Historia de la gravedad cuántica de bucles

La relatividad general es la teoría de la gravitación publicada por Albert Einstein en 1915. Según esta teoría, la fuerza de la gravedad es una manifestación de la geometría local del espacio-tiempo . Matemáticamente, la teoría se basa en la geometría métrica de Bernhard Riemann , pero el grupo de Lorentz de simetrías del espacio-tiempo (un ingrediente esencial de la teoría de la relatividad especial de Einstein ) reemplaza al grupo de simetrías rotacionales del espacio. (Posteriormente, la gravedad cuántica de bucles heredó esta interpretación geométrica de la gravedad y postula que una teoría cuántica de la gravedad es fundamentalmente una teoría cuántica del espacio-tiempo).

En la década de 1920, el matemático francés Élie Cartan formuló la teoría de Einstein en el lenguaje de haces y conexiones, ^{[ 1 ]} una generalización de la geometría riemanniana a la que Cartan contribuyó significativamente. La llamada teoría de la gravedad de Einstein-Cartan no solo reformuló sino que también generalizó la relatividad general, y permitió la existencia de espaciotiempos con torsión y curvatura. En la geometría de haces de Cartan, el concepto de transporte paralelo es más fundamental que el de distancia , elemento central de la geometría riemanniana. Un cambio conceptual similar se produce entre el intervalo invariante de la relatividad general de Einstein y el transporte paralelo de la teoría de Einstein-Cartan.

En 1971, el físico Roger Penrose exploró la idea del espacio como resultado de una estructura combinatoria cuántica. ^{[ 2 ] [ 3 ]} Sus investigaciones dieron lugar al desarrollo de redes de espín . Dado que se trataba de una teoría cuántica del grupo rotacional y no del grupo de Lorentz, Penrose continuó desarrollando los twistores . ^{[ 4 ]}

En 1982, Amitabha Sen intentó formular una formulación hamiltoniana de la relatividad general basada en variables espinoriales , donde estas variables son los equivalentes de los componentes espinoriales izquierdo y derecho de la conexión de Einstein-Cartan de la relatividad general. ^{[ 5 ]} En particular, Sen descubrió una nueva forma de escribir las dos restricciones de la formulación hamiltoniana ADM de la relatividad general en términos de estas conexiones espinoriales. En su formulación, las restricciones son simplemente condiciones para que la curvatura de Weyl espinorial sea libre de traza y simétrica. También descubrió la presencia de nuevas restricciones que sugirió interpretar como el equivalente de la restricción de Gauss de las teorías de campo de Yang-Mills . Pero el trabajo de Sen no logró proporcionar una teoría sistemática completa y clara, y en particular no logró discutir claramente los momentos conjugados a las variables espinoriales, su interpretación física y su relación con la métrica (en su trabajo la indicó como una variable lambda).

En 1986-87, el físico Abhay Ashtekar completó el proyecto que Amitabha Sen había comenzado. Identificó claramente las variables conjugadas fundamentales de la gravedad espinorial: la variable de configuración es como una conexión espinorial (una regla para el transporte paralelo; técnicamente, una conexión ) y la variable de momento conjugada es un marco de coordenadas (llamado vierbein ) en cada punto. ^{[ 6 ] [ 7 ]} Así, estas variables se convirtieron en lo que conocemos como variables de Ashtekar , una variante particular de la teoría de Einstein-Cartan con una conexión compleja. La teoría de la relatividad general expresada de esta manera hizo posible llevar a cabo su cuantización utilizando técnicas bien conocidas de la teoría cuántica de campos de gauge .

La cuantización de la gravedad en la formulación de Ashtekar se basó en los bucles de Wilson , una técnica desarrollada por Kenneth G. Wilson en 1974 ^{[ 8 ]} para estudiar el régimen de interacción fuerte de la cromodinámica cuántica (QCD). Es interesante en este sentido que se sabía que los bucles de Wilson se comportaban mal en el caso de la teoría cuántica de campos estándar en el espacio de Minkowski (plano), y por lo tanto no proporcionaban una cuantización no perturbativa de la QCD. Sin embargo, debido a que la formulación de Ashtekar era independiente del fondo , fue posible usar los bucles de Wilson como base para la cuantización no perturbativa de la gravedad .

Gracias a los esfuerzos de Sen y Ashtekar, se obtuvo una formulación de la ecuación de Wheeler-DeWitt en términos de un operador hamiltoniano bien definido sobre un espacio de Hilbert también bien definido . Esto condujo a la construcción de la primera solución exacta conocida, la denominada forma de Chern-Simons o estado de Kodama . La interpretación física de este estado sigue siendo incierta.

En 1988–90, Carlo Rovelli y Lee Smolin obtuvieron una base explícita de estados de geometría cuántica, que resultó estar etiquetada por las redes de espín de Penrose. ^{[ 9 ] [ 10 ]} En este contexto, las redes de espín surgieron como una generalización de los bucles de Wilson necesarios para tratar bucles que se intersecan mutuamente. Matemáticamente, las redes de espín están relacionadas con la teoría de representación de grupos y pueden usarse para construir invariantes de nudos como el polinomio de Jones . La gravedad cuántica de bucles (LQG) quedó así relacionada con la teoría cuántica de campos topológica y la teoría de representación de grupos.

En 1994, Rovelli y Smolin demostraron que los operadores cuánticos de la teoría asociados al área y al volumen tienen un espectro discreto. ^{[ 11 ]} Después de esto, el trabajo sobre el límite semiclasico, el límite continuo y la dinámica fue intenso, pero el progreso fue más lento.

En el ámbito del límite semiclasico , el objetivo es obtener y estudiar análogos de los estados coherentes del oscilador armónico (los candidatos se conocen como estados de tejido ).

La LQG se formuló inicialmente como una cuantización del formalismo ADM hamiltoniano, según el cual las ecuaciones de Einstein son un conjunto de restricciones (de Gauss, difeomorfismo y hamiltonianas). La cinemática se codifica en las restricciones de Gauss y difeomorfismo, cuya solución es el espacio generado por la base de la red de espines. El problema consiste en definir la restricción hamiltoniana como un operador autoadjunto en el espacio de estados cinemáticos. El trabajo más prometedor en esta dirección es el Proyecto Phoenix de Thomas Thiemann . ^{[ 12 ]}

Gran parte del trabajo reciente en LQG se ha realizado en la formulación covariante de la teoría, llamada " teoría de espuma de espín ". La versión actual de la dinámica covariante se debe al trabajo convergente de diferentes grupos, pero se la conoce comúnmente por un artículo de Jonathan Engle, Roberto Pereira y Carlo Rovelli en 2007-08. ^{[ 13 ]} Heurísticamente, se esperaría que la evolución entre estados de red de espín pudiera describirse mediante operaciones combinatorias discretas sobre las redes de espín, que luego trazarían un esqueleto bidimensional del espaciotiempo. Este enfoque está relacionado con los modelos de suma de estados de la mecánica estadística y la teoría cuántica de campos topológica, como el modelo de Turaeev-Viro de gravedad cuántica 3D, y también con el enfoque del cálculo de Regge para calcular la integral de trayectoria de Feynman de la relatividad general discretizando el espaciotiempo.