Diferencial de primera clase

En matemáticas , diferencial de primera especie es un término tradicional utilizado en las teorías de superficies de Riemann (más generalmente, variedades complejas ) y curvas algebraicas (más generalmente, variedades algebraicas ) para 1-formas diferenciales regulares en todas partes . Dada una variedad compleja M , un diferencial de primera especie ω es, por lo tanto, lo mismo que una 1-forma que es holomorfa en todas partes .

La dimensión del espacio de diferenciales de primera especie, mediante esta identificación, es el número de Hodge.

h ^1,0 .

Los diferenciales de primera especie, cuando se integran a lo largo de trayectorias, dan lugar a integrales que generalizan las integrales elípticas a todas las curvas sobre los números complejos . Incluyen, por ejemplo, las integrales hiperelípticas de tipo

${\displaystyle \int {\frac {x^{k}\,dx}{\sqrt {Q(x)}}}}$

donde Q es un polinomio libre de cuadrados de cualquier grado  >  4. La potencia admisible k debe determinarse mediante el análisis del posible polo en el punto en el infinito en la curva hiperelíptica correspondiente . Cuando se hace esto, se encuentra que la condición es

k ≤ g − 1,

o en otras palabras, k como máximo 1 para grado Q 5 o 6, como máximo 2 para grado 7 u 8, y así sucesivamente (ya que g = [(1+ grado Q )/2]).

En términos generales, como ilustra este ejemplo, para una superficie de Riemann compacta o una curva algebraica , el número de Hodge es el género g . Para el caso de superficies algebraicas , esta es la cantidad conocida clásicamente como la irregularidad q . También es, en general, la dimensión de la variedad albanesa , que toma el lugar de la variedad jacobiana .

La terminología tradicional también incluía diferenciales de segundo tipo y de tercer tipo .

La función zeta de Weierstrass se denominaba integral de segundo tipo en la teoría de funciones elípticas ; es una derivada logarítmica de una función theta y, por lo tanto, tiene polos simples con residuos enteros. La descomposición de una función elíptica ( meromorfa ) en partes de "tres tipos" es paralela a la representación como (i) una constante, más (ii) una combinación lineal de traslaciones de la función zeta de Weierstrass, más (iii) una función con polos arbitrarios pero sin residuos en ellos.

Por otro lado, una diferencial abeliana meromorfa de segundo tipo ha sido tradicionalmente aquella cuyos residuos en todos los polos son cero. Una de tercer tipo es aquella en la que todos los polos son simples. Existe un análogo de dimensión superior disponible, utilizando el residuo de Poincaré .

Supongamos que una superficie de Riemann compacta${\displaystyle S}$se entrega, junto con una colección de ciclos${\displaystyle \delta _{1},\ldots ,\delta _{2g}}$formando una base de${\displaystyle H_{1}(S,\mathbb {Z} )}$, partiendo de un punto base común${\displaystyle s_{0}\in S}$. Dejar${\displaystyle \omega }$ser un diferencial holomorfo en${\displaystyle S}$, y${\displaystyle \eta }$un diferencial meromorfo con solo polos simples, en${\displaystyle s_{k}\in S}$Alquiler $${\displaystyle \Pi _{k}=\int _{\delta _{k}}\omega }$$$${\ Displaystyle N_ {k} = \ int _ {\ delta _ {k}} \ eta,}$$ Tenemos la ley de reciprocidad de Abel para diferenciales de primera y tercera especie ^{[ 1 ].}$${\displaystyle \sum _{k=1}^{g}(\Pi _{k}N_{g+k}-\Pi _{g+k}N_{k})=2\pi i\sum _{k}\operatorname {Res} _{s_{k}}(\eta )\int _{s_{0}}^{s_{k}}\omega .}$$ En el caso especial cuando${\displaystyle \eta }$es también un diferencial de primera especie, lo que recupera la primera relación bilineal de Riemann .

• Mapa de Abel-Jacobi
• Forma logarítmica

• "Diferencial abeliana" , Enciclopedia de Matemáticas , EMS Press , 2001 [1994]
• Griffiths, Phillip; Harris, Joseph (1978), Principios de geometría algebraica , Matemáticas puras y aplicadas, Nueva York: John Wiley & Sons, ISBN 978-0-471-32792-9