Teorema de la base de Hilbert

Suponer${\displaystyle {\mathfrak {a}}\subseteq R[X]}$es un ideal izquierdo generado de forma no finita. Entonces, por recursión (usando el axioma de elección dependiente ), hay una secuencia de polinomios${\displaystyle \{f_{0},f_{1},\ldots \}}$de tal manera que si${\displaystyle {\mathfrak {b}}_{n}}$es el ideal izquierdo generado por${\displaystyle f_{0},\ldots ,f_{n-1}}$entonces${\displaystyle f_{n}\in {\mathfrak {a}}\setminus {\mathfrak {b}}_{n}}$es de grado mínimo . Por construcción,${\displaystyle \{\deg(f_{0}),\deg(f_{1}),\ldots \}}$es una sucesión no decreciente de números naturales . Sea${\displaystyle a_{n}}$ser el coeficiente principal de${\displaystyle f_{n}}$y dejar${\displaystyle {\mathfrak {b}}}$ser el ideal de la izquierda en${\displaystyle R}$generado por${\displaystyle a_{0},a_{1},\ldots }$. Desde${\displaystyle R}$¿Es noetheriana la cadena de ideales?

$${\displaystyle (a_{0})\subset (a_{0},a_{1})\subset (a_{0},a_{1},a_{2})\subset \cdots }$$

debe terminar. Por lo tanto${\displaystyle {\mathfrak {b}}=(a_{0},\ldots ,a_{N-1})}$para algún número entero${\displaystyle N}$. Así que en particular,

$${\displaystyle a_{N}=\sum _{i<N}u_{i}a_{i},\qquad u_{i}\in R.}$$

Ahora considere

$${\displaystyle g=\sum _{i<N}u_{i}X^{\deg(f_{N})-\deg(f_{i})}f_{i},}$$

cuyo término principal es igual al de${\displaystyle f_{N}}$; además,${\displaystyle g\in {\mathfrak {b}}_{N}}$. Sin embargo,${\displaystyle f_{N}\notin {\mathfrak {b}}_{N}}$, lo que significa que${\displaystyle f_{N}-g\in {\mathfrak {a}}\setminus {\mathfrak {b}}_{N}}$tiene un grado menor que${\displaystyle f_{N}}$, contradiciendo la minimalidad.

Dejar${\displaystyle {\mathfrak {a}}\subseteq R[X]}$ser un ideal de izquierda.${\displaystyle {\mathfrak {b}}}$sea ​​el conjunto de coeficientes principales de los miembros de${\displaystyle {\mathfrak {a}}}$Obviamente, este es un ideal de la izquierda.${\displaystyle R}$y, por lo tanto, es generado finitamente por los coeficientes principales de un número finito de miembros de${\displaystyle {\mathfrak {a}}}$; decir${\displaystyle f_{0},\ldots ,f_{N-1}}$. Dejar${\displaystyle d}$ser el máximo del conjunto${\displaystyle \{\deg(f_{0}),\ldots ,\deg(f_{N-1})\}}$y dejar${\displaystyle {\mathfrak {b}}_{k}}$sea ​​el conjunto de coeficientes principales de los miembros de${\displaystyle {\mathfrak {a}}}$, cuyo título es${\displaystyle \leq k}$. Como antes, el${\displaystyle {\mathfrak {b}}_{k}}$quedan ideales sobre${\displaystyle R}$y, por lo tanto, son generados finitamente por los coeficientes principales de un número finito de miembros de${\displaystyle {\mathfrak {a}}}$, decir

$${\displaystyle f_{0}^{(k)},\ldots ,f_{N^{(k)}-1}^{(k)}}$$

con títulos${\displaystyle \leq k}$Ahora dejemos...${\displaystyle {\mathfrak {a}}^{*}\subseteq R[X]}$ser el ideal de izquierda generado por:

$${\displaystyle \left\{f_{i},f_{j}^{(k)}\,:\ i<N,\,j<N^{(k)},\,k<d\right\}\!\!\;.}$$

Tenemos${\displaystyle {\mathfrak {a}}^{*}\subseteq {\mathfrak {a}}}$y afirmar también${\displaystyle {\mathfrak {a}}\subseteq {\mathfrak {a}}^{*}}$Supongamos, por contradicción, que esto no es así. Entonces,${\displaystyle h\in {\mathfrak {a}}\setminus {\mathfrak {a}}^{*}}$ser de grado mínimo, y denotemos su coeficiente principal por${\displaystyle a}$.

Caso 1:${\displaystyle \deg(h)\geq d}$. Independientemente de esta condición, tenemos${\displaystyle a\in {\mathfrak {b}}}$, entonces${\displaystyle a}$es una combinación lineal izquierda

$${\displaystyle a=\sum _{j}u_{j}a_{j}}$$

de los coeficientes de la${\displaystyle f_{j}}$. Considerar

$${\displaystyle h_{0}=\sum _{j}u_{j}X^{\deg(h)-\deg(f_{j})}f_{j},}$$

que tiene el mismo término principal que${\displaystyle h}$; además${\displaystyle h_{0}\in {\mathfrak {a}}^{*}}$mientras${\displaystyle h\notin {\mathfrak {a}}^{*}}$. Por lo tanto${\displaystyle h-h_{0}\in {\mathfrak {a}}\setminus {\mathfrak {a}}^{*}}$y${\displaystyle \deg(h-h_{0})<\deg(h)}$, lo cual contradice el minimalismo.

Caso 2:${\displaystyle \deg(h)=k<d}$. Entonces${\displaystyle a\in {\mathfrak {b}}_{k}}$entonces${\displaystyle a}$es una combinación lineal izquierda

$${\displaystyle a=\sum _{j}u_{j}a_{j}^{(k)}}$$

de los coeficientes principales de la${\displaystyle f_{j}^{(k)}}$. Considerando

$${\displaystyle h_{0}=\sum _{j}u_{j}X^{\deg(h)-\deg(f_{j}^{(k)})}f_{j}^{(k)},}$$

Obtenemos una contradicción similar a la del Caso 1.

Por lo tanto, nuestra afirmación se mantiene y${\displaystyle {\mathfrak {a}}={\mathfrak {a}}^{*}}$que se genera de forma finita.

Tenga en cuenta que la única razón por la que tuvimos que dividir en dos casos fue para asegurar que los poderes de${\displaystyle X}$En las construcciones, la multiplicación de los factores era no negativa.