Equivalence class

In mathematics, when the elements of some set${\displaystyle S}$ have a notion of equivalence (formalized as an equivalence relation), then one may naturally split the set ${\displaystyle S}$ into equivalence classes. These equivalence classes are constructed so that elements ${\displaystyle a}$ and ${\displaystyle b}$ belong to the same equivalence classif, and only if, they are equivalent.

Formally, given a set ${\displaystyle S}$ and an equivalence relation ${\displaystyle \sim }$ on ${\displaystyle S,}$ the equivalence class of an element ${\displaystyle a}$ in ${\displaystyle S}$ is denoted ${\displaystyle [a]}$ or, equivalently, ${\displaystyle [a]_{\sim }}$ to emphasize its equivalence relation ${\displaystyle \sim }$, and is defined as the set of all elements in ${\displaystyle S}$ with which ${\displaystyle a}$ is ${\displaystyle \sim }$-related. The definition of equivalence relations implies that the equivalence classes form a partition of ${\displaystyle S,}$ meaning, that every element of the set belongs to exactly one equivalence class. The set of the equivalence classes is sometimes called the quotient set or the quotient space of ${\displaystyle S}$ by ${\displaystyle \sim ,}$ and is denoted by ${\displaystyle S/{\sim }.}$

When the set ${\displaystyle S}$ has some structure (such as a group operation or a topology) and the equivalence relation ${\displaystyle \sim }$ is compatible with this structure, the quotient set often inherits a similar structure from its parent set. Examples include quotient spaces in linear algebra, quotient spaces in topology, quotient groups, homogeneous spaces, quotient rings, quotient monoids, and quotient categories.

An equivalence relation on a set ${\displaystyle X}$ is a binary relation${\displaystyle \sim }$ on ${\displaystyle X}$ satisfying the three properties:^[1]

• ${\displaystyle a\sim a}$ for all ${\displaystyle a\in X}$ (reflexivity),
• ${\displaystyle a\sim b}$ implies ${\displaystyle b\sim a}$ for all ${\displaystyle a,b\in X}$ (symmetry),
• if ${\displaystyle a\sim b}$ and ${\displaystyle b\sim c}$ then ${\displaystyle a\sim c}$ for all ${\displaystyle a,b,c\in X}$ (transitivity).

The equivalence class of an element ${\displaystyle a}$ is defined as^[2]

${\displaystyle [a]=\{x\in X:a\sim x\}.}$

En el término "clase de equivalencia", la palabra "clase" puede considerarse generalmente sinónimo de " conjunto ", aunque algunas clases de equivalencia no son conjuntos, sino clases propias . Por ejemplo, "ser isomorfo " es una relación de equivalencia entre grupos , y las clases de equivalencia, llamadas clases de isomorfismo , no son conjuntos.

El conjunto de todas las clases de equivalencia en${\displaystyle X}$con respecto a una relación de equivalencia${\displaystyle R}$se denota como${\displaystyle X/R,}$y se llama${\displaystyle X}$módulo${\displaystyle R}$(o elconjunto de cocientes${\displaystyle X}$por${\displaystyle R}$). ^{[ 3 ]} El mapa sobreyectivo${\displaystyle x\mapsto [x]}$de${\displaystyle X}$sobre${\displaystyle X/R,}$que asigna cada elemento a su clase de equivalencia, se llamasobreyección canónica , oproyección canónica.

Cada elemento de una clase de equivalencia caracteriza la clase y puede usarse para representarla . Cuando se elige dicho elemento, se le llama representante de la clase. La elección de un representante en cada clase define una inyección desde${\displaystyle X/R}$a X . Dado que su composición con la sobreyección canónica es la identidad de${\displaystyle X/R,}$Dicha inyección se denomina sección , cuando se utiliza la terminología de la teoría de categorías .

A veces, hay una sección que es más "natural" que las demás. En este caso, los representantes se denominan representantes canónicos . Por ejemplo, en aritmética modular , para cada entero m mayor que 1 , la congruencia módulo m es una relación de equivalencia sobre los enteros, para la cual dos enteros a y b son equivalentes —en este caso, se dice congruentes— si m divide a 1.${\displaystyle ab;}$Esto se denota${\textstyle a\equiv b{\pmod {m}}.}$Cada clase contiene un entero no negativo único menor que${\displaystyle m,}$y estos números enteros son los representantes canónicos.

El uso de representantes para representar clases permite evitar considerar explícitamente las clases como conjuntos. En este caso, la sobreyección canónica que asigna un elemento a su clase se reemplaza por la función que asigna un elemento al representante de su clase. En el ejemplo anterior, esta función se denota${\displaystyle a{\bmod {m}},}$y produce el resto de la división euclidiana de a por m .

Para un conjunto${\displaystyle X}$con una relación de equivalencia${\displaystyle \sim }$, cada elemento${\displaystyle x}$de${\displaystyle X}$es un miembro de la clase de equivalencia${\displaystyle [x]}$por reflexividad (${\displaystyle a\sim a}$a pesar de${\displaystyle a\in X}$). Cada dos clases de equivalencia${\displaystyle [x]}$y${\displaystyle [y]}$son iguales si${\displaystyle x\sim y}$, o disjuntos de otro modo. Por lo tanto, el conjunto de todas las clases de equivalencia de${\displaystyle X}$forma una partición de${\displaystyle X}$: cada elemento${\displaystyle x}$de${\displaystyle X}$pertenece a una y solo una clase de equivalencia. ^{[ 4 ]}

Por el contrario, para un conjunto${\displaystyle X}$Cada partición proviene de una relación de equivalencia de esta manera, y diferentes relaciones dan lugar a diferentes particiones. Por lo tanto,${\displaystyle x\sim y}$si y solo si${\displaystyle x}$y${\displaystyle y}$pertenecen al mismo conjunto de la partición. ^{[ 5 ]}

De las propiedades de la sección anterior se deduce que si${\displaystyle \,\sim \,}$es una relación de equivalencia en un conjunto${\displaystyle X,}$y${\displaystyle x}$y${\displaystyle y}$son dos elementos de${\displaystyle X,}$Las siguientes afirmaciones son equivalentes:

• ${\displaystyle x\sim y}$,
• ${\displaystyle [x]=[y]}$, y
• ${\displaystyle [x]\cap [y]\neq \emptyset .}$

• Dejar${\displaystyle X}$Sea el conjunto de todos los rectángulos en un plano, y${\displaystyle \,\sim \,}$la relación de equivalencia "tiene la misma área que", entonces para cada número real positivo${\displaystyle A,}$habrá una clase de equivalencia de todos los rectángulos que tengan área${\displaystyle A.}$^{[ 6 ]}
  • Por ejemplo, los rectángulos con lados de longitudes 2x4 y 1x8 tienen ambos un área de 8. Aunque difieren en su forma, son equivalentes según la relación "tienen la misma área", por lo que pertenecen a la misma clase de equivalencia.
• Consideremos la relación de equivalencia módulo 2 en el conjunto de los enteros ,${\displaystyle \mathbb {Z} ,}$de tal manera que${\displaystyle x\sim y}$si y solo si su diferencia${\displaystyle xy}$es un número par . Esta relación da lugar a exactamente dos clases de equivalencia: una clase consta de todos los números pares y la otra clase consta de todos los números impares. Usando corchetes alrededor de un miembro de la clase para denotar una clase de equivalencia bajo esta relación,${\displaystyle [7],[9],}$y${\displaystyle [1]}$todos representan el mismo elemento de${\displaystyle \mathbb {Z} /{\sim }.}$^{[ 2 ]}
  • Se puede examinar la congruencia módulo 3 en el conjunto de los enteros para demostrar esto. Bajo esta relación de equivalencia,

[0] = {..., -9, -6, -3, 0, 3, 6, 9,...}

[1] = {..., -8, -5, -2, 1, 4, 7, 10,...}

[2] = {..., -7, -4, -1, 2, 5, 8, 11,...}

Cada valor en${\displaystyle \mathbb {Z} }$pertenece a solo una de las clases donde los elementos 0, 1 y 2 son los representantes canónicos de sus clases.

• Dejar${\displaystyle X}$sea ​​el conjunto de pares ordenados de números enteros${\displaystyle (a,b)}$con distinto de cero${\displaystyle b,}$y definir una relación de equivalencia${\displaystyle \,\sim \,}$en${\displaystyle X}$de tal manera que${\displaystyle (a,b)\sim (c,d)}$si y solo si${\displaystyle ad=bc,}$entonces la clase de equivalencia del par${\displaystyle (a,b)}$puede identificarse con el número racional${\displaystyle a/b,}$y esta relación de equivalencia y sus clases de equivalencia pueden usarse para dar una definición formal del conjunto de números racionales. ^{[ 7 ]} La misma construcción puede generalizarse al campo de fracciones de cualquier dominio de integridad .
  • Los pares ordenados${\displaystyle (1,2),(2,4)}$y${\displaystyle (3,6)}$servir como ejemplo de esto. Estos pares pertenecen a la misma clase de equivalencia que cada uno${\displaystyle (a,b)}$El emparejamiento representa el número racional 1/2 .
• Si${\displaystyle X}$consta de todas las líneas en el plano euclidiano y${\displaystyle L\sim M}$significa que${\displaystyle L}$y${\displaystyle M}$Si dos líneas son paralelas , entonces el conjunto de líneas que son paralelas entre sí forman una clase de equivalencia, siempre que una línea se considere paralela a sí misma . En esta situación, cada clase de equivalencia determina un punto en el infinito .
  • En el plano cartesiano , las líneas${\displaystyle y=2x-3}$y${\displaystyle y=2x+1}$Tienen la misma pendiente y son paralelas, por lo que pertenecen a la misma clase de equivalencia.
• Para cualquier conjunto${\displaystyle X}$, la relación${\displaystyle x\sim y\iff x=y}$es una relación de equivalencia en la que cada clase de equivalencia es un conjunto que consta de un solo elemento.
  • Si${\displaystyle X}$=${\displaystyle \{1,2,3\}}$, entonces las clases de equivalencia son${\displaystyle [1],[2],}$y${\displaystyle [3]}$ya que no se consideran equivalentes dos elementos distintos bajo la relación de igualdad.

Un grafo no dirigido puede asociarse a cualquier relación simétrica en un conjunto.${\displaystyle X,}$donde los vértices son los elementos de${\displaystyle X,}$y dos vértices${\displaystyle s}$y${\displaystyle t}$se unen si y solo si${\displaystyle s\sim t.}$Entre estos grafos se encuentran los grafos de relaciones de equivalencia. Estos grafos, denominados grafos de clúster , se caracterizan por tener componentes conexas que son camarillas . ^{[ 2 ]}

Si${\displaystyle \,\sim \,}$es una relación de equivalencia en${\displaystyle X,}$y${\displaystyle P(x)}$es una propiedad de los elementos de${\displaystyle X}$de tal manera que siempre${\displaystyle x\sim y,}$${\displaystyle P(x)}$es cierto si${\displaystyle P(y)}$Si es cierto, entonces la propiedad${\displaystyle P}$Se dice que es un invariante de${\displaystyle \,\sim \,,}$o bien definido bajo la relación${\displaystyle \,\sim .}$

Un caso particular frecuente ocurre cuando${\displaystyle f}$es una función de${\displaystyle X}$a otro conjunto${\displaystyle Y}$; si ${\displaystyle f\left(x_{1}\right)=f\left(x_{2}\right)}$cuando sea${\displaystyle x_{1}\sim x_{2},}$entonces${\displaystyle f}$Se dice que es invariante de clase bajo${\displaystyle \,\sim \,,}$o simplemente invariante bajo${\displaystyle \,\sim .}$Esto ocurre, por ejemplo, en la teoría de caracteres de grupos finitos. Algunos autores utilizan "compatible con${\displaystyle \,\sim \,}$" o simplemente "respeta${\displaystyle \,\sim \,}$" en lugar de "invariante bajo${\displaystyle \,\sim \,}$".

Cualquier función${\displaystyle f:X\to Y}$es invariante de clase bajo${\displaystyle \,\sim \,,}$según cuál${\displaystyle x_{1}\sim x_{2}}$si y solo si${\displaystyle f\left(x_{1}\right)=f\left(x_{2}\right).}$La clase de equivalencia de${\displaystyle x}$es el conjunto de todos los elementos en${\displaystyle X}$que se asignan a${\displaystyle f(x),}$es decir, la clase${\displaystyle [x]}$es la imagen inversa de${\displaystyle f(x).}$Esta relación de equivalencia se conoce como el núcleo de${\displaystyle f.}$

De manera más general, una función puede asignar argumentos equivalentes (bajo una relación de equivalencia)${\displaystyle \sim _{X}}$en${\displaystyle X}$) a valores equivalentes (bajo una relación de equivalencia)${\displaystyle \sim _{Y}}$en${\displaystyle Y}$). Dicha función es un morfismo de conjuntos dotado de una relación de equivalencia.

En topología , un espacio cociente es un espacio topológico formado sobre el conjunto de clases de equivalencia de una relación de equivalencia en un espacio topológico, utilizando la topología del espacio original para crear la topología sobre el conjunto de clases de equivalencia.

En álgebra abstracta , las relaciones de congruencia en el conjunto subyacente de un álgebra permiten que esta induzca un álgebra en las clases de equivalencia de la relación, denominada álgebra cociente . En álgebra lineal , un espacio cociente es un espacio vectorial formado al tomar un grupo cociente , donde el homomorfismo cociente es una aplicación lineal . Por extensión, en álgebra abstracta, el término espacio cociente puede utilizarse para módulos cociente , anillos cociente , grupos cociente o cualquier álgebra cociente. Sin embargo, el uso del término para los casos más generales a menudo se realiza por analogía con las órbitas de una acción de grupo.

Las órbitas de una acción de grupo sobre un conjunto pueden denominarse espacio cociente de la acción sobre el conjunto, especialmente cuando las órbitas de la acción de grupo son las clases laterales derechas de un subgrupo de un grupo, que surgen de la acción del subgrupo sobre el grupo mediante traslaciones izquierdas, o respectivamente las clases laterales izquierdas como órbitas bajo traslación derecha.

Un subgrupo normal de un grupo topológico, que actúa sobre el grupo mediante una acción de traslación, es un espacio cociente en el sentido de la topología, el álgebra abstracta y las acciones de grupo simultáneamente.

Aunque el término puede usarse para cualquier conjunto de clases de equivalencia de una relación de equivalencia, posiblemente con una estructura adicional, la intención de usar el término es generalmente comparar ese tipo de relación de equivalencia en un conjunto.${\displaystyle X,}$ya sea a una relación de equivalencia que induce alguna estructura en el conjunto de clases de equivalencia a partir de una estructura del mismo tipo en${\displaystyle X,}$o a las órbitas de una acción de grupo. Tanto el sentido de una estructura preservada por una relación de equivalencia como el estudio de los invariantes bajo acciones de grupo conducen a la definición de invariantes de relaciones de equivalencia dada anteriormente.

• Particionamiento de equivalencia , un método para diseñar conjuntos de pruebas de software basados ​​en la cobertura del programa de posibles entradas.
• Espacio homogéneo , el espacio cociente de grupos de Lie.
• Relación de equivalencia parcial : concepto matemático para comparar objetos. 
• Cociente mediante una relación de equivalencia : generalización de las clases de equivalencia a la teoría de esquemas. 
• Setoide – Construcción matemática de un conjunto con una relación de equivalencia 
• Transversal (combinatoria) – Conjunto que interseca a todos los conjuntos de una familia. 

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