Modelo de mercado LIBOR

El modelo de mercado LIBOR , también conocido como modelo BGM ( modelo Brace Gatarek Musiela , en referencia a los nombres de algunos de sus inventores), es un modelo financiero de tipos de interés . ^{[ 1 ]} Se utiliza para valorar derivados de tipos de interés , especialmente derivados exóticos como swaptions bermudeñas, caps y floors de ratchet, notas de redención objetivo, autocaps, swaptions de cupón cero, swaps de vencimiento constante y opciones de spread, entre muchos otros. Las cantidades que se modelan, en lugar del tipo a corto plazo o los tipos forward instantáneos (como en el marco Heath-Jarrow-Morton ), son un conjunto de tipos forward (también llamados LIBOR forward ), que tienen la ventaja de ser directamente observables en el mercado y cuyas volatilidades están naturalmente vinculadas a los contratos negociados. Cada tipo forward se modela mediante un proceso lognormal bajo su medida forward , es decir, un modelo Black que conduce a una fórmula Black para los caps de tipos de interés . Esta fórmula es el estándar del mercado para cotizar precios máximos en términos de volatilidades implícitas, de ahí el término "modelo de mercado". El modelo de mercado LIBOR puede interpretarse como una colección de dinámicas LIBOR a plazo para diferentes tasas a plazo con plazos y vencimientos que abarcan, siendo cada tasa a plazo consistente con una fórmula de caplet de tasa de interés de Black para su vencimiento canónico. Se puede escribir la dinámica de las diferentes tasas bajo una medida de precios común , por ejemplo, la medida a plazo para un vencimiento único preferido, y en este caso las tasas a plazo no serán lognormales bajo la medida única en general, lo que lleva a la necesidad de métodos numéricos como la simulación de Monte Carlo o aproximaciones como el supuesto de deriva congelada.

El modelo de mercado LIBOR establece un conjunto de${\displaystyle n}$tipos a plazo${\displaystyle L_{j}}$,${\displaystyle j=1,\ldots ,n}$como procesos lognormales . Bajo las respectivas${\displaystyle T_{j}}$-Medida prospectiva${\displaystyle Q_{T_{j+1}}}$^{[ 2 ]}$${\displaystyle dL_{j}(t)=\mu _{j}(t)L_{j}(t)dt+\sigma _{j}(t)L_{j}(t)dW^{Q_{T_{j+1}}}(t).}$$ Aquí podemos considerar que${\displaystyle \mu _{j}(t)=0,\forall t}$(proceso centrado). Aquí,${\displaystyle L_{j}}$es el tipo de cambio a plazo para el período${\displaystyle [T_{j},T_{j+1}]}$Para cada tipo de cambio a plazo, el modelo corresponde al modelo de Black.

La novedad radica en que, a diferencia del modelo Black , el modelo de mercado LIBOR describe la dinámica de toda una familia de tipos de interés a plazo bajo una medida común. La cuestión ahora es cómo cambiar entre los diferentes${\displaystyle T}$-Medidas hacia adelante. Mediante el teorema de Girsanov multivariado se puede demostrar ^{[ 3 ] [ 4 ]} que $${\displaystyle dW^{Q_{T_{j}}}(t)={\begin{cases}dW^{Q_{T_{p}}}(t)-\sum \limits _{k=j+1}^{p}{\frac {\delta L_{k}(t)}{1+\delta L_{k}(t)}}{\sigma }_{k}(t){\rho }_{jk}dt&j<p\\dW^{Q_{T_{p}}}(t)&j=p\\dW^{Q_{T_{p}}}(t)+\sum \limits _{k=p+1}^{j}{\frac {\delta L_{k}(t)}{1+\delta L_{k}(t)}}{\sigma }_{k}(t){\rho }_{jk}dt&j>p\end{cases}}}$$ y $${\displaystyle dL_{j}(t)={\begin{cases}L_{j}(t){\sigma }_{j}(t)dW^{Q_{T_{p}}}(t)-L_{j}(t)\sum \limits _{k=j+1}^{p}{\frac {\delta L_{k}(t)}{1+\delta L_{k}(t)}}{\sigma }_{j}(t){\sigma }_{k}(t){\rho }_{jk}dt&j<p\\L_{j}(t){\sigma }_{j}(t)dW^{Q_{T_{p}}}(t)&j=p\\L_{j}(t){\sigma }_{j}(t)dW^{Q_{T_{p}}}(t)+L_{j}(t)\sum \limits _{k=p+1}^{j}{\frac {\delta L_{k}(t)}{1+\delta L_{k}(t)}}{\sigma }_{j}(t){\sigma }_{k}(t){\rho }_{jk}dt&j>p\\\end{cases}}}$$

• Brace, A., Gatorek, D. y Musiela, M. (1997): “El modelo de mercado de la dinámica de las tasas de interés”, Mathematical Finance, 7(2), 127-154.
• Miltersen, K., Sandmann, K. y Sondermann, D., (1997): “Soluciones de forma cerrada para derivados de estructura temporal con tasas de interés log-normales”, Journal of Finance, 52(1), 409-430.
• Wernz, J. (2020): “Gestión y control bancario”, Springer Nature, 85-88

• Applets de Java para la fijación de precios bajo un modelo de mercado LIBOR y métodos de Montecarlo.
• Código fuente Java y hoja de cálculo de un modelo de mercado LIBOR, incluyendo calibración a swaption y valoración de productos.
• Apuntes de clase de Damiano Brigo sobre el modelo de mercado LIBOR para el curso de renta fija de la Universidad Bocconi.