Álgebra de Hopf

En matemáticas , un álgebra de Hopf , que recibe su nombre de Heinz Hopf , es una estructura que es simultáneamente un álgebra (asociativa unitaria ) y una coálgebra (coasociativa counitaria) , cuya compatibilidad la convierte en una bialgebra , y que además posee un antihomomorfismo que satisface una propiedad determinada. La teoría de representaciones de un álgebra de Hopf es particularmente interesante, ya que la existencia de comultiplicación, counidad y antípoda compatibles permite la construcción de productos tensoriales de representaciones , representaciones triviales y representaciones duales.

Las álgebras de Hopf aparecen de forma natural en la topología algebraica , donde se originaron y están relacionadas con el concepto de espacio H , en la teoría de esquemas de grupo , en la teoría de grupos (a través del concepto de anillo de grupo ) y en muchos otros lugares, lo que las convierte probablemente en el tipo de bialgebra más conocido . Las álgebras de Hopf también se estudian por derecho propio, con mucho trabajo sobre clases específicas de ejemplos, por un lado, y problemas de clasificación, por otro. Tienen diversas aplicaciones que van desde la física de la materia condensada y la teoría cuántica de campos ^{[ 1 ]} hasta la teoría de cuerdas ^{[ 2 ]} y la fenomenología del LHC ^[³^] .

Definición formal

Dejar $(H,\nabla,\eta,\Delta,\varepsilon)$ ser una bialgebra (asociativa y coasociativa) sobre un cuerpo $K.$ Se puede considerar el álgebra de convolución. $\operatorname {Hom} _{K}(H,H)$ de K - mapas lineales cuyo producto viene dado por: $(f\star g)(h)=\nabla \circ (f\otimes g)\circ \Delta (h).$ La identidad del álgebra de convolución es $\eta \circ \varepsilon .$

La bialgebra $H$ Se dice que es un álgebra de Hopf si la identidad de $H,$ $\operatorname {id} _{H}\in \operatorname {Hom} _{K}(H,H)$ tiene una inversa convolucional $S\in \operatorname {Hom} _{K}(H,H)$ (llamado el antípoda ). La afirmación de que $S$ es lo inverso de $\operatorname {id} _{H}$ es equivalente a la conmutatividad del siguiente diagrama :

En la notación de Sweedler sin suma , esta propiedad también puede expresarse como

S(c_{(1)})c_{(2)}=c_{(1)}S(c_{(2)})=\varepsilon (c)1\qquad {\mbox{ for all }}c\in H.

En cuanto a las álgebras , se puede reemplazar el cuerpo subyacente K con un anillo conmutativo R en la definición anterior. ^{[ 4 ]}

La definición de álgebra de Hopf es autodual (como se refleja en la simetría del diagrama anterior), por lo que si se puede definir un dual de H (lo cual siempre es posible si H es de dimensión finita), entonces automáticamente es un álgebra de Hopf. ^{[ 5 ]}

constantes de estructura

Establecer una base $\{e_{k}\}$ Para el espacio vectorial subyacente, se puede definir el álgebra en términos de constantes de estructura para la multiplicación:

e_{i}\nabla e_{j}=\sum _{k}\mu _{\;ij}^{k}e_{k}

para la comultiplicación:

\Delta e_{i}=\sum _{j,k}\nu _{i}^{\;jk}e_{j}\otimes e_{k}

y el antípoda:

Se_{i}=\sum _{j}\tau _{i}^{\;j}e_{j}

La asociatividad requiere entonces que

\mu _{\;ij}^{k}\mu _{\;kn}^{m}=\mu _{\;jn}^{k}\mu _{\;ik}^{m}

mientras que la coasociatividad requiere que

\nu _{k}^{\;ij}\nu _{i}^{\;mn}=\nu _{k}^{\;mi}\nu _{i}^{\;nj}

El axioma de conexión requiere que

\nu _{k}^{\;ij}\tau _{j}^{\;m}\mu _{\;im}^{n}=\nu _{k}^{\;jm}\tau _{j}^{\,\;i}\mu _{\;im}^{n}

Propiedades del antípoda

A veces se requiere que el antípoda S tenga una inversa K -lineal, lo cual es automático en el caso de dimensión finita, ^{[ 6 ]} o si H es conmutativa o coconmutativa (o más generalmente cuasitriangular ).

En general, S es un antihomomorfismo , ^{[ 7 ]} por lo que S ² es un homomorfismo , que por lo tanto es un automorfismo si S fuera invertible (como puede ser necesario).

Si S ² = id _H , entonces se dice que el álgebra de Hopf es involutiva (y el álgebra subyacente con involución es un *-álgebra ). Si H es semisimple de dimensión finita sobre un cuerpo de característica cero, conmutativo o cocommutativo, entonces es involutivo.

Si una bialgebra B admite un antípoda S , entonces S es única ("una bialgebra admite como máximo 1 estructura de álgebra de Hopf"). ^{[ 8 ]} Por lo tanto, el antípoda no plantea ninguna estructura adicional que podamos elegir: Ser un álgebra de Hopf es una propiedad de una bialgebra.

El antípoda es un análogo del mapa de inversión en un grupo que envía g a g ⁻¹ . ^{[ 9 ]}

subálgebras de Hopf

Una subálgebra A de un álgebra de Hopf H es una subálgebra de Hopf si es una subcoálgebra de H y el antípoda S mapea A en A. En otras palabras, una subálgebra de Hopf A es un álgebra de Hopf por derecho propio cuando la multiplicación, la comultiplicación, la counidad y el antípoda de H están restringidos a A (y además se requiere que la identidad 1 de H esté en A). El teorema de libertad de Nichols-Zoeller de Warren Nichols y Bettina Zoeller (1989) estableció que el A -módulo natural H es libre de rango finito si H es de dimensión finita: una generalización del teorema de Lagrange para subgrupos . ^{[ 10 ]} Como corolario de esto y de la teoría integral, una subálgebra de Hopf de un álgebra de Hopf semisimple de dimensión finita es automáticamente semisimple.

Se dice que una subálgebra de Hopf A es normal por la derecha en un álgebra de Hopf H si satisface la condición de estabilidad, ad _r ( h )( A ) ⊆ A para todo h en H , donde la aplicación adjunta por la derecha ad _r se define por ad _r ( h )( a ) = S ( h ₍₁₎ ) ah ₍₂₎ para todo a en A , h en H . De manera similar, una subálgebra de Hopf A es normal por la izquierda en H si es estable bajo la aplicación adjunta por la izquierda definida por ad _l ( h )( a ) = h ₍₁₎aS ( h ₍₂₎ ). Las dos condiciones de normalidad son equivalentes si el antípoda S es biyectivo, en cuyo caso se dice que A es una subálgebra de Hopf normal.

Una subálgebra de Hopf normal A en H satisface la condición (de igualdad de subconjuntos de H): HA ⁺ = A ⁺H , donde A ⁺ denota el núcleo de la counidad en A. Esta condición de normalidad implica que HA ⁺ es un ideal de Hopf de H (es decir, un ideal de álgebra en el núcleo de la counidad, un coideal de coálgebra y estable bajo el antípoda). Como consecuencia, se tiene un álgebra de Hopf cociente H / HA ⁺ y un epimorfismo H → H / A ⁺H , una teoría análoga a la de los subgrupos normales y los grupos cociente en la teoría de grupos . ^{[ 11 ]}

Hopf ordena

Un orden de Hopf O sobre un dominio de integridad R con cuerpo de fracciones K es un orden en un álgebra de Hopf ^H sobre K que es cerrada bajo las operaciones de álgebra y coalgebra: en particular, la comultiplicación Δ mapea O a O ⊗ O. [ ^{12 ]}

Elementos de tipo grupal

Un elemento de tipo grupo es un elemento no nulo x tal que Δ( x ) = x ⊗ x . Los elementos de tipo grupo forman un grupo cuyo inverso viene dado por el antípoda. ^{[ 13 ]} Un elemento primitivo x satisface Δ( x ) = x ⊗1 + 1⊗ x . ^{[ 14 ]}^{[ 15 ]}

Ejemplos

Cabe señalar que las funciones definidas sobre un grupo finito pueden identificarse con el anillo del grupo, aunque es más natural pensar en ellas como duales: el anillo del grupo consta de sumas finitas de elementos y, por lo tanto, se relaciona con las funciones definidas sobre el grupo evaluando la función sobre los elementos sumados.

Cohomología de los grupos de Lie

El álgebra de cohomología (sobre un campo) $K$ ) de un grupo de Lie $G$ es un álgebra de Hopf: la multiplicación viene dada por el producto de copas y la comultiplicación

H^{*}(G,K)\rightarrow H^{*}(G\times G,K)\cong H^{*}(G,K)\otimes H^{*}(G,K)

por la multiplicación del grupo $G\times G\to G$ Esta observación fue, de hecho, la fuente del concepto de álgebra de Hopf. Utilizando esta estructura, Hopf demostró un teorema de estructura para el álgebra de cohomología de los grupos de Lie.

Teorema (Hopf) ^{[ 19 ]} Sea $A$ Sea un álgebra de Hopf graduada , conmutativa y cocommutativa de dimensión finita sobre un cuerpo de característica 0. Entonces $A$ (como álgebra) es un álgebra exterior libre con generadores de grado impar.

Grupos cuánticos y geometría no conmutativa

La mayoría de los ejemplos anteriores son conmutativos (es decir, la multiplicación es conmutativa ) o co-conmutativos (es decir, ^{[ 20 ]} Δ = T ∘ Δ donde el mapa de torsión ^{[ 21 ]} T : H ⊗ H → H ⊗ H está definido por T ( x ⊗ y ) = y ⊗ x ). Otras álgebras de Hopf interesantes son ciertas "deformaciones" o " cuantizaciones " de las del ejemplo 3 que no son ni conmutativas ni co-conmutativas. Estas álgebras de Hopf a menudo se denominan grupos cuánticos , un término que hasta ahora solo está vagamente definido. Son importantes en geometría no conmutativa , siendo la idea la siguiente: un grupo algebraico estándar está bien descrito por su álgebra de Hopf estándar de funciones regulares; Podemos entonces considerar la versión deformada de esta álgebra de Hopf como la descripción de un grupo algebraico "no estándar" o "cuantizado" (que en realidad no es un grupo algebraico). Si bien no parece haber una forma directa de definir o manipular estos objetos no estándar, aún se puede trabajar con sus álgebras de Hopf, e incluso se los identifica con ellas. De ahí el nombre de "grupo cuántico".

Teoría de la representación

Sea A un álgebra de Hopf, y sean M y N A - módulos. Entonces, M ⊗ N también es un A -módulo, con

a(m\otimes n):=\Delta (a)(m\otimes n)=(a_{1}\otimes a_{2})(m\otimes n)=(a_{1}m\otimes a_{2}n)

para m ∈ M , n ∈ N y Δ( a ) = ( a ₁ , a ₂ ). Además, podemos definir la representación trivial como el campo base K con

a(m):=\epsilon (a)m

para m ∈ K . Finalmente, se puede definir la representación dual de A : si M es un A -módulo y M* es su espacio dual, entonces

(af)(m):=f(S(a)m)

donde f ∈ M* y m ∈ M .

La relación entre Δ, ε y S garantiza que ciertos homomorfismos naturales de espacios vectoriales sean, en efecto, homomorfismos de A- módulos. Por ejemplo, los isomorfismos naturales de espacios vectoriales M → M ⊗ K y M → K ⊗ M también son isomorfismos de A- módulos. Asimismo, la aplicación de espacios vectoriales M* ⊗ M → K con f ⊗ m → f ( m ) también es un homomorfismo de A- módulos. Sin embargo, la aplicación M ⊗ M* → K no es necesariamente un homomorfismo de A- módulos.

Conceptos relacionados

Las álgebras de Hopf graduadas se utilizan a menudo en topología algebraica : son la estructura algebraica natural en la suma directa de todos los grupos de homología o cohomología de un espacio H.

Los grupos cuánticos localmente compactos generalizan las álgebras de Hopf y poseen una topología . El álgebra de todas las funciones continuas definidas en un grupo de Lie es un grupo cuántico localmente compacto.

Las álgebras cuasi-Hopf son generalizaciones de las álgebras de Hopf, donde la coasociatividad solo se cumple hasta cierto punto. Se han utilizado en el estudio de las ecuaciones de Knizhnik-Zamolodchikov . ^{[ 22 ]}

Las álgebras de Hopf multiplicadoras introducidas por Alfons Van Daele en 1994 ^{[ 23 ]} son generalizaciones de las álgebras de Hopf donde la comultiplicación de un álgebra (con o sin unidad) al álgebra multiplicadora del álgebra de producto tensorial del álgebra consigo misma.

Las (co)álgebras de grupo de Hopf introducidas por VG Turaev en 2000 son también generalizaciones de las álgebras de Hopf.

Álgebras de Hopf débiles

Las álgebras de Hopf débiles , o grupoides cuánticos, son generalizaciones de las álgebras de Hopf. Al igual que las álgebras de Hopf, las álgebras de Hopf débiles forman una clase autodual de álgebras; es decir, si H es un álgebra de Hopf (débil), también lo es H *, el espacio dual de formas lineales en H (con respecto a la estructura álgebra-coálgebra obtenida del emparejamiento natural con H y su estructura coálgebra-álgebra). Un álgebra de Hopf débil H se suele tomar como un

Álgebra y coálgebra de dimensión finita con coproducto Δ: H → H ⊗ H y counidad ε: H → k que satisfacen todos los axiomas del álgebra de Hopf excepto posiblemente Δ(1) ≠ 1 ⊗ 1 o ε( ab ) ≠ ε( a )ε( b ) para algunos a,b en H . En cambio, se requiere lo siguiente:

(\Delta (1)\otimes 1)(1\otimes \Delta (1))=(1\otimes \Delta (1))(\Delta (1)\otimes 1)=(\Delta \otimes {\mbox{Id}})\Delta (1)

\epsilon (abc)=\sum \epsilon (ab_{(1)})\epsilon (b_{(2)}c)=\sum \epsilon (ab_{(2)})\epsilon (b_{(1)}c)

para todos los a , b y c en H.

H tiene un antípoda debilitado S : H → H que satisface los axiomas:

$S(a_{(1)})a_{(2)}=1_{(1)}\epsilon (a1_{(2)})$ para todo a en H (el lado derecho es la proyección interesante usualmente denotada por Π ^R ( a ) o ε _s ( a ) con imagen a una subálgebra separable denotada por H ^R o H _s );
$a_{(1)}S(a_{(2)})=\epsilon (1_{(1)}a)1_{(2)}$ para todo a en H (otra proyección interesante usualmente denotada por Π ^R ( a ) o ε _t ( a ) con imagen a álgebra separable H ^L o H _t , antiisomorfa a H ^L a través de S );
$S(a_{(1)})a_{(2)}S(a_{(3)})=S(a)$ para todo a en H.

Nótese que si Δ(1) = 1 ⊗ 1, estas condiciones se reducen a las dos condiciones habituales en el antípoda de un álgebra de Hopf.

Los axiomas se eligen parcialmente de manera que la categoría de H- módulos sea una categoría monoidal rígida . El H -módulo unitario es el álgebra separable H ^L mencionada anteriormente.

Por ejemplo, un álgebra de grupoide finita es un álgebra de Hopf débil. En particular, el álgebra de grupoide en [n] con un par de flechas invertibles e _ij y e _ji entre i y j en [ n ] es isomorfa al álgebra H de matrices n x n . La estructura del álgebra de Hopf débil en esta H particular viene dada por el coproducto Δ( e _ij ) = e _ij ⊗ e _ij , la counidad ε( e _ij ) = 1 y el antípoda S ( e _ij ) = e _ji . Las subálgebras separables H ^L y H ^R coinciden y son álgebras conmutativas no centrales en este caso particular (la subálgebra de matrices diagonales).

Las primeras contribuciones teóricas a las álgebras de Hopf débiles se pueden encontrar en ^{[ 24 ]} así como en ^{[ 25 ].}

álgebroides de Hopf

Véase el algebroide de Hopf.

Analogía con los grupos

Los grupos pueden axiomatizarse mediante los mismos diagramas (o, equivalentemente, operaciones) que un álgebra de Hopf, donde G se considera un conjunto en lugar de un módulo. En este caso:

El campo K se reemplaza por el conjunto de 1 punto.
Hay una counidad natural (mapa a 1 punto)
Existe una comultiplicación natural (el mapa diagonal).
La unidad es el elemento de identidad del grupo.
La multiplicación es la multiplicación en el grupo
El antípoda es el inverso

En esta filosofía, un grupo puede pensarse como un álgebra de Hopf sobre el " cuerpo con un elemento ". ^{[ 26 ]}

Álgebras de Hopf en categorías monoidales trenzadas

La definición de álgebra de Hopf se extiende naturalmente a categorías monoidales trenzadas arbitrarias . ^{[ 27 ]}^{[ 28 ]} Un álgebra de Hopf en tal categoría $(C,\otimes ,I,\alpha ,\lambda ,\rho ,\gamma )$ es un séxtuple $(H,\nabla ,\eta ,\Delta ,\varepsilon ,S)$ dónde $H$ es un objeto en $C$ , y

\nabla :H\otimes H\to H

(multiplicación),

\eta :I\to H

(unidad),

\Delta :H\to H\otimes H

(comultiplicación),

\varepsilon :H\to I

(counidad),

S:H\to H

(antípoda)

— son morfismos en $C$ de tal manera que

1) el triple

(H,\nabla ,\eta )

es un monoide en la categoría monoide

(C,\otimes ,I,\alpha ,\lambda ,\rho ,\gamma )

, es decir, los siguientes diagramas son conmutativos: ^{[ b ]}

monoide en una categoría monoide

2) el triple

(H,\Delta ,\varepsilon )

es un comonoide en la categoría monoidal

(C,\otimes ,I,\alpha ,\lambda ,\rho ,\gamma )

, es decir, los siguientes diagramas son conmutativos: ^{[ b ]}

comonoide en una categoría monoidal

3) las estructuras de monoide y comonoide en

H

son compatibles: la multiplicación

\nabla

y la unidad

\eta

son morfismos de comonoides, y (esto es equivalente en esta situación) al mismo tiempo la comultiplicación

\Delta

y la counidad

\varepsilon

son morfismos de monoides; esto significa que los siguientes diagramas deben ser conmutativos:

coherencia entre multiplicación y comultiplicación

unidad y counidad en bialgebras

dónde

\lambda _{I}:I\otimes I\to I

es el morfismo de unidad izquierda en

C

, y

\theta

la transformación natural de functores

(A\otimes B)\otimes (C\otimes D){\stackrel {\theta }{\rightarrowtail }}(A\otimes C)\otimes (B\otimes D)

que es única en la clase de transformaciones naturales de functores compuestas a partir de las transformaciones estructurales (asociatividad, unidades izquierda y derecha, transposición y sus inversas) en la categoría

C

.

El quíntuple $(H,\nabla ,\eta ,\Delta ,\varepsilon )$ con las propiedades 1),2),3) se llama bialgebra en la categoría $(C,\otimes ,I,\alpha ,\lambda ,\rho ,\gamma )$ ;

4) El diagrama de antípodas es conmutativo:

Los ejemplos típicos son los siguientes.

Grupos . En la categoría monoide. $({\text{Set}},\times ,1)$ de conjuntos (con el producto cartesiano) $\times$ como el producto tensorial y un singleton arbitrario, por ejemplo, $1=\{\varnothing \}$ , como objeto unitario) una tripleta $(H,\nabla ,\eta )$ es un monoide en el sentido categórico si y solo si es un monoide en el sentido algebraico usual , es decir, si las operaciones $\nabla (x,y)=x\cdot y$ y $\eta (1)$ comportarse como la multiplicación y la unidad habituales en $H$ (pero posiblemente sin la invertibilidad de los elementos) $x\in H$ ). Al mismo tiempo, un triple $(H,\Delta ,\varepsilon )$ es un comonoide en el sentido categórico si y solo si $\Delta$ es la operación diagonal $\Delta (x)=(x,x)$ (y la operación $\varepsilon$ También se define de forma única: $\varepsilon (x)=\varnothing$ ). Y cualquier estructura de comonoide de este tipo $(H,\Delta ,\varepsilon )$ es compatible con cualquier estructura de monoide $(H,\nabla ,\eta )$ en el sentido de que los diagramas de la sección 3 de la definición siempre conmutan. Como corolario, cada monoide $(H,\nabla ,\eta )$ en $({\text{Set}},\times ,1)$ naturalmente puede considerarse como un bialgebra $(H,\nabla ,\eta ,\Delta ,\varepsilon )$ en $({\text{Set}},\times ,1)$ y viceversa. La existencia del antípoda $S:H\to H$ para tal bialgebra $(H,\nabla ,\eta ,\Delta ,\varepsilon )$ significa exactamente que cada elemento $x\in H$ tiene un elemento inverso $x^{-1}\in H$ con respecto a la multiplicación $\nabla (x,y)=x\cdot y$ . Por lo tanto, en la categoría de conjuntos $({\text{Set}},\times ,1)$ Las álgebras de Hopf son exactamente grupos en el sentido algebraico habitual.
Álgebras de Hopf clásicas . En el caso especial cuando $(C,\otimes ,s,I)$ es la categoría de espacios vectoriales sobre un campo dado $K$ , las álgebras de Hopf en $(C,\otimes ,s,I)$ son exactamente las álgebras de Hopf clásicas descritas anteriormente .
Álgebras funcionales sobre grupos . Las álgebras funcionales estándar. ${\mathcal {C}}(G)$ , ${\mathcal {E}}(G)$ , ${\mathcal {O}}(G)$ , ${\mathcal {P}}(G)$ (de funciones continuas, suaves, holomorfas y regulares) en grupos son álgebras de Hopf en la categoría ( Ste , $\odot$ ) de espacios estereotípicos , ^{[ 29 ]}
Álgebras de grupo . Las álgebras de grupo estereotípicas . ${\mathcal {C}}^{\star }(G)$ , ${\mathcal {E}}^{\star }(G)$ , ${\mathcal {O}}^{\star }(G)$ , ${\mathcal {P}}^{\star }(G)$ (de medidas, distribuciones, funcionales analíticos y corrientes) en grupos son álgebras de Hopf en la categoría ( Ste , $\circledast$ ) de espacios estereotípicos . ^{[ 29 ]} Estas álgebras de Hopf se utilizan en las teorías de dualidad para grupos no conmutativos . ^{[ 30 ]}

Véase también

Notas y referencias

Notas

↑ La finitud de G implica que K ^G ⊗ K ^G es naturalmente isomorfo a K ^{G x G.} Esto se utiliza en la fórmula anterior para la comultiplicación. Para grupos infinitos G , K ^G ⊗ K ^G es un subconjunto propio de K ^{G x G.} En este caso, el espacio de funciones con soporte finito puede dotarse de una estructura de álgebra de Hopf.
1 2 Aquí $\alpha _{H,H,H}:(H\otimes H)\otimes H\to H\otimes (H\otimes H)$ , $\lambda _{H}:I\otimes H\to H$ , $\rho _{H}:H\otimes I\to H$ son las transformaciones naturales de la asociatividad y de las unidades izquierda y derecha en la categoría monoide $(C,\otimes ,I,\alpha ,\lambda ,\rho ,\gamma )$ .

Citas

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Referencias

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[16] La finitud de G implica que K ^G ⊗ K ^G es naturalmente isomorfo a K ^{G x G.} Esto se utiliza en la fórmula anterior para la comultiplicación. Para grupos infinitos G , K ^G ⊗ K ^G es un subconjunto propio de K ^{G x G.} En este caso, el espacio de funciones con soporte finito puede dotarse de una estructura de álgebra de Hopf.

[left-and-right-units-30] 1 2 Aquí $\alpha _{H,H,H}:(H\otimes H)\otimes H\to H\otimes (H\otimes H)$ , $\lambda _{H}:I\otimes H\to H$ , $\rho _{H}:H\otimes I\to H$ son las transformaciones naturales de la asociatividad y de las unidades izquierda y derecha en la categoría monoide $(C,\otimes ,I,\alpha ,\lambda ,\rho ,\gamma )$ .

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