^{[ 2 ]} para renta fija y derivados de tipos de interés ; véase en Modelo reticular (finanzas) .

Según el método trinomial, el precio subyacente de la acción se modela como un árbol de recombinación, donde, en cada nodo, el precio tiene tres posibles trayectorias: ascendente, descendente y estable o intermedia. ^{[ 3 ]} Estos valores se obtienen multiplicando el valor en el nodo actual por el factor apropiado.${\displaystyle u\,}$,${\displaystyle d\,}$o${\displaystyle m\,}$dónde

${\displaystyle u=e^{\sigma {\sqrt {2\Delta t}}}}$

${\displaystyle d=e^{-\sigma {\sqrt {2\Delta t}}}={\frac {1}{u}}\,}$(la estructura se está recombinando)

${\displaystyle m=1\,}$

y las probabilidades correspondientes son:

${\displaystyle p_{u}=\left({\frac {e^{(rq)\Delta t/2}-e^{-\sigma {\sqrt {\Delta t/2}}}}{e^{\sigma {\sqrt {\Delta t/2}}}-e^{-\sigma {\sqrt {\Delta t/2}}}}}\right)^{2}\,}$

${\displaystyle p_{d}=\left({\frac {e^{\sigma {\sqrt {\Delta t/2}}}-e^{(rq)\Delta t/2}}{e^{\sigma {\sqrt {\Delta t/2}}}-e^{-\sigma {\sqrt {\Delta t/2}}}}}\right)^{2}\,}$

${\displaystyle p_{m}=1-(p_{u}+p_{d})\,}$.

En las fórmulas anteriores:${\displaystyle \Delta t\,}$es la duración de cada paso en el árbol y es simplemente el tiempo hasta la madurez dividido por el número de pasos de tiempo;${\displaystyle r\,}$es el tipo de interés libre de riesgo durante este plazo;${\displaystyle \sigma \,}$es la volatilidad correspondiente del subyacente ;${\displaystyle q\,}$es su rendimiento de dividendos correspondiente . ^{[ 4 ]}

Al igual que con el modelo binomial, estos factores y probabilidades se especifican para asegurar que el precio del subyacente evolucione como una martingala , mientras que los momentos ,  considerando el espaciado de los nodos y las probabilidades , se ajustan a los de la distribución log-normal ^{[ 5 ]} (y con mayor precisión para pasos de tiempo más pequeños). Nótese que para ${\displaystyle p_{u}}$,${\displaystyle p_{d}}$, y${\displaystyle p_{m}}$estar en el intervalo${\displaystyle (0,1)}$la siguiente condición en${\displaystyle \Delta t}$tiene que ser satisfecho${\displaystyle \Delta t<2{\frac {\sigma ^{2}}{(rq)^{2}}}}$.

Una vez calculado el árbol de precios, el precio de la opción se encuentra en cada nodo de forma similar al modelo binomial , trabajando hacia atrás desde los nodos finales hasta el nodo actual (${\displaystyle t_{0}}$). La diferencia radica en que el valor de la opción en cada nodo no final se determina en función de los tres nodos posteriores ( en lugar de los dos ) y sus probabilidades correspondientes. ^{[ 6 ]}  

Si la duración de los pasos de tiempo${\displaystyle \Delta t}$Si se considera una variable aleatoria con distribución exponencial y se interpreta como el tiempo de espera entre dos movimientos del precio de las acciones, el proceso estocástico resultante es un proceso de nacimiento y muerte . El modelo resultante es soluble y existen fórmulas analíticas de valoración y cobertura para diversas opciones.

Se considera que el modelo trinomial ^{[ 7 ]} produce resultados más precisos que el modelo binomial cuando se modelan menos pasos de tiempo, por lo que se utiliza cuando la velocidad de cálculo o los recursos son un problema. Para las opciones estándar , a medida que aumenta el número de pasos, los resultados convergen rápidamente, y entonces se prefiere el modelo binomial debido a su implementación más sencilla. Para las opciones más complejas, el modelo trinomial (o adaptaciones ^{[ 8 ]} ) a veces es más estable y preciso, independientemente del tamaño del paso.

• Modelo de valoración de opciones binomiales
• Valoración de opciones
• Opción: Implementación del modelo
• Modelo de Korn-Kreer-Lenssen
• Árbol trinomial implícito
• Modelo reticular (finanzas) §  Derivados de tipos de interés

• Phelim Boyle , 1986. "Valoración de opciones mediante un proceso de tres saltos", International Options Journal 3, 7–12.
• Rubinstein, M. (2000). "Sobre la relación entre los modelos binomiales y trinomiales de valoración de opciones" . Journal of Derivatives . 8 (2): 47– 50. CiteSeerX 10.1.1.43.5394 . doi : 10.3905/jod.2000.319149 . Archivado del original el 22 de junio de 2007. 
• Paul Clifford et al. 2010. Opciones de precios mediante árboles trinomiales , Universidad de Warwick.
• Tero Haahtela, 2010. "Recombinación de árboles trinomiales para la valoración de opciones reales con volatilidad cambiante" , Universidad de Aalto , Serie de documentos de trabajo.
• Ralf Korn, Markus Kreer y Mark Lenssen, 1998. "Valoración de opciones europeas cuando el precio de la acción subyacente sigue un proceso lineal de nacimiento y muerte", Stochastic Models Vol. 14(3), pp 647 – 662
• Peter Hoadley. Calculadora de opciones de árboles trinomiales (árbol visualizado).