Espacio cociente (topología)

En topología y áreas afines de las matemáticas , el espacio cociente de un espacio topológico bajo una relación de equivalencia dada es un nuevo espacio topológico construido al dotar al conjunto cociente del espacio topológico original de la topología cociente , es decir, de la topología más fina que hace continua la proyección canónica (la función que asigna a los puntos sus clases de equivalencia ). En otras palabras, un subconjunto de un espacio cociente es abierto si y solo si su preimagen bajo la proyección canónica es abierta en el espacio topológico original.

Intuitivamente hablando, los puntos de cada clase de equivalencia se identifican o se "unen" para formar un nuevo espacio topológico. Por ejemplo, al identificar los puntos de una esfera que pertenecen al mismo diámetro , se obtiene el plano proyectivo como espacio cociente.

Sea un espacio topológico y sea una relación de equivalencia en El conjunto cociente es el conjunto de clases de equivalencia de elementos de La clase de equivalencia de se denota${\displaystyle X}$${\displaystyle \sim }$${\displaystyle X.}$${\displaystyle Y=X/{\sim }}$${\displaystyle X.}$${\displaystyle x\in X}$${\displaystyle [x].}$

La construcción de define una sobreyección canónica Como se analiza a continuación, es una aplicación cociente, comúnmente llamada mapa cociente canónico o mapa de proyección canónica, asociada a${\displaystyle Y}$${\displaystyle q:X\to Y,x\mapsto [x].}$${\displaystyle q}$${\displaystyle X/{\sim }.}$

El espacio cociente bajo es el conjunto equipado con la topología cociente , cuyos conjuntos abiertos son aquellos subconjuntos cuya preimagen es abierta . En otras palabras, es abierto en la topología cociente en si y solo si es abierto en . De manera similar, un subconjunto es cerrado si y solo si es cerrado en .${\displaystyle \sim }$${\displaystyle Y}$${\textstyle U\subsetequ Y}$${\displaystyle q^{-1}(U)}$${\displaystyle U}$${\displaystyle X/{\sim }}$${\textstyle \{x\in X:[x]\in U\}}$${\displaystyle X.}$${\displaystyle S\subseteq Y}$${\displaystyle \{x\in X:[x]\in S\}}$${\displaystyle X.}$

La topología cociente es la topología final en el conjunto cociente, con respecto al mapa${\displaystyle x\mapsto [x].}$

Un mapa es un mapa cociente (a veces llamado mapa de identificación ^{[ 1 ]} ) si es sobreyectivo y está equipado con la topología final inducida por Esta última condición admite dos formulaciones más elementales: un subconjunto es abierto (cerrado) si y solo si es abierto (respectivamente, cerrado). Todo mapa cociente es continuo, pero no todo mapa continuo es un mapa cociente.${\displaystyle f:X\to Y}$${\displaystyle Y}$${\displaystyle f.}$${\displaystyle V\subsetequ Y}$${\displaystyle f^{-1}(V)}$

Conjuntos saturados

Un subconjunto de se llama saturado (con respecto a ) si es de la forma para algún conjunto que es verdadero si y solo si La asignación establece una correspondencia uno a uno (cuyo inverso es ) entre subconjuntos de y subconjuntos saturados de Con esta terminología, una sobreyección es una aplicación cociente si y solo si para cada subconjunto saturado de es abierto en si y solo si es abierto en En particular, los subconjuntos abiertos de que no son saturados no tienen impacto en si la función es una aplicación cociente (o, de hecho, continua: una función es continua si y solo si, para cada saturado tal que es abierto en , el conjunto es abierto en ).${\displaystyle S}$${\displaystyle X}$${\displaystyle f}$${\displaystyle S=f^{-1}(T)}$${\displaystyle T,}$${\displaystyle f^{-1}(f(S))=S.}$${\displaystyle T\mapsto f^{-1}(T)}$${\displaystyle S\mapsto f(S)}$${\displaystyle T}$${\displaystyle Y=f(X)}$${\displaystyle X.}$${\displaystyle f:X\to Y}$${\displaystyle S}$${\displaystyle X,}$${\displaystyle S}$${\displaystyle X}$${\displaystyle f(S)}$${\displaystyle Y.}$${\displaystyle X}$${\displaystyle f}$${\displaystyle f:X\to Y}$${\textstyle S\subsetequ X}$${\displaystyle f(S)}$${\textstyle f(X)}$${\displaystyle S}$${\textstyle X}$

En efecto, si es una topología en y es cualquier aplicación, entonces el conjunto de todos los que son subconjuntos saturados de forma una topología en Si también es un espacio topológico, entonces es una aplicación cociente (respectivamente, continua ) si y solo si lo mismo es cierto para${\displaystyle \tau }$${\displaystyle X}$${\displaystyle f:X\to Y}$${\displaystyle \tau _{f}}$${\displaystyle U\in \tau }$${\displaystyle X}$${\displaystyle X.}$${\displaystyle Y}$${\displaystyle f:(X,\tau )\to Y}$${\displaystyle f:\left(X,\tau _{f}\right)\to Y.}$

Espacio cociente de caracterización de fibras

Dada una relación de equivalencia en , denotemos la clase de equivalencia de un punto por y sea el conjunto de clases de equivalencia. La aplicación que envía puntos a sus clases de equivalencia (es decir, está definida por para cada ) se llama aplicación canónica . Es una aplicación sobreyectiva y para todo si y solo si , en consecuencia, para todo . En particular, esto muestra que el conjunto de clases de equivalencia es exactamente el conjunto de fibras de la aplicación canónica . Si es un espacio topológico, entonces al darle la topología cociente inducida por lo convertirá en un espacio cociente y en una aplicación cociente. Salvo un homeomorfismo , esta construcción es representativa de todos los espacios cociente; el significado preciso de esto se explica ahora.${\displaystyle \,\sim \,}$${\displaystyle X,}$${\displaystyle x\in X}$${\displaystyle [x]:=\{z\in X:z\sim x\}}$${\displaystyle X/{\sim }:=\{[x]:x\in X\}}$${\displaystyle q:X\to X/{\sim }}$${\displaystyle q(x):=[x]}$${\displaystyle x\in X}$${\displaystyle a,b\in X,}$${\displaystyle a\,\sim \,b}$${\displaystyle q(a)=q(b);}$${\displaystyle q(x)=q^{-1}(q(x))}$${\displaystyle x\in X.}$${\displaystyle X/{\sim }}$${\displaystyle q.}$${\displaystyle X}$${\displaystyle X/{\sim }}$${\displaystyle q}$${\displaystyle q:X\to X/{\sim }}$

Sea una sobreyección entre espacios topológicos (aún no se asume que sea continua o una aplicación cociente) y declaremos para todo que si y solo si Entonces es una relación de equivalencia en tal que para cada lo que implica que (definido por ) es un conjunto unitario ; denotemos el único elemento en por (por lo que por definición, ). La asignación define una biyección entre las fibras de y puntos en Definamos la aplicación como arriba (por ) y demos la topología cociente inducida por (que hace una aplicación cociente). Estas aplicaciones están relacionadas por: De esto y del hecho de que es una aplicación cociente, se deduce que es continua si y solo si esto es cierto para Además, es una aplicación cociente si y solo si es un homeomorfismo (o equivalentemente, si y solo si tanto como su inversa son continuas).${\displaystyle f:X\to Y}$${\displaystyle a,b\in X}$${\displaystyle a\,\sim \,b}$${\displaystyle f(a)=f(b).}$${\displaystyle \,\sim \,}$${\displaystyle X}$${\displaystyle x\in X,}$${\displaystyle [x]=f^{-1}(f(x)),}$${\displaystyle f([x])}$${\displaystyle f([x])=\{\,f(z)\,:z\in [x]\}}$${\displaystyle f([x])}$${\displaystyle {\hat {f}}([x])}$${\displaystyle f([x])=\{\,{\hat {f}}([x])\,\}}$${\displaystyle [x]\mapsto {\hat {f}}([x])}$${\displaystyle {\hat {f}}:X/{\sim }\;\to \;Y}$${\displaystyle f}$${\displaystyle Y.}$${\displaystyle q:X\to X/{\sim }}$${\displaystyle q(x):=[x]}$${\displaystyle X/{\sim }}$${\displaystyle q}$${\displaystyle q}$$${\displaystyle f={\hat {f}}\circ q\quad {\text{ y }}\quad q={\hat {f}}^{-1}\circ f.}$$${\displaystyle q:X\to X/{\sim }}$${\displaystyle f:X\to Y}$${\displaystyle {\hat {f}}:X/{\sim }\;\to \;Y.}$${\displaystyle f:X\to Y}$${\displaystyle {\hat {f}}:X/{\sim }\;\to \;Y}$${\displaystyle {\hat {f}}}$

• Pegado . Los topólogos hablan de pegar puntos. Si es un espacio topológico, pegar los puntos y en significa considerar el espacio cociente obtenido de la relación de equivalencia si y solo si o (o ).${\displaystyle X}$${\displaystyle x}$${\displaystyle y}$${\displaystyle X}$${\displaystyle a\sim b}$${\displaystyle a=b}$${\displaystyle a=x,b=y}$${\displaystyle a=y,b=x}$
• Consideremos el cuadrado unitario y la relación de equivalencia generada por el requisito de que todos los puntos de la frontera sean equivalentes, identificando así todos los puntos de la frontera con una única clase de equivalencia. Entonces es homeomorfo a la esfera.${\displaystyle I^{2}=[0,1]\times [0,1]}$${\displaystyle \sim }$${\displaystyle I^{2}/\sim }$${\displaystyle S^{2}.}$

• Espacio de adjunción . De forma más general, supongamosque es un espacio yes un subespacio deSe pueden identificar todos los puntos enen una única clase de equivalencia y dejar los puntos fuera deequivalentes solo consigo mismos. El espacio cociente resultante se denotaLa 2-esfera es entonces homeomorfa a un disco cerrado con su frontera identificada a un único punto:${\displaystyle X}$${\displaystyle A}$${\displaystyle X.}$${\displaystyle A}$${\displaystyle A}$${\displaystyle X/A.}$${\displaystyle D^{2}/\partial {D^{2}}.}$
• Consideremos el conjunto de los números reales con la topología ordinaria, y escribamos si y solo si es un entero . Entonces el espacio cociente es homeomorfo al círculo unitario mediante el homeomorfismo que envía la clase de equivalencia de a${\displaystyle \mathbb {R} }$${\displaystyle x\sim y}$${\displaystyle xy}$${\displaystyle X/{\sim }}$${\displaystyle S^{1}}$${\displaystyle x}$${\displaystyle \exp(2\pi ix).}$
• Una generalización del ejemplo anterior es la siguiente: Supongamos que un grupo topológico actúa continuamente sobre un espacio Se puede formar una relación de equivalencia en diciendo que los puntos son equivalentes si y solo si se encuentran en la misma órbita . El espacio cociente bajo esta relación se llama espacio de órbitas , denotado En el ejemplo anterior actúa sobre mediante traslación. El espacio de órbitas es homeomorfo a${\displaystyle G}$${\displaystyle X.}$${\displaystyle X}$${\displaystyle X/G.}$${\displaystyle G=\mathbb {Z} }$${\displaystyle \mathbb {R} }$${\displaystyle \mathbb {R} /\mathbb {Z} }$${\displaystyle S^{1}.}$
  • Nota : La notación es algo ambigua. Si se entiende que es un grupo que actúa sobre mediante la suma, entonces el cociente es el círculo. Sin embargo, si se piensa como un subespacio topológico de (que se identifica como un solo punto), entonces el cociente (que se identifica con el conjunto ) es un ramo infinito numerable de círculos unidos en un solo punto.${\displaystyle \mathbb {R} /\mathbb {Z} }$${\displaystyle \mathbb {Z} }$${\displaystyle \mathbb {R} }$${\displaystyle \mathbb {Z} }$${\displaystyle \mathbb {R} }$${\displaystyle \{\mathbb {Z} \}\cup \{\,\{r\}:r\in \mathbb {R} \setminus \mathbb {Z} \}}$${\displaystyle \{\mathbb {Z} \}\cup (\mathbb {R} \setminus \mathbb {Z} )}$${\displaystyle \mathbb {Z} .}$
• Este siguiente ejemplo muestra que, en general, no es cierto que si es una aplicación cociente, entonces toda secuencia convergente (respectivamente, toda red convergente ) en tiene una elevación (por ) a una secuencia convergente (o red convergente ) en Sea y Sea y sea la aplicación cociente de modo que y para cada La aplicación definida por está bien definida (porque ) y es un homeomorfismo . Sea y sean cualesquiera secuencias (o, más generalmente, cualesquiera redes) con valores en tales que en Entonces la secuencia converge a en pero no existe ninguna elevación convergente de esta secuencia por la aplicación cociente (es decir, no hay ninguna secuencia en que converja a algún y satisfaga para cada ). Este contraejemplo puede generalizarse a redes haciendo que sea cualquier conjunto dirigido , y convirtiendo en una red declarando que para cualquier se cumple si y solo si (1) y (2) si entonces la red indexada por definida haciendo igual e igual a no tiene elevación (por ) a una red convergente indexada en${\displaystyle q:X\to Y}$${\displaystyle Y}$${\displaystyle q}$${\displaystyle X.}$${\displaystyle X=[0,1]}$${\displaystyle \,\sim ~=~\{\,\{0,1\}\,\}~\cup ~\left\{\{x\}:x\in (0,1)\,\right\}.}$${\displaystyle Y:=X/{\sim }}$${\displaystyle q:X\to X/{\sim }}$${\displaystyle q(x):=[x],}$${\displaystyle q(0)=q(1)=\{0,1\}}$${\displaystyle q(x)=\{x\}}$${\displaystyle x\in (0,1).}$${\displaystyle h:X/{\sim }\to S^{1}\subseteq \mathbb {C} }$${\displaystyle h([x]):=e^{2\pi ix}}$${\displaystyle e^{2\pi i(0)}=1=e^{2\pi i(1)}}$${\displaystyle I=\mathbb {N} }$${\displaystyle a_{\bullet }:=\left(a_{i}\right)_{i\in I}{\text{ and }}b_{\bullet }:=\left(b_{i}\right)_{i\in I}}$${\displaystyle (0,1)}$${\displaystyle a_{\bullet }\to 0{\text{ and }}b_{\bullet }\to 1}$${\displaystyle X=[0,1].}$$${\displaystyle y_{1}:=q\left(a_{1}\right),y_{2}:=q\left(b_{1}\right),y_{3}:=q\left(a_{2}\right),y_{4}:=q\left(b_{2}\right),\ldots }$$${\displaystyle [0]=[1]}$${\displaystyle X/{\sim }}$${\displaystyle q}$${\displaystyle s_{\bullet }=\left(s_{i}\right)_{i\in I}}$${\displaystyle X}$${\displaystyle x\in X}$${\displaystyle y_{i}=q\left(s_{i}\right)}$${\displaystyle i\in I}$${\displaystyle (A,\leq )}$${\displaystyle I:=A\times \{1,2\}}$${\displaystyle (a,m),(b,n)\in I,}$${\displaystyle (m,a)\;\leq \;(n,b)}$${\displaystyle a\leq b,}$${\displaystyle a=b{\text{ then }}m\leq n;}$${\displaystyle A}$${\displaystyle y_{(a,m)}}$${\displaystyle a_{i}{\text{ if }}m=1}$${\displaystyle b_{i}{\text{ if }}m=2}$${\displaystyle q}$${\displaystyle A}$${\displaystyle X=[0,1].}$

Los mapas cociente se caracterizan entre los mapas sobreyectivos por la siguiente propiedad: si es cualquier espacio topológico y es cualquier función, entonces es continua si y solo si es continua.${\displaystyle q:X\to Y}$${\displaystyle Z}$${\displaystyle f:Y\to Z}$${\displaystyle f}$${\displaystyle f\circ q}$

El espacio cociente junto con la aplicación cociente se caracteriza por la siguiente propiedad universal : si es una aplicación continua tal que implica para todo entonces existe una única aplicación continua tal que En otras palabras, el siguiente diagrama conmuta:${\displaystyle X/{\sim }}$${\displaystyle q:X\to X/{\sim }}$${\displaystyle g:X\to Z}$${\displaystyle a\sim b}$${\displaystyle g(a)=g(b)}$${\displaystyle a,b\in X,}$${\displaystyle f:X/{\sim }\to Z}$${\displaystyle g=f\circ q.}$

Se dice que desciende al cociente para expresar esto, es decir, que se factoriza a través del espacio cociente. Por lo tanto, las aplicaciones continuas definidas en son precisamente aquellas que surgen de aplicaciones continuas definidas en que respetan la relación de equivalencia (en el sentido de que envían elementos equivalentes a la misma imagen). Este criterio se utiliza profusamente al estudiar espacios cociente.${\displaystyle g}$${\displaystyle X/{\sim }}$${\displaystyle X}$

Dada una sobreyección continua, es útil contar con criterios para determinar si es una aplicación cociente. Dos criterios suficientes son que sea abierta o cerrada . Cabe señalar que estas condiciones son solo suficientes , no necesarias . Es fácil construir ejemplos de aplicaciones cociente que no son ni abiertas ni cerradas. Para los grupos topológicos, la aplicación cociente es abierta.${\displaystyle q:X\to Y}$${\displaystyle q}$${\displaystyle q}$

Separación

En general, los espacios cociente se comportan mal con respecto a los axiomas de separación. Las propiedades de separación de no tienen por qué ser heredadas por y pueden tener propiedades de separación no compartidas por${\displaystyle X}$${\displaystyle X/{\sim }}$${\displaystyle X/{\sim }}$${\displaystyle X.}$

${\displaystyle X/{\sim }}$es un espacio T ₁ si y solo si toda clase de equivalencia de es cerrada en Como ejemplo, consideremos el espacio y su subconjunto que no es cerrado. El espacio cociente obtenido al identificar todos los puntos de a un solo punto es homeomorfo al espacio de Sierpiński , que no es T ₁ .${\displaystyle \sim }$${\displaystyle X.}$${\displaystyle X=[0,1]}$${\displaystyle A=[0,1),}$${\displaystyle X/A}$${\displaystyle A}$

Para que sea un espacio de Hausdorff , se requiere una condición más fuerte: debe ser una relación de equivalencia cerrada, en el sentido de que el conjunto debe ser cerrado en . Sin embargo, esta condición no es suficiente. Por ejemplo, si es un conjunto cerrado en un espacio de Hausdorff, la relación de equivalencia que identifica todos los puntos de a un solo punto es el conjunto ( siendo la diagonal en ) y es cerrado en . Pero el espacio cociente no será abierto si es de Hausdorff pero no regular y es un conjunto cerrado que no puede ser separado por conjuntos abiertos de un punto.${\displaystyle X/{\sim }}$${\displaystyle \sim }$${\displaystyle R=\{(x,y)\in X\times X:x\sim y\}}$${\displaystyle X\times X.}$${\displaystyle X}$${\displaystyle X,}$${\displaystyle A}$${\displaystyle R=(A\times A)\cup \Delta }$${\displaystyle \Delta }$${\displaystyle X\times X}$${\displaystyle R}$${\displaystyle X\times X.}$${\displaystyle X/R}$${\displaystyle X}$${\displaystyle A}$${\displaystyle x\notin A.}$

• Si el mapa cociente es abierto , entonces es un espacio de Hausdorff si y solo si ~ es un subconjunto cerrado del espacio producto.${\displaystyle X/{\sim }}$${\displaystyle X\times X.}$

Conexión

• Si un espacio está conectado o es un camino conectado , entonces también lo están todos sus espacios cociente.
• Un espacio cociente de un espacio simplemente conexo o contraíble no tiene por qué compartir esas propiedades.

Compacidad

• Si un espacio es compacto, entonces también lo son todos sus espacios cociente.
• Un espacio cociente de un espacio localmente compacto no tiene por qué ser localmente compacto.

Dimensión

• La dimensión topológica de un espacio cociente puede ser mayor (así como menor) que la dimensión del espacio original; las curvas que llenan el espacio proporcionan ejemplos de ello.

Topología

• Espacio de cobertura : tipo de mapa continuo en topología 
• Unión disjunta (topología) – Término matemático 
• Topología final : la mejor topología que hace que algunas funciones sean continuas. 
• Cono de mapeo (topología) – Construcción topológica en un mapa entre espacios 
• Espacio de productos – Topología en productos cartesianos de espacios topológicos Pages displaying short descriptions of redirect targets
• Subespacio (topología) – Topología heredada Pages displaying short descriptions of redirect targets
• Espacio topológico : espacio matemático con una noción de cercanía. 

Álgebra

• Categoría de cociente : tipo de objeto cociente en matemáticas. 
• Grupo cociente : grupo obtenido al agregar elementos similares de un grupo más grande. 
• Espacio cociente (álgebra lineal) – Espacio vectorial formado por subconjuntos afines 
• Cono de mapeo (álgebra homológica) – Herramienta en álgebra homológica 

• Bourbaki, Nicolás (1989) [1966]. Topología general: capítulos 1 a 4 [ Topologie Générale ] . Elementos matemáticos . Berlín Nueva York: Springer Science & Business Media. ISBN 978-3-540-64241-1OCLC 18588129 .​ 
• Bourbaki, Nicolás (1989) [1967]. Topología general 2: Capítulos 5 a 10 [ Topologie Générale ] . Elementos matemáticos . vol.  4. Berlín Nueva York: Springer Science & Business Media. ISBN 978-3-540-64563-4OCLC 246032063​​ 
• Brown, Ronald (2006), Topología y grupoides , Booksurge, ISBN 1-4196-2722-8
• Dixmier, Jacques (1984). Topología general . Textos de matemáticas para estudiantes de pregrado. Traducido por Berberian, SK. Nueva York: Springer-Verlag . ISBN 978-0-387-90972-1OCLC 10277303​​ 
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