El decimocuarto problema de Hilbert

En matemáticas , el decimocuarto problema de Hilbert , es decir, el número 14 de los problemas de Hilbert propuestos en 1900, pregunta si ciertas álgebras son finitamente generadas .

El escenario es el siguiente: Supongamos que k es un cuerpo y sea K un subcuerpo del cuerpo de funciones racionales en n variables,

${\displaystyle k(x_{1},...,x_{n})}$encima${\displaystyle k}$.

Consideremos ahora el k -álgebra R definido como la intersección

${\displaystyle R:=K\cap k[x_{1},\dots ,x_{n}]\ .}$

Hilbert conjeturó que todas esas álgebras son finitamente generadas sobre k .

Se obtuvieron algunos resultados que confirmaban la conjetura de Hilbert en casos especiales y para ciertas clases de anillos (en particular, la conjetura fue demostrada incondicionalmente para n = 1 y n = 2 por Zariski en 1954). Luego, en 1959, Masayoshi Nagata encontró un contraejemplo a la conjetura de Hilbert. El contraejemplo de Nagata es un anillo de invariantes adecuadamente construido para la acción de un grupo algebraico lineal .

El problema surgió originalmente en la teoría de invariantes algebraicos . Aquí, el anillo R se define como un anillo (adecuadamente definido) de invariantes polinomiales de un grupo algebraico lineal sobre un cuerpo k que actúa algebraicamente sobre un anillo de polinomios k [ x ₁ , ..., x _n ] (o, más generalmente, sobre un álgebra finitamente generada definida sobre un cuerpo). En esta situación, el cuerpo K es el cuerpo de funciones racionales (cocientes de polinomios) en las variables x _i que son invariantes bajo la acción dada del grupo algebraico, y el anillo R es el anillo de polinomios que son invariantes bajo dicha acción. Un ejemplo clásico del siglo XIX fue el extenso estudio (en particular por Cayley , Sylvester , Clebsch , Paul Gordon y también Hilbert) de invariantes de formas binarias en dos variables con la acción natural del grupo lineal especial SL ₂ ( k ) sobre ellas. El propio Hilbert demostró la generación finita de anillos invariantes en el caso del cuerpo de los números complejos para algunos grupos de Lie semisimples clásicos (en particular, el grupo lineal general sobre los números complejos) y acciones lineales específicas sobre anillos de polinomios, es decir, acciones provenientes de representaciones de dimensión finita del grupo de Lie. Este resultado de finitud fue extendido posteriormente por Hermann Weyl a la clase de todos los grupos de Lie semisimples. Un elemento clave en la demostración de Hilbert es el teorema de la base de Hilbert aplicado al ideal dentro del anillo de polinomios generado por los invariantes.

La formulación de Zariski del decimocuarto problema de Hilbert pregunta si, para una variedad algebraica cuasi-afín X sobre un cuerpo k , posiblemente suponiendo que X es normal o suave , el anillo de funciones regulares en X es finitamente generado sobre k .

Se demostró que la formulación de Zariski ^{[ 1 ]} es equivalente al problema original, para X normal. (Véase también: Teorema de finitud de Zariski ).

Éfendiev FF (Fuad Efendi) proporcionó un algoritmo simétrico que genera una base de invariantes de formas n-arias de grado r. ^{[ 2 ]}

Nagata (1960) dio el siguiente contraejemplo al problema de Hilbert. El cuerpo k es un cuerpo que contiene 48 elementos a _{1 i} , ..., a _{16 i} , para i =1, 2, 3 que son algebraicamente independientes sobre el cuerpo primo. El anillo R es el anillo de polinomios k [ x ₁ ,..., x ₁₆ , t ₁ ,..., t ₁₆ ] en 32 variables. El espacio vectorial V es un espacio vectorial de 13 dimensiones sobre k que consta de todos los vectores ( b ₁ ,..., b ₁₆ ) en k ¹⁶ ortogonales a cada uno de los tres vectores ( a _{1 i} , ..., a _{16 i} ) para i =1, 2, 3. El espacio vectorial V es un grupo algebraico unipotente conmutativo de 13 dimensiones bajo la adición, y sus elementos actúan sobre R fijando todos los elementos t _j y tomando x _j a x _j + b _j t _j . Entonces, el anillo de elementos de R invariantes bajo la acción del grupo V no es un álgebra k finitamente generada .

Varios autores han reducido los tamaños del grupo y del espacio vectorial en el ejemplo de Nagata. Por ejemplo, Totaro (2008) demostró que sobre cualquier cuerpo existe una acción de la suma G ³ _a de tres copias del grupo aditivo sobre k ¹⁸ cuyo anillo de invariantes no es finitamente generado.

• Derivación localmente nilpotente
• La conjetura de Nagata sobre las curvas

Bibliografía

• Nagata, Masayoshi (1960) [1958], "Sobre el decimocuarto problema de Hilbert" , Actas del Congreso Internacional de Matemáticas de 1958 , Cambridge University Press , págs. 459–462 , MR 0116056 , archivado del original el 17 de julio de 2011.  
• Nagata, Masayoshi (1965), Lecciones sobre el decimocuarto problema de Hilbert (PDF) , Tata Institute of Fundamental Research Lectures on Mathematics, vol.  31, Bombay: Tata Institute of Fundamental Research, MR 0215828 
• Totaro, Burt (2008), "El decimocuarto problema de Hilbert sobre cuerpos finitos y una conjetura sobre el cono de curvas", Compositio Mathematica , 144 (5): 1176–1198 , arXiv : 0808.0695 , doi : 10.1112/S0010437X08003667 , ISSN 0010-437X , MR 2457523  
• O. Zariski, Interpretations algebrico-geometriques du quatorzieme probleme de Hilbert , Bulletin des Sciences Mathematiques 78 (1954), págs  .

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