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algoritmo HHL

El algoritmo de Harrow-Hassidim-Lloyd ( HHL ) es un algoritmo cuántico para obtener cierta información limitada sobre la solución de un sistema de ecuaciones lineales , introduc...

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El algoritmo de Harrow-Hassidim-Lloyd ( HHL ) es un algoritmo cuántico para obtener cierta información limitada sobre la solución de un sistema de ecuaciones lineales , introducido por Aram Harrow , Avinatan Hassidim y Seth Lloyd . Específicamente, el algoritmo estima funciones cuadráticas del vector solución de un sistema dado. [ 1 ]

El algoritmo es uno de los principales algoritmos fundamentales que se espera que proporcionen una aceleración con respecto a sus contrapartes clásicas, junto con el algoritmo de factorización de Shor y el algoritmo de búsqueda de Grover . Suponiendo que el sistema es disperso , [ 2 ] tiene un número de condición bajo.κ{\displaystyle \kappa }y que el usuario solo está interesado en cierta información sobre el vector de solución y no en el vector completo en sí, el algoritmo tiene un tiempo de ejecución deO(registro⁡(norte)κ2){\displaystyle O(\log(N)\kappa ^{2})}, dóndenorte{\displaystyle N}es el número de variables. Esto ofrece una aceleración exponencial con respecto al algoritmo clásico más rápido, que se ejecuta enO(norteκ){\displaystyle O(N\kappa )}(oO(norteκ){\displaystyle O(N{\sqrt {\kappa }})}para matrices semidefinidas positivas).

Una implementación del algoritmo HHL fue demostrada por primera vez en 2013 por tres publicaciones independientes, consistentes en sistemas simples en dispositivos especialmente diseñados. [ 3 ] [ 4 ] [ 5 ] La primera demostración de una versión de propósito general del algoritmo apareció en 2018. [ 6 ]

Descripción general

Dado unnorte×norte{\displaystyle N\times N}matriz hermitianaA{\displaystyle A}y vector unitariob→∈Rnorte{\displaystyle {\vec {b}}\in \mathbb {R} ^{N}}, los algoritmos HHL preparan el estado cuántico|incógnita⟩{\displaystyle |x\rangle }cuyas amplitudes son las entradas de la soluciónincógnita→∈Rnorte{\displaystyle {\vec {x}}\in \mathbb {R} ^{N}}al sistema linealAincógnita→=b→{\displaystyle A{\vec {x}}={\vec {b}}}El algoritmo no puede generar eficientemente la solución x en sí misma, pero permite estimarla de manera eficiente .incógnita→TMETROincógnita→{\displaystyle {\vec {x}}^{T}M{\vec {x}}}para una matriz hermitianaMETRO{\displaystyle M}.

El algoritmo primero prepara el estado cuántico.|b⟩{\displaystyle |b\rangle }cuyas amplitudes son iguales a las entradas deb→{\displaystyle {\vec {b}}}. Utilizando la simulación hamiltoniana , el operador unitariomiiAt{\displaystyle e^{iAt}}se aplica a|b⟩{\displaystyle |b\rangle }para una superposición de diferentes tiempos t . El algoritmo luego utiliza la estimación de fase cuántica para descomponer|b⟩{\displaystyle |b\rangle }en la base propia deA{\displaystyle A}y hallar los autovalores correspondientesλj{\displaystyle \lambda _{j}}El estado del sistema después de este paso es aproximadamente

∑j=⁡1norteβj|túj⟩|λj⟩,{\displaystyle \sum _{j\mathop {=} 1}^{N}\beta _{j}|u_{j}\rangle |\lambda _{j}\rangle ,}

dóndetúj{\displaystyle u_{j}}son los vectores propios de A yβj{\displaystyle \beta _{j}}es el j -ésimo coeficiente de b en la base propia de A.

Luego nos gustaría aplicar el mapeo lineal tomando|λj⟩{\displaystyle |\lambda _{j}\rangle }adoλj−1|λj⟩{\displaystyle C\lambda _{j}^{-1}|\lambda _{j}\rangle }para alguna constante C. Este mapa no es unitario y debe implementarse utilizando una medición cuántica con una probabilidad de fallo distinta de cero. Después de que tenga éxito, hemos descompensado el|λj⟩{\displaystyle |\lambda _{j}\rangle }registrarse y tener un estado proporcional a

∑i=⁡1norteβiλj−1|túj⟩=A−1|b⟩=|incógnita⟩.{\displaystyle \sum _{i\mathop {=} 1}^{N}\beta _{i}\lambda _{j}^{-1}|u_{j}\rangle =A^{-1}|b\rangle =|x\rangle .}

Al realizar la medición cuántica correspondiente a M , obtenemos una estimación deincógnita→TMETROincógnita→{\displaystyle {\vec {x}}^{T}M{\vec {x}}}Se podría utilizar la tomografía cuántica para recuperar todos los componentes de x , pero esto requeriría repetir el algoritmo aproximadamente N veces.

Descripción detallada

Supuestos e inicialización

El algoritmo requiere que se cumplan las siguientes suposiciones:

  1. El algoritmo requiere que A sea hermitiana para que pueda ser exponenciada en un operador unitario . Si A no es hermitiana, se puede definir una matriz hermitiana.do=[0AA†0]{\displaystyle \mathbf {C} ={\begin{bmatrix}0&A\\A^{\dagger }&0\end{bmatrix}}}y resolverdoy=[b0]{\displaystyle Cy={\begin{bmatrix}b\\0\end{bmatrix}}}para obtenery=[0incógnita]{\displaystyle y={\begin{bmatrix}0\\x\end{bmatrix}}}.
  2. El algoritmo requiere un procedimiento eficiente para preparar|b⟩{\displaystyle |b\rangle }Se supone que o bien|b⟩{\displaystyle |b\rangle }ya se ha preparado o existe algún B que toma algún estado cuántico|inorteitial⟩{\displaystyle |\mathrm {initial} \rangle }a|b⟩{\displaystyle |b\rangle }eficientemente. Cualquier error en la preparación de|b⟩{\displaystyle |b\rangle }es ignorado.
  3. El algoritmo asume que el estado|ψ0⟩{\displaystyle |\psi _{0}\rangle }se puede preparar de manera eficiente, donde|ψ0⟩:=2/T∑τ=⁡0T−1pecado⁡π(τ+12T)|τ⟩{\displaystyle |\psi _{0}\rangle :={\sqrt {2/T}}\sum _{\tau \mathop {=} 0}^{T-1}\sin \pi \left({\tfrac {\tau +{\tfrac {1}{2}}}{T}}\right)|\tau \rangle } para algún T grande . Los coeficientes de|ψ0⟩{\displaystyle |\psi _{0}\rangle }se eligen para minimizar una determinada función de pérdida cuadrática que induce un error en laUinortevmirt{\displaystyle U_{\mathrm {invert} }}subrutina descrita a continuación.
  4. El algoritmo supone que el operador unitariomiiAt{\displaystyle e^{iAt}}se puede aplicar de manera eficiente. Esto es posible utilizando la simulación hamiltoniana si A es s -disperso y computable eficientemente por filas, lo que significa que tiene como máximo s entradas no nulas por fila que se pueden calcular en tiempo O( s ) dado un índice de fila. Entonces se puede aplicarmiiAt{\displaystyle e^{iAt}}a tiempoO(registro⁡(norte)s2t){\displaystyle O(\log(N)s^{2}t)}.

subrutina de inversión U

La subrutina clave del algoritmo, denotadaUinortevmirt{\displaystyle U_{\mathrm {invert} }}, se define de la siguiente manera utilizando la estimación de fase :

  1. Preparar|ψ0⟩do{\displaystyle |\psi _{0}\rangle ^{C}}en el registro C
  2. Aplicar la evolución del hamiltoniano condicional (suma)
  3. Aplique la transformada de Fourier al registro C. Denotemos los estados base resultantes con |k⟩{\displaystyle |k\rangle }para k  =  0,  ..., T − 1. Definir   λk:=2πk/t0{\displaystyle \lambda _{k}:=2\pi k/t_{0}}.
  4. Adjuntar un registro tridimensional S en el estado
|h(λk)⟩S:=1−F(λk)2−gramo(λk)2|norteothinortegramo⟩S+F(λk)|wmill⟩S+gramo(λk)|ill⟩S,{\displaystyle |h(\lambda _{k})\rangle ^{S}:={\sqrt {1-f(\lambda _{k})^{2}-g(\lambda _{k})^{2}}}|\mathrm {nothing} \rangle ^{S}+f(\lambda _{k})|\mathrm {well} \rangle ^{S}+g(\lambda _{k})|\mathrm {ill} \rangle ^{S},}
  1. Invierta los pasos 1 a 3, eliminando cualquier dato basura generado durante el proceso.

El procedimiento de estimación de fase en los pasos 1 a 3 estima los valores propios de A hasta un margen de errorϵ{\displaystyle \epsilon }.

El registro auxiliar en el paso 4 es necesario para construir un estado con valores propios invertidos correspondientes a la inversa diagonalizada de A. Los estados 'nothing', 'well' y 'ill' se utilizan para dirigir el cuerpo del bucle; 'nothing' indica que la inversión de la matriz aún no se ha realizado, 'well' indica que sí se ha realizado y el bucle debe detenerse, y 'ill' indica que parte de|b⟩{\displaystyle |b\rangle }se encuentra en el subespacio mal condicionado de A y el algoritmo no puede producir la inversión deseada. Producir un estado proporcional al inverso de A requiere que se mida 'well', tras lo cual el estado general colapsa al resultado deseado.

Bucle principal

El bucle principal sigue la amplificación de amplitud : comenzando conUinortevmirtB|inorteitial⟩{\displaystyle U_{\mathrm {invert} }B|\mathrm {initial} \rangle }aplicar repetidamente

UinortevmirtB(I−2|inorteitial⟩⟨inorteitial|)B†Uinortevmirt†(I−2|wmill⟩⟨wmill|).{\displaystyle U_{\mathrm {invert} }B(I-2|\mathrm {initial} \rangle \langle \mathrm {initial} |)B^{\dagger }U_{\mathrm {invert} }^{\dagger }(I-2|\mathrm {well} \rangle \langle \mathrm {well} |).}

Después de cada iteración,S{\displaystyle S}Se mide y producirá un valor de 'nada', 'bien' o 'mal'. El bucle se repite hasta que se mida 'bien', lo que ocurre con cierta probabilidad.pag{\displaystyle p}. El uso de la amplificación de amplitud logra un error dado utilizandoO(1/pag){\displaystyle O(1/{\sqrt {p}})}consultas, en contraposición a1/pag{\displaystyle 1/p}mediante la repetición ingenua.

Después de medir con éxito 'bien' enS{\displaystyle S}el sistema estará en un estado proporcional a

∑i=⁡1norteβiλj−1|túj⟩=A−1|b⟩=|incógnita⟩.{\displaystyle \sum _{i\mathop {=} 1}^{N}\beta _{i}\lambda _{j}^{-1}|u_{j}\rangle =A^{-1}|b\rangle =|x\rangle .}

La medición cuántica correspondiente a M proporciona entonces una estimación deincógnita→TMETROincógnita→{\displaystyle {\vec {x}}^{T}M{\vec {x}}}.

Análisis

eficiencia clásica

El mejor algoritmo clásico que produce el vector de solución realincógnita→{\displaystyle {\vec {x}}}es la eliminación gaussiana , que se ejecuta enO(norte3){\displaystyle O(N^{3})}tiempo.

Si A es s -disperso y semidefinido positivo, entonces se puede utilizar el método del gradiente conjugado para encontrar el vector solución.incógnita→{\displaystyle {\vec {x}}}, que se puede encontrar enO(nortesκ){\displaystyle O(Ns\kappa )}tiempo minimizando la función cuadrática‖Aincógnita→−b→‖2{\displaystyle \lVert A{\vec {x}}-{\vec {b}}\rVert ^{2}}.

Cuando solo se dispone de una estadística descriptiva del vector de soluciónincógnita→{\displaystyle {\vec {x}}}es necesario, como es el caso del algoritmo HHL, una computadora clásica puede encontrar una estimación deincógnita→†METROincógnita→{\displaystyle {\vec {x}}^{\dagger }M{\vec {x}}}enO(norteκ){\displaystyle O(N{\sqrt {\kappa }})}.

Eficiencia cuántica

Se demostró que el tiempo de ejecución del algoritmo propuesto originalmente por Harrow et al. eraO(κ2registro⁡norte/ε){\displaystyle O(\kappa ^{2}\log N/\varepsilon )}, dóndeε>0{\displaystyle \varepsilon >0}es el parámetro de error yκ{\displaystyle \kappa }es el número de condición deA{\displaystyle A}. Posteriormente se mejoró aO(κregistro3⁡κregistro⁡norte/ε3){\displaystyle O(\kappa \log ^{3}\kappa \log N/\varepsilon ^{3})}por Andris Ambainis [ 7 ] y aO(κregistro⁡norte/ε){\displaystyle O(\kappa \log N/\varepsilon )}para casos de números de condición grandes por Peniel Tsemo et al, [ 8 ] y un algoritmo cuántico con polinomio de tiempo de ejecución enregistro⁡(1/ε){\displaystyle \log(1/\varepsilon )}fue desarrollado por Childs et al. [ 9 ] Dado que el algoritmo HHL mantiene su escala logarítmica ennorte{\displaystyle N}Solo para matrices dispersas o de bajo rango, Wossnig et al. [ 10 ] extendieron el algoritmo HHL basado en una técnica de estimación de valores singulares cuánticos y proporcionaron un algoritmo de sistema lineal para matrices densas que se ejecuta enO(norteregistro⁡norteκ2){\displaystyle O({\sqrt {N}}\log N\kappa ^{2})}tiempo comparado con elO(norteregistro⁡norteκ2){\displaystyle O(N\log N\kappa ^{2})}del algoritmo HHL estándar.

Optimalidad

El rendimiento del algoritmo de inversión de matrices depende del número de condición.κ{\displaystyle \kappa }de A , que es la razón entre los autovalores más grandes y más pequeños. Comoκ{\displaystyle \kappa }A aumenta y se acerca a ser no invertible, por lo que el vector solución se vuelve menos estable y el rendimiento de los métodos de descenso de gradiente disminuye. El algoritmo HHL supone que todos los valores singulares deA{\displaystyle A}quedarse en cama[1/κ,1]{\displaystyle [1/\kappa ,1]}, en cuyo caso el tiempo de ejecución es proporcional aκ2{\displaystyle \kappa ^{2}}, mejorando aún más la aceleración cuandoκ{\displaystyle \kappa }espagoly(registro⁡(norte)){\displaystyle \mathrm {poly} (\log(N))}. [ 1 ]

Un algoritmo cuántico para sistemas lineales con tiempo de ejecución polilogarítmico enκ{\displaystyle \kappa }implicaría que BQP es igual a PSPACE , lo cual se cree que es falso. [ 1 ]

Análisis de errores

La principal fuente de error es la aplicación demiiAt{\displaystyle e^{iAt}}utilizando la simulación hamiltoniana. SiA{\displaystyle A}es s-disperso esto se puede hacer con un error limitado por alguna constanteε{\displaystyle \varepsilon }lo que dará como resultado un error aditivo en el estado de salida.|incógnita⟩{\displaystyle |x\rangle }.

El paso de estimación de fase comete erroresO(1/t0){\displaystyle O(1/t_{0})}al estimarλ{\displaystyle \lambda }, lo que resulta en un error relativo deO((λt0)−1){\displaystyle O((\lambda t_{0})^{-1})}en1/λ{\displaystyle 1/\lambda }. Siλ≥1/κ{\displaystyle \lambda \geq 1/\kappa }, tomandot0=O(κε){\displaystyle t_{0}=O(\kappa \varepsilon )}induce un error final deε{\displaystyle \varepsilon }Esto requiere que el tiempo de ejecución total aumente proporcionalmente aO(1/ε){\displaystyle O(1/\varepsilon )}para minimizar el error.

Realización experimental

Aunque todavía no existe una computadora cuántica de propósito general, aún se puede intentar ejecutar una implementación de prueba de concepto del algoritmo HHL. Esto siguió siendo un desafío durante años, hasta que tres grupos lo lograron de forma independiente en 2013.

El 5 de febrero de 2013, un grupo liderado por Stefanie Barz informó sobre una implementación del algoritmo HHL en una computadora cuántica fotónica. La implementación utilizó dos compuertas de entrelazamiento consecutivas en el mismo par de cúbits codificados por polarización. Se implementaron dos compuertas NOT controladas de forma independiente, donde el funcionamiento exitoso de la primera se anunció mediante la medición de dos fotones auxiliares. Las mediciones experimentales de la fidelidad en el estado de salida obtenido variaron entre el 64,7 % y el 98,1 % debido a la influencia de las emisiones de orden superior de la conversión descendente paramétrica espontánea. [ 4 ]

El 8 de febrero de 2013, Pan et al. informaron sobre una demostración experimental de prueba de concepto del algoritmo cuántico utilizando una computadora cuántica de RMN de 4 cúbits. La implementación se probó utilizando sistemas lineales de 2 variables. En tres experimentos, el vector solución se obtuvo con una fidelidad superior al 96 %. [ 5 ]

El 18 de febrero de 2013, Cai et al. informaron sobre una demostración experimental para la resolución de sistemas lineales de 2x2. El circuito cuántico se optimizó y se integró en una red óptica lineal con cuatro cúbits fotónicos y cuatro compuertas lógicas controladas, que se utilizaron para implementar de forma coherente las subrutinas del algoritmo HHL. Para diversos vectores de entrada, la implementación proporcionó soluciones con fidelidades que oscilaron entre 0,825 y 0,993. [ 11 ]

Otra demostración experimental que utiliza RMN para resolver un sistema de 8*8 fue reportada por Wen et al. [ 12 ] en 2018 utilizando el algoritmo desarrollado por Subaşı et al. [ 13 ].

Aplicaciones propuestas

Se han propuesto varias aplicaciones concretas del algoritmo HHL, que analizan los supuestos de entrada del algoritmo y las garantías de salida para problemas particulares.

Dispersión electromagnética
Clader et al. propusieron una versión del algoritmo HHL que permite incluir un precondicionador , el cual puede utilizarse para mejorar la dependencia del número de condición . El algoritmo se aplicó para calcular la sección transversal de radar de una forma compleja, lo que constituyó uno de los primeros ejemplos de aplicación del algoritmo HHL a un problema concreto. [ 14 ]
Resolución de ecuaciones diferenciales lineales
Berry propuso un algoritmo para resolver problemas de valor inicial lineales dependientes del tiempo utilizando el algoritmo HHL. [ 15 ]
Resolución de ecuaciones diferenciales no lineales
Dos grupos propusieron [ 16 ] algoritmos eficientes para la integración numérica de ecuaciones diferenciales ordinarias no lineales disipativas . Liu et al. [ 17 ] utilizaron la linealización de Carleman para ecuaciones de segundo orden, y Lloyd et al. [ 18 ] emplearon un método de linealización de campo medio inspirado en la ecuación de Schrödinger no lineal para no linealidades de orden general. Las ecuaciones lineales resultantes se resuelven mediante algoritmos cuánticos para ecuaciones diferenciales lineales.
Método de elementos finitos
El método de elementos finitos aproxima ecuaciones diferenciales parciales lineales mediante grandes sistemas de ecuaciones lineales. Montanaro y Pallister demuestran que el algoritmo HHL puede lograr una aceleración cuántica polinómica para los sistemas lineales resultantes. No se esperan aceleraciones exponenciales para problemas de dimensión fija o para los que la solución cumple ciertas condiciones de suavidad, como algunos problemas de alto orden en dinámica de muchos cuerpos o algunos problemas en finanzas computacionales . [ 19 ]
Ajuste por mínimos cuadrados
Wiebe et al. propusieron un algoritmo cuántico para determinar la calidad de un ajuste por mínimos cuadrados . Los coeficientes óptimos no se pueden calcular directamente a partir de la salida del algoritmo cuántico, pero este sí proporciona el error óptimo de mínimos cuadrados. [ 20 ]
Aprendizaje automático
Se han desarrollado numerosos algoritmos de aprendizaje automático cuántico , muchos de los cuales utilizan el algoritmo HHL como subrutina. El tiempo de ejecución de ciertos algoritmos clásicos suele ser polinómico con respecto al tamaño y la dimensión del conjunto de datos, mientras que el algoritmo HHL puede ofrecer una aceleración exponencial en algunos casos. Sin embargo, un trabajo de investigación iniciado por Ewin Tang ha revelado que, para la mayoría de los algoritmos de aprendizaje automático cuántico, existen algoritmos clásicos que proporcionan las mismas aceleraciones exponenciales con supuestos de entrada similares.
Finanzas
Las propuestas para utilizar HHL en finanzas incluyen la resolución de ecuaciones diferenciales parciales para la ecuación de Black-Scholes y la determinación de la optimización de cartera mediante una solución de Markowitz . [ 21 ]
Química cuántica
El método de clúster acoplado linealizado en química cuántica puede reformularse como un sistema de ecuaciones lineales. En 2023, Baskaran et al. propusieron el uso del algoritmo HHL para resolver los sistemas lineales resultantes. [ 22 ] El número de cúbits de registro de estado en el algoritmo cuántico es el logaritmo del número de excitaciones, lo que ofrece una reducción exponencial en el número de cúbits necesarios en comparación con el uso del solucionador de autovalores cuántico variacional o la estimación de fase cuántica .

Dificultades de implementación

Reconociendo la importancia del algoritmo HHL en el campo del aprendizaje automático cuántico , Scott Aaronson [ 23 ] analiza las advertencias y los factores que podrían limitar la ventaja cuántica real del algoritmo.

  1. el vector solución,|b⟩{\displaystyle |b\rangle }, debe prepararse eficientemente en el estado cuántico. Si el vector no es casi uniforme, es probable que la preparación del estado sea costosa, y si lleva tiempoO(nortedo){\displaystyle O(n^{c})}pasos con los que la ventaja exponencial de HHL desaparecería.
  2. Las fases QPE requieren la generación de la unidadmiiAt{\displaystyle e^{iAt}}y su aplicación controlada. La eficiencia de este paso depende de laA{\displaystyle A}matriz siendo dispersa y 'bien condicionada' (bajaκ{\displaystyle \kappa }). De lo contrario, la aplicación demiiAt{\displaystyle e^{iAt}}crecería comoO(nortedo){\displaystyle O(n^{c})}Y, una vez más, la ventaja cuántica del algoritmo desaparecería.
  3. por último, el vector,|incógnita⟩{\displaystyle |x\rangle }no es fácilmente accesible. El algoritmo HHL permite aprender un "resumen" del vector, es decir, el resultado de medir la esperanza de un operador.⟨incógnita|METRO|incógnita⟩{\displaystyle \langle x|M|x\rangle }. Si los valores reales deincógnita→{\displaystyle {\vec {x}}}Si se necesitan, entonces habría que repetir HHL.O(norte){\displaystyle O(n)}veces, matando la aceleración exponencial. Sin embargo, se han propuesto tres formas de evitar obtener los valores reales: primero, si solo se necesitan algunas propiedades de la solución; [ 24 ] segundo, si los resultados se necesitan solo para alimentar operaciones matriciales posteriores; tercero, si solo se necesita una muestra de la solución. [ 25 ]

Véase también

Referencias

  1. 1 2 3 Harrow, Aram W; Hassidim, Avinatan; Lloyd, Seth (2008). "Algoritmo cuántico para sistemas lineales de ecuaciones". Physical Review Letters . 103 (15) 150502. arXiv : 0811.3171 . Bibcode : 2009PhRvL.103o0502H . doi : 10.1103/PhysRevLett.103.150502 . PMID 19905613 . S2CID 5187993 .  
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