Simulación hamiltoniana

La simulación hamiltoniana (también conocida como simulación cuántica ) es un problema en la ciencia de la información cuántica que intenta encontrar la complejidad computacional y los algoritmos cuánticos necesarios para simular sistemas cuánticos. La simulación hamiltoniana es un problema que exige algoritmos que implementen la evolución de un estado cuántico de manera eficiente. El problema de simulación hamiltoniana fue propuesto por Richard Feynman en 1982, donde propuso una computadora cuántica como una posible solución ya que la simulación de hamiltonianos generales parece crecer exponencialmente con respecto al tamaño del sistema. ^[1]

En el problema de simulación hamiltoniana, dado un hamiltoniano ( matriz hermítica que actúa sobre qubits), un tiempo y un error de simulación máximo , el objetivo es encontrar un algoritmo que se aproxime de tal manera que , donde es la evolución ideal y es la norma espectral . Un caso especial del problema de simulación hamiltoniana es el problema de simulación hamiltoniana local. Esto es cuando es un hamiltoniano k-local en qubits donde y actúa de manera no trivial en como máximo qubits en lugar de qubits. ^[2] El problema de simulación hamiltoniana local es importante porque la mayoría de los hamiltonianos que ocurren en la naturaleza son k-locales. ^[2]${\estilo de visualización H}$${\displaystyle 2^{n}\times 2^{n}}$ ${\estilo de visualización n}$${\estilo de visualización t}$${\displaystyle \épsilon}$${\estilo de visualización U}$${\displaystyle ||Ue^{-iHt}||\leq \epsilon }$${\displaystyle e^{-iHt}}$${\estilo de visualización ||\cdot ||}$${\estilo de visualización H}$${\estilo de visualización n}$${\displaystyle H=\sum_{j\mathop {=} 1}^{m}H_{j}}$$Estilo de visualización {\displaystyle H_{j}}$${\estilo de visualización k}$${\estilo de visualización n}$

También conocidas como fórmulas de Trotter o descomposiciones de Trotter-Suzuki, las fórmulas de producto simulan la suma de términos de un hamiltoniano simulando cada uno por separado para un pequeño intervalo de tiempo. ^{[3] [4]} Si , entonces para un ; grande es el número de pasos de tiempo para simular. Cuanto mayor sea , más precisa será la simulación. ${\displaystyle H=A+B+C}$${\displaystyle U=e^{-i(A+B+C)t}=(e^{-iAt/r}e^{-iBt/r}e^{-iCt/r})^{r}}$${\estilo de visualización r}$${\estilo de visualización r}$${\estilo de visualización r}$

Si el hamiltoniano se representa como una matriz dispersa , se puede utilizar el algoritmo de coloración de bordes distribuidos para descomponerlo en una suma de términos, que luego se puede simular mediante un algoritmo de Trotter-Suzuki. ^[5]

${\displaystyle e^{-iHt}=\sum _{n\mathop {=} 0}^{\infty }{\frac {(-iHt)^{n}}{n!}}=I-iHt-{\frac {H^{2}t^{2}}{2}}+{\frac {iH^{3}t^{3}}{6}}+\cdots }$por la expansión de la serie de Taylor . ^[6] Esto dice que durante la evolución de un estado cuántico, el hamiltoniano se aplica una y otra vez al sistema con un número variado de repeticiones. El primer término es la matriz identidad, por lo que el sistema no cambia cuando se aplica, pero en el segundo término el hamiltoniano se aplica una vez. Para implementaciones prácticas, la serie debe truncarse , donde cuanto mayor sea , más precisa será la simulación. ^[7] Esta expansión truncada se implementa luego mediante la técnica de combinación lineal de unitarios (LCU) para la simulación hamiltoniana. ^[6] Es decir, uno descompone el hamiltoniano de modo que cada uno sea unitario (por ejemplo, los operadores de Pauli siempre proporcionan dicha base), y por lo tanto cada uno es también una combinación lineal de unitarios. ${\displaystyle \left(\sum _{n\mathop {=} 0}^{N}{\frac {(-iHt)^{n}}{n!}}\right)}$${\estilo de visualización N}$${\displaystyle H=\sum _{\ell =1}^{L}\alpha _{\ell }H_{\ell }}$${\displaystyle H_{\ell}}$${\displaystyle H^{n}=\sum _{\ell _{1},\ldots ,\ell _{n}=1}^{L}\alpha _{\ell _{1}}\cdots \alpha _{\ell _{n}}H_{\ell _{1}}\cdots H_{\ell _{n}}}$

En el paseo cuántico, se implementa una operación unitaria cuyo espectro está relacionado con el hamiltoniano y luego se utiliza el algoritmo de estimación de fase cuántica para ajustar los valores propios. Esto hace innecesario descomponer el hamiltoniano en una suma de términos como los métodos de Trotter-Suzuki. ^[6]

El algoritmo de procesamiento de señales cuánticas funciona transduciendo los valores propios del hamiltoniano en un qubit ancillar, transformando los valores propios con rotaciones de un solo qubit y finalmente proyectando el ancillar. ^[8] Se ha demostrado que es óptimo en la complejidad de la consulta cuando se trata de simulación hamiltoniana. ^[8]

Tabla de complejidades de los algoritmos de simulación hamiltonianos mencionados anteriormente. La simulación hamiltoniana se puede estudiar de dos maneras. Esto depende de cómo se proporcione el hamiltoniano. Si se proporciona explícitamente, la complejidad de las puertas es más importante que la complejidad de las consultas. Si el hamiltoniano se describe como un oráculo ( caja negra ), entonces el número de consultas al oráculo es más importante que el número de puertas del circuito. La siguiente tabla muestra la complejidad de las puertas y las consultas de las técnicas mencionadas anteriormente.

¿Dónde está la entrada más grande de ? ${\displaystyle ||H||_{\rm {máx}}}$${\estilo de visualización H}$

• Simulador cuántico