Hispanopedia Wiki
Articulo de referencia

Eigensolver cuántico variacional

En computación cuántica , el solucionador de valores propios cuántico variacional ( VQE ) es un algoritmo cuántico para química cuántica , simulaciones cuánticas y problemas de ...

Hispanopedia WikiContenido en espanolLectura gratuita

En computación cuántica , el solucionador de valores propios cuántico variacional ( VQE ) es un algoritmo cuántico para química cuántica , simulaciones cuánticas y problemas de optimización . Se trata de un algoritmo híbrido que utiliza tanto ordenadores clásicos como cuánticos para hallar el estado fundamental de un sistema físico dado. A partir de una suposición inicial , el procesador cuántico calcula el valor esperado del sistema con respecto a una observable , a menudo el hamiltoniano, y se utiliza un optimizador clásico para mejorar dicha suposición. El algoritmo se basa en el método variacional de la mecánica cuántica.

Fue propuesto originalmente en 2014, con los autores correspondientes Alberto Peruzzo, Alán Aspuru-Guzik y Jeremy O'Brien . [ a ] ​​[ 1 ] [ 2 ] El algoritmo también ha encontrado aplicaciones en el aprendizaje automático cuántico y ha sido corroborado por algoritmos híbridos generales entre computadoras cuánticas y clásicas. [ 3 ] Es un ejemplo de un algoritmo cuántico de escala intermedia ruidoso ( NISQ ).

Descripción

Codificación de Pauli

El objetivo del VQE es encontrar un conjunto de operaciones cuánticas que prepare el estado de energía más bajo (o mínimo) de una aproximación cercana a alguna magnitud u observable objetivo. Si bien el único requisito estricto para la representación de un observable es su eficiencia en la estimación de sus valores esperados, suele ser más sencillo si el operador tiene una expresión compacta o simple en términos de operadores de Pauli o productos tensoriales de operadores de Pauli.

Para un sistema fermiónico, suele ser más conveniente qubitizar: es decir, escribir el hamiltoniano de muchos cuerpos del sistema usando la segunda cuantización y luego usar una transformación para escribir los operadores de creación y aniquilación en términos de operadores de Pauli. Los esquemas comunes para fermiones incluyen la transformación de Jordan-Wigner , la transformación de Bravyi-Kitaev [ 4 ] y la transformación de paridad. [ 5 ] [ 6 ]

Una vez el hamiltonianoH^{\displaystyle {\hat {H}}}está escrito en términos de operadores de Pauli y se descartan estados irrelevantes (espacio de dimensión finita), consistiría en una combinación lineal de cadenas de PauliPAG^i{\displaystyle {\sombrero {P}}_{i}}que consiste en productos tensoriales de operadores de Pauli (por ejemploincógnita⊗I⊗Z⊗incógnita{\displaystyle X\otimes I\otimes Z\otimes X}), de tal manera que [ 7 ]

H^=∑iαiPAG^i{\displaystyle {\hat {H}}=\sum _{i}\alpha _{i}{\hat {P}}_{i}},

dóndeαi{\displaystyle \alpha _{i}}son coeficientes numéricos. En función de estos coeficientes, se puede reducir el número de cadenas de Pauli para optimizar el cálculo. [ 8 ]

El VQE se puede adaptar a otros problemas de optimización adaptando el hamiltoniano para que sea una función de coste. [ 9 ]

Ansatz y función de prueba inicial

La elección del estado de ansatz depende del sistema de interés. En la computación cuántica basada en compuertas , el ansatz viene dado por un circuito cuántico parametrizado , cuyos parámetros pueden actualizarse después de cada ejecución. El ansatz debe ser lo suficientemente adaptable para no perder el estado deseado. Un método común para obtener un ansatz válido viene dado por el marco de clúster acoplado unitario (UCC) y sus extensiones. [ 6 ]

Si el ansatz no se elige adecuadamente, el procedimiento puede detenerse en parámetros subóptimos que no corresponden a un mínimo. En esta situación, se dice que el algoritmo ha alcanzado una «meseta estéril». [ 6 ]

Ejemplo de una solución eficiente en cuanto a hardware.

Se puede establecer una función de prueba inicial para iniciar el algoritmo. Por ejemplo, para un sistema molecular, se puede utilizar el método de Hartree-Fock para obtener un estado inicial cercano al estado fundamental real.

Otra variante del circuito ansatz es el ansatz eficiente en hardware, que consiste en una secuencia de compuertas rotacionales de 1 cúbit y compuertas de entrelazamiento de 2 cúbits. El número de repeticiones de las compuertas rotacionales de 1 cúbit y de las compuertas de entrelazamiento de 2 cúbits se denomina profundidad del circuito.

Medición

El valor esperado de un estado dado|ψ(θ1,⋯,θnorte)⟩{\displaystyle |\psi (\theta _{1},\cdots ,\theta _{N})\rangle }con parámetros{θi}i=1norte{\displaystyle \{\theta _{i}\}_{i=1}^{N}}, tiene un valor esperado de la función de energía o costo dado por

mi(θ1,⋯,θnorte)=⟨H^⟩=∑iαi⟨ψ(θ1,⋯,θnorte)|PAG^i|ψ(θ1,⋯,θnorte)⟩{\displaystyle E(\theta _{1},\cdots ,\theta _{n})=\langle {\hat {H}}\rangle =\sum _{i}\alpha _{i}\langle \psi (\theta _{1},\cdots ,\theta _{N})|{\hat {P}}_{i}|\psi (\theta _{1},\cdots ,\theta _{N})\rangle }

Así, para obtener el valor esperado de la energía, se puede medir el valor esperado de cada cadena de Pauli (número de recuentos para un valor dado sobre el número total de recuentos). Este paso corresponde a medir cada cúbit en el eje proporcionado por la cadena de Pauli. [ 9 ] Por ejemplo, para la cadena incógnita⊗Y⊗Y{\displaystyle X\otimes Y\otimes Y}El primer cúbit se mide en el eje x , mientras que los dos últimos se miden en el eje y de la esfera de Bloch . Si solo es posible la medición en el eje z , se pueden usar compuertas de Clifford para transformar entre ejes. Si dos cuerdas de Pauli conmutan, se pueden medir simultáneamente usando el mismo circuito e interpretando el resultado según el álgebra de Pauli.

Método variacional y optimización

Dado un ansatz parametrizado para el autoestado del estado fundamental, con parámetros modificables, se puede encontrar con seguridad el estado parametrizado más cercano al estado fundamental mediante el método variacional de la mecánica cuántica . Utilizando algoritmos clásicos en una computadora digital, se pueden optimizar los parámetros del ansatz. Para esta minimización, es necesario encontrar los mínimos de una función multivariable. Para ello, se pueden utilizar optimizadores clásicos que emplean el descenso de gradiente . [ 9 ]

Formulación

Para un hamiltoniano (H) dado y un vector de estado|ψ⟩{\displaystyle |\psi \rangle } si podemos variar|ψ⟩{\displaystyle |\psi \rangle }arbitrariamente entoncesmin|ψ⟩⟨ψ|H|ψ⟩{\displaystyle \min _{|\psi \rangle }\langle \psi |H|\psi \rangle }será la energía del estado fundamental yarginina|ψ⟩⁡⟨ψ|H|ψ⟩{\displaystyle \operatorname {argmin} _{|\psi \rangle }\langle \psi |H|\psi \rangle }sería un estado fundamental (suponiendo que no haya degeneración). Pero el problema de minimización anterior sobre todos los estados posibles|ψ⟩{\displaystyle |\psi \rangle }donde el estado|ψ⟩{\displaystyle |\psi \rangle } es2norte{\displaystyle 2^{n}}dimensional, es poco práctico. Por lo tanto, para restringir el espacio de búsqueda a un tamaño más práctico (por ejemplo, poly(n)), necesitamos restringir el|ψ⟩{\displaystyle |\psi \rangle } a solo un subconjunto de posibles estados de n cúbits que se basa en el conocimiento convencional de la física, la química y la mecánica cuántica.

Ilustración de alto nivel del algoritmo cuántico variacional

Algoritmo

La figura adjunta ilustra los pasos generales del algoritmo VQE.

El circuitoU(θ→){\displaystyle U({\vec {\theta }})}controla el subconjunto de estados posibles que se pueden crear y el parámetroθ→{\displaystyle {\vec {\theta }}}contiene los parámetros variacionales,θ→=(θ1θ2⋮θpag){\displaystyle {\vec {\theta }}={\begin{pmatrix}\theta _{1}\\\theta _{2}\\\vdots \\\theta _{p}\end{pmatrix}}}donde el número de parámetros elegidos es suficiente para dotar al algoritmo de la capacidad expresiva necesaria para calcular el estado fundamental del sistema, pero no demasiado grande como para aumentar el coste computacional del paso de optimización.

Al ejecutar el circuito muchas veces y actualizar constantemente los parámetros para encontrar los mínimos globales del valor esperado de la observable deseada, se puede aproximar al estado fundamental del sistema dado y almacenarlo en un procesador cuántico como una serie de instrucciones de puerta cuántica .

En el caso del descenso de gradiente, es necesario minimizar una función de coste.F(θ→){\displaystyle f({\vec {\theta }})}donde para el caso VQEF(θ→)=⟨ψ(θ→)|H|ψ(θ→)⟩{\displaystyle f({\vec {\theta }})=\langle \psi ({\vec {\theta }})|H|\psi ({\vec {\theta }})\rangle }La regla de actualización es:

θ→(nuevo)=θ→(viejo)−r∇F(θ→(viejo)){\displaystyle {\vec {\theta }}^{({\text{nuevo}})}={\vec {\theta }}^{({\text{antiguo}})}-r\nabla f({\vec {\theta }}^{({\text{antiguo}})})}

donde r es la tasa de aprendizaje (tamaño del paso) y

∇F(θ→(viejo))=(∂F(θ→(viejo))∂θ1,∂F(θ→(viejo))∂θ2,…)⊤{\displaystyle \nabla f({\vec {\theta }}^{({\text{old}})})=\left({\frac {\partial f({\vec {\theta }}^{({\text{old}})})}{\partial \theta _{1}}},{\frac {\partial f({\vec {\theta }}^{({\text{old}})})}{\partial \theta _{2}}},\ldots \right)^{\top }}

Para calcular los gradientes, se utiliza la regla de desplazamiento de parámetros . [ 10 ] [ 11 ]

Ejemplo

Consideremos un único ejemplo de puerta de Pauli:

U(θ)=mi−iθ2PAG,{\displaystyle U(\theta )=e^{-i{\frac {\theta }{2}}P},}

donde P = X, Y o Z , entonces

∇θU=∂U∂θ=−i2PAGmi−iθ2PAG=−i2PAGU=−i2UPAG{\displaystyle \nabla _{\theta }U={\frac {\partial U}{\partial \theta }}=-{\frac {i}{2}}Pe^{-i{\frac {\theta }{2}}P}=-{\frac {i}{2}}PU=-{\frac {i}{2}}UP}

Como,F(θ)=⟨ϕ|U†AU|ϕ⟩{\displaystyle f(\theta )=\langle \phi |U^{\dagger }AU|\phi \rangle }. De este modo,

∇θF(θ)=∂∂θ⟨ϕ|U†AU|ϕ⟩=⟨ϕ|(i2PAG)U†AU|ϕ⟩+⟨ϕ|U†A(−i2PAG)U|ϕ⟩{\displaystyle \nabla _{\theta }f(\theta )={\frac {\partial }{\partial \theta }}\langle \phi |U^{\dagger }AU|\phi \rangle =\langle \phi |\left({\frac {i}{2}}P\right)U^{\dagger }AU|\phi \rangle +\langle \phi |U^{\dagger }A\left(-{\frac {i}{2}}P\right)U|\phi \rangle }
=12⟨ϕ|U†(θ+π2)AU(θ+π2)|ϕ⟩−12⟨ϕ|U†(θ−π2)AU(θ−π2)|ϕ⟩{\displaystyle ={\frac {1}{2}}\langle \phi |U^{\dagger }(\theta +{\frac {\pi }{2}})AU(\theta +{\frac {\pi }{2}})|\phi \rangle -{\frac {1}{2}}\langle \phi |U^{\dagger }(\theta -{\frac {\pi }{2}})AU(\theta -{\frac {\pi }{2}})|\phi \rangle }
=12(F(θ+π2)−F(θ−π2)){\displaystyle ={\frac {1}{2}}\left(f(\theta +{\frac {\pi }{2}})-f(\theta -{\frac {\pi }{2}})\right)}

El resultado anterior tiene propiedades interesantes, como:

  1. El mismo circuito puede utilizarse para evaluarF(θ){\displaystyle f(\theta )}y∇θF(θ){\displaystyle \nabla _{\theta }f(\theta )}
  2. F(⋅){\displaystyle f(\cdot )}debe evaluarse 2 veces para llegar al valor del gradiente.
  3. A medida que la precisión del ángulo±π2{\displaystyle \pm {\frac {\pi }{2}}}es grande, la precisión de la puerta se puede mantener baja

Ventajas y desventajas

  1. El circuito VQE no requiere muchas compuertas en comparación con el algoritmo de estimación de fase cuántica (QPE), es más robusto frente a errores y se presta bien a las estrategias de mitigación de errores.
  2. Se trata de un método heurístico y, por lo tanto, no garantiza la convergencia al valor del estado fundamental. El método se ve muy influenciado por la elección del circuito de prueba y los métodos de optimización.
  3. El número de mediciones necesarias para determinar el valor del estado fundamental es mayor en comparación con la QPE y se correlaciona aproximadamente con el número de términos del hamiltoniano.
  4. VQE puede ejecutarse en hardware NISQ.
  5. El método VQE es muy versátil, ya que los problemas (aparte de los de química) pueden expresarse como hamiltonianos.

Usar

En química

Hasta 2022, el solucionador de autovalores cuántico variacional solo puede simular moléculas pequeñas como el ion hidruro de helio [ 1 ] o la molécula de hidruro de berilio . [ 12 ] Las moléculas más grandes pueden simularse teniendo en cuenta consideraciones de simetría. En 2020, se demostró una simulación de 12 cúbits de una cadena de hidrógeno (H 12 ) utilizando el procesador cuántico Sycamore de Google . [ 13 ]

Véase también

Notas

  1. ↑ Autores completos: Alberto Peruzzo, Jarrod McClean, Peter Shadbolt, Man-Hong Yung, Xiao-Qi Zhou, Peter J. Love, Alan Aspuru-Guzik y Jeremy L. O'Brien. Todos contribuyeron por igual.

Referencias

  1. 1 2 Peruzzo, Alberto; McClean, Jarrod; Shadbolt, Peter; Yung, Man-Hong; Zhou, Xiao-Qi; Love, Peter J.; Aspuru-Guzik, Alán; O'Brien, Jeremy L. (2014). "Un solucionador de valores propios variacional en un procesador cuántico fotónico" . Nature Communications . 5 (1): 4213. arXiv : 1304.3061 . Bibcode : 2014NatCo...5.4213P . doi : 10.1038/ncomms5213 . ISSN 2041-1723 . PMC 4124861. PMID 25055053 .   
  2. ^ Bharti, Kishor; Cervera-Lierta, Alba; Kyaw, Thi Ha; Haug, Tobías; Alperin-Lea, Sumner; Anand, Abhinav; Degroote, Matías; Heimonen, Hermanni; Kottmann, Jakob S.; Menke, Tim; Mok, Wai-Keong; Sim, Sukin; Kwek, Leong-Chuan; Aspuru-Guzik, Alán (15 de febrero de 2022). "Algoritmos cuánticos ruidosos de escala intermedia" . Reseñas de Física Moderna . 94 (1) 015004. arXiv : 2101.08448 . Código Bib : 2022RvMP...94a5004B . doi : 10.1103/RevModPhys.94.015004 . hdl : 10356/161272 .
  3. ↑ McClean, Jarrod R; Romero, Jonathan; Babbush, Ryan; Aspuru-Guzik, Alán (2016-02-04). "La teoría de los algoritmos híbridos cuántico-clásicos variacionales" . New Journal of Physics . 18 (2) 023023. arXiv : 1509.04279 . Bibcode : 2016NJPh...18b3023M . doi : 10.1088/1367-2630/18/2/023023 . ISSN 1367-2630 . S2CID 92988541 .  
  4. ↑ Bravyi, Sergey B.; Kitaev, Alexei Yu. (2002-05-25). "Computación cuántica fermiónica" . Annals of Physics . 298 (1): 210– 226. arXiv : quant-ph/0003137 . doi : 10.1006/aphy.2002.6254 . ISSN 0003-4916 . 
  5. ↑ Steudtner, M (2019). Métodos para simular fermiones en computadoras cuánticas con limitaciones de hardware (Tesis doctoral). Universidad de Leiden.
  6. 1 2 3 Tilly, Jules; Chen, Hongxiang; Cao, Shuxiang; Picozzi, Dario; Setia, Kanav; Li, Ying; Grant, Edward; Wossnig, Leonard; Rungger, Ivan; Booth, George H.; Tennyson, Jonathan (2022-06-12). "The Variational Quantum Eigensolver: A review of methods and best practices". Physics Reports . 986 : 1– 128. arXiv : 2111.05176 . Bibcode : 2022PhR...986....1T . doi : 10.1016/j.physrep.2022.08.003 . S2CID 243861087 . 
  7. ↑ Peruzzo, Alberto; McClean, Jarrod; Shadbolt, Peter; Yung, Man-Hong; Zhou, Xiao-Qi; Love, Peter J.; Aspuru-Guzik, Alán; O'Brien, Jeremy L. (2014-07-23). ​​"Un solucionador de valores propios variacional en un procesador cuántico" . Nature Communications . 5 (1): 4213. arXiv : 1304.3061 . doi : 10.1038/ncomms5213 . ISSN 2041-1723 . 
  8. ↑ Seeley, Jacob T.; Richard, Martin J.; Love, Peter J. (12 de diciembre de 2012). "La transformación de Bravyi-Kitaev para el cálculo cuántico de la estructura electrónica" . The Journal of Chemical Physics . 137 (22): 224109. arXiv : 1208.5986 . Bibcode : 2012JChPh.137v4109S . doi : 10.1063/1.4768229 . ISSN 0021-9606 . PMID 23248989. S2CID 30699239 .   
  9. 1 2 3 Moll, Nikolaj; Barkoutsos, Panagiotis; Bishop, Lev S; Chow, Jerry M; Cross, Andrew; Egger, Daniel J; Filipp, Stefan; Fuhrer, Andreas; Gambetta, Jay M; Ganzhorn, Marc; Kandala, Abhinav; Mezzacapo, Antonio; Müller, Peter; Riess, Walter; Salis, Gian (2018). "Optimización cuántica mediante algoritmos variacionales en dispositivos cuánticos de corto plazo" . Quantum Science and Technology . 3 (3): 030503. arXiv : 1710.01022 . Bibcode : 2018QS & T....3c0503M . doi : 10.1088/2058-9565/aab822 . ISSN 2058-9565 . S2CID 56376912 .  
  10. ↑ Wierichs, David; Izaac, Josh; Wang, Cody; Lin, Cedric Yen-Yu (2022-01-01). "Reglas generales de cambio de parámetros para gradientes cuánticos". Quantum . 6 : 677. arXiv : 2107.12390 . doi : 10.22331/q-2022-03-30-677 .
  11. ↑ Markovich, Liubov; Malikis, Savvas; Polla, Stefano; Tura, Jordi (2024-06-01). "Regla de cambio de parámetros con selección de fase óptima". Physical Review A . 109 (6) 062429. APS. doi : 10.1103/PhysRevA.109.062429 . hdl : 1887/4175663 .
  12. ↑ Kandala, Abhinav; Mezzacapo, Antonio; Temme, Kristan; Takita, Maika; Brink, Markus; Chow, Jerry M.; Gambetta, Jay M. (2017). "Solucionador de autovalores cuánticos variacionales eficiente en hardware para moléculas pequeñas e imanes cuánticos" . Nature . 549 (7671): 242– 246. arXiv : 1704.05018 . Bibcode : 2017Natur.549..242K . doi : 10.1038 /nature23879 . ISSN 1476-4687 . PMID 28905916. S2CID 4390182 .   
  13. ↑ Arute, Frank; Arya, Kunal; Babbush, Ryan; et al. (2020). "Hartree-Fock en una computadora cuántica de cúbito superconductora" . Science . 369 ( 6507): 1084– 1089. arXiv : 2004.04174 . Bibcode : 2020Sci...369.1084. . doi : 10.1126/science.abb9811 . ISSN 0036-8075 . PMID 32855334. S2CID 215548188 .