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Articulo de referencia

Valor singular

En matemáticas , en particular en análisis funcional , los valores singulares de un operador compacto T : incógnita → Y {\displaystyle \,T\!:X\rightarrow Y} actuando entre espac...

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En matemáticas , en particular en análisis funcional , los valores singulares de un operador compactoT:incógnita→Y{\displaystyle \,T\!:X\rightarrow Y}actuando entre espacios de Hilbertincógnita{\displaystyle X}yY{\displaystyle Y}son las raíces cuadradas de los autovalores (necesariamente no negativos) del operador autoadjuntoT∗T{\displaystyle T^{*}T}(dóndeT∗{\displaystyle T^{*}}denota el adjunto de ⁠T{\displaystyle T}⁠ ).

Los valores singulares son números reales no negativos , generalmente enumerados en orden descendente .(σ1(T)≥σ2(T)≥…){\displaystyle {\big (}\sigma _{1}(T)\geq \sigma _{2}(T)\geq \dots {\big )}}⁠ . El mayor valor singularσ1(T){\displaystyle \sigma _{1}(T)}es igual a la norma del operador deT{\displaystyle T}(véase el teorema min-max ).

Visualización de una descomposición en valores singulares (SVD) de una matriz de corte real bidimensional M. Primero, vemos el disco unitario en azul junto con los dos vectores unitarios canónicos . Luego vemos la acción de M , que distorsiona el disco hasta convertirlo en una elipse . La SVD descompone M en tres transformaciones simples: una rotación V * , un escalado Σ a lo largo de los ejes de coordenadas rotados y una segunda rotación U. Además, Σ es una matriz diagonal (cuadrada, en este ejemplo) que contiene en su diagonal los valores singulares de M , que representan las longitudes σ1 y σ2 de los semiejes de la elipse .

SiT{\displaystyle T}actúa sobre un espacio euclidianoRnorte{\displaystyle \mathbb {R} ^{n}}⁠ , existe una interpretación geométrica simple para los valores singulares: Considere la imagen porT{\displaystyle T}de la esfera unitaria ; este es un elipsoide , y las longitudes de sus semiejes son los valores singulares deT{\displaystyle T}(la figura proporciona un ejemplo enR2{\displaystyle \mathbb {R} ^{2}}).

Los valores singulares son los valores absolutos de los autovalores de una matriz normal .A{\displaystyle A}⁠ , porque el teorema espectral se puede aplicar para obtener la diagonalización unitaria deA{\displaystyle A}como​A=UΛU∗{\displaystyle A=U\varLambda \,U^{*}}⁠ . Por lo tanto,A∗A=UΛ∗ΛU∗=U|Λ|U∗{\textstyle {\sqrt {A^{*}A}}={\sqrt {U\varLambda ^{*}\varLambda \,U^{*}}}=U\left|\varLambda \right|U^{*}}.

La mayoría de las normas sobre operadores de espacio de Hilbert estudiadas se definen utilizando valores singulares. Por ejemplo, el Ky Fan ⁠k{\displaystyle k}La norma - es la suma de los primerosk{\displaystyle k}valores singulares, la norma de traza es la suma de todos los valores singulares, y la norma de Schatten es lapag{\displaystyle p}-ésima raíz de la suma de laspag{\displaystyle p}Potencias -ésimas de los valores singulares. Nótese que cada norma se define solo en una clase especial de operadores, por lo que los valores singulares pueden ser útiles para clasificar diferentes operadores.

En el caso de dimensión finita, una matriz siempre se puede descomponer en la forma ⁠UΣV∗{\displaystyle \mathbf {U\Sigma V^{*}} }, dondeU{\displaystyle \mathbf {U} }yV∗{\displaystyle \mathbf {V^{*}} }son matrices unitarias yΣ{\displaystyle \mathbf {\Sigma } }es una matriz diagonal rectangular con los valores singulares situados en la diagonal. Esta es la descomposición en valores singulares .

Propiedades básicas

ParaA∈dometro×norte{\displaystyle A\in \mathbb {C} ^{m\times n}}y​i=1,2,…,min{metro,norte}{\displaystyle i=1,2,\ldots ,\min\{m,n\}}:​

Teorema min-max para valores singulares : Aquí,U{\displaystyle U}es un subespacio dedonorte{\displaystyle \mathbb {C} ^{n}};​

σi(A)=minoscuro⁡(U)=norte−i+1máximoincógnita∈U‖incógnita‖2=1‖Aincógnita‖2.{\displaystyle \sigma _{i}(A)=\min _{\dim(U)=n-i+1}\max _{\underset {\|x\|_{2}=1}{x\in U}}\left\|Ax\right\|_{2}.}
σi(A)=máximooscuro⁡(U)=iminincógnita∈U‖incógnita‖2=1‖Aincógnita‖2.{\displaystyle \sigma _{i}(A)=\max _{\dim(U)=i}\min _{\underset {\|x\|_{2}=1}{x\in U}}\left\|Ax\right\|_{2}.}

La transposición y la conjugación de matrices no alteran los valores singulares:

⁠σi(A)=σi(AT)=σi(A∗){\displaystyle \sigma _{i}(A)=\sigma _{i}\!\left(A^{\textsf {T}}\right)=\sigma _{i}\!\left(A^{*}\right)}.​

Para cualquier matriz unitariaU∈dometro×metro{\displaystyle U\in \mathbb {C} ^{m\times m}}y​V∈donorte×norte{\displaystyle V\in \mathbb {C} ^{n\times n}}⁠ ,

⁠σi(A)=σi(UAV){\displaystyle \sigma _{i}(A)=\sigma _{i}(UAV)}.​

Relación con los valores propios:

⁠σi2(A)=λi(AA∗)=λi(A∗A){\displaystyle \sigma _{i}^{2}(A)=\lambda _{i}\!\left(AA^{*}\right)=\lambda _{i}\!\left(A^{*}A\right)}.​

Relación con el rastro :

⁠∑i=1norteσi2=tr(A∗A){\displaystyle \sum _{i=1}^{n}\sigma _{i}^{2}={\text{tr}}(A^{*}A)}.​

SiA∗A{\displaystyle A^{*}A}tiene rango completo, el producto de valores singulares esdetA∗A{\displaystyle \det {\sqrt {A^{*}A}}}.​

SiAA∗{\displaystyle AA^{*}}tiene rango completo, el producto de valores singulares esdetAA∗{\displaystyle \det {\sqrt {AA^{*}}}}.​

SiA{\displaystyle A}es cuadrado y tiene rango completo, el producto de valores singulares es|detA|{\displaystyle \vert \!\det A\vert }.​

SiA{\displaystyle A}es normal , entoncesσi(A)=|λi(A)|{\displaystyle \sigma _{i}(A)=\vert \lambda _{i}(A)\vert }⁠ , es decir, sus valores singulares son los valores absolutos de sus autovalores.

Para una matriz rectangular genéricaA{\displaystyle A}⁠ , dejaA~=[0AA∗0]{\textstyle {\tilde {A}}={\begin{bmatrix}0&A\\A^{*}&0\end{bmatrix}}}sea ​​su matriz aumentada . Tiene valores propios±σi(A){\textstyle \pm \sigma _{i}(A)}(donde elσi(A){\textstyle \sigma _{i}(A)}son los valores singulares deA{\textstyle A}) y los autovalores restantes son cero. SeaA=UΣV∗{\textstyle A=U\varSigma \,V^{*}}Sea la descomposición en valores singulares, entonces los autovectores deA~{\textstyle {\tilde {A}}}son[túi±vi]{\textstyle {\begin{bmatrix}\mathbf {u} _{i}\\\pm \mathbf {v} _{i}\end{bmatrix}}}para​±σi{\displaystyle \pm \sigma _{i}}⁠ . [ 1 ] : 52

El valor singular más pequeño

El valor singular más pequeño de una matrizA{\displaystyle A}es​​σnorte(A){\displaystyle \sigma _{\mathrm {n} }(A)}⁠ . Para una matriz no singular ⁠A{\displaystyle A}, tiene las siguientes propiedades:

  • ‖A−1‖2=σnorte−1(A){\displaystyle \|A^{-1}\|_{2}=\sigma _{\mathrm {n} }^{-1}(A)}. [ 2 ] : Teorema 3.3
  • Para todos los índices1≤i,j≤norte{\displaystyle 1\!\leq i,j\leq \!n},​​ {\displaystyle ~}⁠|Ai,j−1|≤σnorte−1(A){\displaystyle |A_{i,j}^{-1}|\leq \sigma _{\mathrm {n} }^{-1}(A)}. [ 2 ] : Teorema 3.3

Intuitivamente, siσnorte(A){\displaystyle \sigma _{\mathrm {n} }(A)}⁠ es pequeño, entonces las filas de ⁠A{\displaystyle A}son "casi" linealmente dependientes. Si lo esσnorte(A)=0{\displaystyle \sigma _{\mathrm {n} }(A)=0}⁠ , luego las filas de ⁠A{\displaystyle A}son linealmente dependientes yA{\displaystyle A}no es invertible.

Desigualdades sobre valores singulares

Véase también: [ 3 ]

Valores singulares de submatrices

ParaA∈dometro×norte{\displaystyle A\in \mathbb {C} ^{m\times n}},

  1. DejarB{\displaystyle B}denotarA{\displaystyle A}con una de sus filas o columnas eliminada.σi+1(A)≤σi(B)≤σi(A){\displaystyle \sigma _{i+1}(A)\leq \sigma _{i}(B)\leq \sigma _{i}(A)}
  2. DejarB{\displaystyle B}denotarA{\displaystyle A}con dos de sus filas y columnas eliminadas.σi+2(A)≤σi(B)≤σi(A){\displaystyle \sigma _{i+2}(A)\leq \sigma _{i}(B)\leq \sigma _{i}(A)}
  3. DejarB{\displaystyle B}denota un(metro−k)×(norte−ℓ){\displaystyle (m-k)\times (n-\ell )}submatriz deA{\displaystyle A}. Entoncesσi+k+ℓ(A)≤σi(B)≤σi(A){\displaystyle \sigma _{i+k+\ell }(A)\leq \sigma _{i}(B)\leq \sigma _{i}(A)}

Valores singulares de A + B

ParaA,B∈dometro×norte{\displaystyle A,B\in \mathbb {C} ^{m\times n}},

  1. ∑i=1kσi(A+B)≤∑i=1k(σi(A)+σi(B)), dónde k=min{metro,norte}.{\displaystyle \sum _{i=1}^{k}\sigma _{i}(A+B)\leq \sum _{i=1}^{k}{\big (}\sigma _{i}(A)+\sigma _{i}(B){\big )},~{\text{where}}~k=\min\{m,n\}.}
  2. σi+j−1(A+B)≤σi(A)+σj(B),∀i,j∈norte∗, i+j−1≤min{metro,norte}.{\displaystyle \sigma _{i+j-1}(A+B)\leq \sigma _{i}(A)+\sigma _{j}(B),\quad \forall \,i,j\in \mathbb {N} ^{*},\ i+j-1\leq \min\{m,n\}.}

Valores singulares de AB

ParaA,B∈donorte×norte{\displaystyle A,B\in \mathbb {C} ^{n\times n}},

  1. ∏i=nortei=norte−k+1σi(A)σi(B)≤∏i=nortei=norte−k+1σi(AB).∏i=1kσi(AB)≤∏i=1kσi(A)σi(B).∑i=1kσipag(AB)≤∑i=1kσipag(A)σipag(B).{\displaystyle {\begin{aligned}\prod _{i=n}^{i=n-k+1}\sigma _{i}(A)\sigma _{i}(B)&\leq \prod _{i=n}^{i=n-k+1}\sigma _{i}(AB).\\\prod _{i=1}^{k}\sigma _{i}(AB)&\leq \prod _{i=1}^{k}\sigma _{i}(A)\sigma _{i}(B).\\\sum _{i=1}^{k}\sigma _{i}^{p}(AB)&\leq \sum _{i=1}^{k}\sigma _{i}^{p}(A)\sigma _{i}^{p}(B).\end{aligned}}}
  2. σnorte(A)σi(B)≤σi(AB)≤σ1(A)σi(B),∀i=1,2,…,norte.{\displaystyle \sigma _{n}(A)\sigma _{i}(B)\leq \sigma _{i}(AB)\leq \sigma _{1}(A)\sigma _{i}(B),\quad \forall i=1,2,\ldots ,n.}

ParaA,B∈dometro×norte{\displaystyle A,B\in \mathbb {C} ^{m\times n}}, [ 4 ]2σi(AB∗)≤σi(A∗A+B∗B),∀i=1,2,…,norte.{\displaystyle 2\sigma _{i}(AB^{*})\leq \sigma _{i}\left(A^{*}A+B^{*}B\right),\quad \forall i=1,2,\ldots ,n.}

Valores singulares y valores propios

ParaA∈donorte×norte{\displaystyle A\in \mathbb {C} ^{n\times n}},

  1. Véase: [ 5 ] .λi(A+A∗)≤2σi(A),∀i=1,2,…,norte.{\displaystyle \lambda _{i}\left(A+A^{*}\right)\leq 2\sigma _{i}(A),\quad \forall i=1,2,\ldots ,n.}
  2. Asumir|λ1(A)|≥⋯≥|λnorte(A)|{\displaystyle \left|\lambda _{1}(A)\right|\geq \cdots \geq \left|\lambda _{n}(A)\right|}. Luego parak=1,2,…,norte{\displaystyle k=1,2,\ldots ,n},
    1. Teorema de Weyl :∏i=1k|λi(A)|≤∏i=1kσi(A).{\displaystyle \prod _{i=1}^{k}\left|\lambda _{i}(A)\right|\leq \prod _{i=1}^{k}\sigma _{i}(A).}
    2. Parapag>0{\displaystyle p>0},∑i=1k|λipag(A)|≤∑i=1kσipag(A).{\displaystyle \sum _{i=1}^{k}\left|\lambda _{i}^{p}(A)\right|\leq \sum _{i=1}^{k}\sigma _{i}^{p}(A).}

Historia

Este concepto fue introducido por Erhard Schmidt en 1907. Schmidt llamó a los valores singulares "autovalores" en ese momento. El nombre "valor singular" fue citado por primera vez por Smithies en 1937. En 1957, Allahverdiev demostró la siguiente caracterización del ⁠norte{\displaystyle n}-ésimo número singular: [ 6 ]

σnorte(T)=inf{‖T−L‖:L es un operador de rango finito <norte}.{\displaystyle \sigma _{n}(T)=\inf {\big \{}\,\|T-L\|:L{\text{ is an operator of finite rank }}<n\,{\big \}}.}

Esta formulación permitió extender la noción de valores singulares a operadores en el espacio de Banach .

Cabe señalar que existe un concepto más general de números s , que también incluye la anchura de Gelfand y de Kolmogorov.

Véase también

Referencias

  1. ↑ Tao, Terence (2012). Temas de teoría de matrices aleatorias . Estudios de posgrado en matemáticas. Providence, RI: American Mathematical Society. ISBN 978-0-8218-7430-1.
  2. 1 2 Demmel, James W. (enero de 1997). Álgebra lineal numérica aplicada . Sociedad de Matemáticas Industriales y Aplicadas. doi : 10.1137/1.9781611971446 . ISBN 978-0-89871-389-3.
  3. ↑ RA Horn y CR Johnson . Temas de análisis matricial. Cambridge University Press, Cambridge, 1991. Cap. 3
  4. ↑ X. Zhan. Desigualdades matriciales. Springer-Verlag, Berlín, Heidelberg, 2002. pág. 28
  5. ↑ R. Bhatia. Análisis matricial. Springer-Verlag, Nueva York, 1997. Prop. III.5.1
  6. ↑ IC Gohberg y MG Krein . Introducción a la teoría de operadores lineales no autoadjuntos. American Mathematical Society, Providence, RI, 1969. Traducido del ruso por A. Feinstein. Traducciones de monografías matemáticas, vol. 18.
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