Medida prospectiva

En finanzas , una medida T -forward es una medida de precios equivalente a una medida neutral al riesgo , pero en lugar de usar el mercado monetario como numerario , usa un bono con vencimiento T. El uso de la medida forward fue introducido por Farshid Jamshidian (1987) y posteriormente se utilizó como medio para calcular el precio de las opciones sobre bonos . ^{[ 1 ]}

Sea ^{[ 2 ]}

${\displaystyle B(T)=\exp \left(\int _{0}^{T}r(u)\,du\right)}$

ya sea la cuenta bancaria o la cuenta del mercado monetario numerario y

${\displaystyle D(T)=1/B(T)=\exp \left(-\int _{0}^{T}r(u)\,du\right)}$

Sea el factor de descuento en el mercado en el momento 0 para el vencimiento T. Si${\displaystyle Q_{*}}$es la medida neutral al riesgo, luego la medida a plazo${\displaystyle Q_{T}}$se define mediante la derivada de Radon-Nikodym dada por

${\displaystyle {\frac {dQ_{T}}{dQ_{*}}}={\frac {1}{B(T)E_{Q_{*}}[1/B(T)]}}={\frac {D(T)}{E_{Q_{*}}[D(T)]}}.}$

Nótese que esto implica que la medida a plazo y la medida neutral al riesgo coinciden cuando los tipos de interés son deterministas. Además, esta es una forma particular de la fórmula de cambio de numerario al cambiar el numerario de la cuenta bancaria o del mercado monetario B ( t ) a un bono con vencimiento T P ( t , T ). De hecho, si en general

${\displaystyle P(t,T)=E_{Q_{*}}\left[{\frac {B(t)}{B(T)}}|{\mathcal {F}}(t)\right]=E_{Q_{*}}\left[{\frac {D(T)}{D(t)}}|{\mathcal {F}}(t)\right]}$

es el precio de un bono cupón cero en el momento t para vencimiento T , donde${\displaystyle {\mathcal {F}}(t)}$Si la filtración denota información de mercado en el tiempo t , entonces podemos escribir:

${\displaystyle {\frac {dQ_{T}}{dQ_{*}}}={\frac {B(0)P(T,T)}{B(T)P(0,T)}}}$

De lo cual se desprende claramente que la medida T a plazo está asociada al bono cupón cero con vencimiento T como numerario . Para un análisis más detallado, véase Brigo y Mercurio (2001).

El nombre «medida a plazo» proviene del hecho de que, bajo esta medida, los precios a plazo son martingalas , un hecho observado por primera vez por Geman (1989) (quien definió formalmente la medida). ^{[ 3 ]} Compárese con los precios de futuros, que son martingalas bajo la medida neutral al riesgo. Nótese que cuando los tipos de interés son deterministas, esto implica que los precios a plazo y los precios de futuros son iguales.

Por ejemplo, el precio de las acciones con descuento es una martingala bajo la medida neutral al riesgo:

${\displaystyle S(t)D(t)=E_{Q_{*}}[D(T)S(T)|{\mathcal {F}}(t)].\,}$

El precio a plazo viene dado por${\displaystyle F_{S}(t,T)={\frac {S(t)}{P(t,T)}}}$. Por lo tanto, tenemos${\displaystyle F_{S}(T,T)=S(T)}$

${\displaystyle F_{S}(t,T)={\frac {E_{Q_{*}}[D(T)S(T)|{\mathcal {F}}(t)]}{D(t)P(t,T)}}=E_{Q_{T}}[F_{S}(T,T)|{\mathcal {F}}(t)]{\frac {E_{Q_{*}}[D(T)|{\mathcal {F}}(t)]}{D(t)P(t,T)}}}$

mediante el uso del derivado de Radon-Nikodym${\displaystyle {\frac {dQ_{T}}{dQ_{*}}}}$y la igualdad${\displaystyle F_{S}(T,T)=S(T)}$. El último término es igual a la unidad por definición del precio del bono, por lo que obtenemos

${\displaystyle F_{S}(t,T)=E_{Q_{T}}[F_{S}(T,T)|{\mathcal {F}}(t)].\,}$

• Damiano Brigo , Fabio Mercurio (2001). Modelos de tipos de interés : teoría y práctica con Smile, inflación y crédito (2.ª ed., 2006  ). Springer Verlag. ISBN 978-3-540-22149-4.

• Medida neutral al riesgo
• Precio a plazo