Del

Del , o nabla , es un operador utilizado en matemáticas (particularmente en cálculo vectorial ) como operador diferencial vectorial , generalmente representado por ∇ (el símbolo nabla ). Cuando se aplica a una función definida en un dominio unidimensional , denota la derivada estándar de la función tal como se define en cálculo . Cuando se aplica a un campo (una función definida en un dominio multidimensional), puede denotar cualquiera de tres operaciones dependiendo de cómo se aplique: el gradiente o pendiente (localmente) más pronunciada de un campo escalar (o a veces de un campo vectorial , como en las ecuaciones de Navier-Stokes ); la divergencia de un campo vectorial; o el rotacional (rotación) de un campo vectorial.

Del es una notación matemática muy conveniente para esas tres operaciones (gradiente, divergencia y rotacional) que facilita la escritura y memorización de muchas ecuaciones. El símbolo del (o nabla) se puede definir formalmente como un operador vectorial cuyos componentes son los operadores de derivada parcial correspondientes . Como operador vectorial, puede actuar sobre campos escalares y vectoriales de tres maneras diferentes, dando lugar a tres operaciones diferenciales distintas: primero, puede actuar sobre campos escalares mediante una multiplicación escalar formal, para dar un campo vectorial llamado gradiente; segundo, puede actuar sobre campos vectoriales mediante un producto escalar formal , para dar un campo escalar llamado divergencia; y, por último, puede actuar sobre campos vectoriales mediante un producto vectorial formal , para dar un campo vectorial llamado rotacional. Estos productos formales no necesariamente conmutan con otros operadores o productos. Estos tres usos se resumen como:

• Gradiente:${\displaystyle \operatorname {grad} f=\nabla f}$
• Divergencia:${\displaystyle \operatorname {div} \mathbf {v} =\nabla \cdot \mathbf {v} }$
• Rizo:${\displaystyle \operatorname {curl} \mathbf {v} =\nabla \times \mathbf {v} }$

En el sistema de coordenadas cartesianas${\displaystyle \mathbb {R} ^{n}}$con coordenadas${\displaystyle (x_{1},\dots ,x_{n})}$y base estándar${\displaystyle \{\mathbf {e} _{1},\dots,\mathbf {e} _{n}\}}$, del es un operador vectorial cuyo${\displaystyle x_{1},\dots ,x_{n}}$Los componentes son los operadores de derivada parcial.${\displaystyle {\partial \over \partial x_{1}},\dots ,{\partial \over \partial x_{n}}}$; eso es,

${\displaystyle \nabla =\sum _{i=1}^{n}\mathbf {e} _{i}{\partial \over \partial x_{i}}=\left({\partial \over \partial x_{1}},\ldots ,{\partial \over \partial x_{n}}\right)}$

donde la expresión entre paréntesis es un vector fila. En el sistema de coordenadas cartesianas tridimensional${\displaystyle \mathbb {R} ^{3}}$con coordenadas${\displaystyle (x,y,z)}$y base estándar o vectores unitarios de ejes${\displaystyle \{\mathbf {e} _{x},\mathbf {e} _{y},\mathbf {e} _{z}\}}$, del se escribe como:

${\displaystyle \nabla =\mathbf {e} _{x}{\partial \over \partial x}+\mathbf {e} _{y}{\partial \over \partial y}+\mathbf {e} _{z}{\partial \over \partial z}=\left({\partial \over \partial x},{\partial \over \partial y},{\partial \over \partial z}\right)}$

Como operador vectorial, del actúa naturalmente sobre campos escalares mediante multiplicación escalar , y actúa naturalmente sobre campos vectoriales mediante productos escalares y productos vectoriales.

Más específicamente, en tres dimensiones, para cualquier campo escalar${\displaystyle f}$y cualquier campo vectorial${\displaystyle \mathbf {F} =(F_{x},F_{y},F_{z})}$, si uno define

${\displaystyle \left(\mathbf {e} _{i}{\partial \over \partial x_{i}}\right)f:={\partial \over \partial x_{i}}(\mathbf {e} _{i}f)={\partial f \over \partial x_{i}}\mathbf {e} _{i}}$

${\displaystyle \left(\mathbf {e} _{i}{\partial \over \partial x_{i}}\right)\cdot \mathbf {F}$ :={\partial \over \partial x_{i}}(\mathbf {e} _{i}\cdot \mathbf {F} )={\partial F_{i} \over \partial x_{i}}}

${\displaystyle \left(\mathbf {e} _{x}{\partial \over \partial x}\right)\times \mathbf {F}$ :={\partial \over \partial x}(\mathbf {e} _{x}\times \mathbf {F} )={\partial \over \partial x}(0,-F_{z},F_{y})}

${\displaystyle \left(\mathbf {e} _{y}{\partial \over \partial y}\right)\times \mathbf {F}$ :={\partial \over \partial y}(\mathbf {e} _{y}\times \mathbf {F} )={\partial \over \partial y}(F_{z},0,-F_{x})}

${\displaystyle \left(\mathbf {e} _{z}{\partial \over \partial z}\right)\times \mathbf {F}$ :={\partial \over \partial z}(\mathbf {e} _{z}\times \mathbf {F} )={\partial \over \partial z}(-F_{y},F_{x},0),}

luego utilizando la definición anterior de${\displaystyle \nabla }$, uno puede escribir

${\displaystyle \nabla f=\left(\mathbf {e} _{x}{\partial \over \partial x}\right)f+\left(\mathbf {e} _{y}{\partial \over \partial y}\right)f+\left(\mathbf {e} _{z}{\partial \over \partial z}\right)f={\partial f \over \partial x}\mathbf {e} _{x}+{\partial f \over \partial y}\mathbf {e} _{y}+{\partial f \over \partial z}\mathbf {e} _{z}}$

y

${\displaystyle \nabla \cdot \mathbf {F} =\left(\mathbf {e} _{x}{\partial \over \partial x}\cdot \mathbf {F} \right)+\left(\mathbf {e} _{y}{\partial \over \partial y}\cdot \mathbf {F} \right)+\left(\mathbf {e} _{z}{\partial \over \partial z}\cdot \mathbf {F} \right)={\partial F_{x} \over \partial x}+{\partial F_{y} \over \partial y}+{\partial F_{z} \over \partial z}}$

y

${\displaystyle {\begin{aligned}\nabla \times \mathbf {F} &=\left(\mathbf {e} _{x}{\partial \over \partial x}\times \mathbf {F} \right)+\left(\mathbf {e} _{y}{\partial \over \partial y}\times \mathbf {F} \right)+\left(\mathbf {e} _{z}{\partial \over \partial z}\times \mathbf {F} \right)\\&={\partial \over \partial x}(0,-F_{z},F_{y})+{\partial \over \partial y}(F_{z},0,-F_{x})+{\partial \over \partial z}(-F_{y},F_{x},0)\\&=\left({\text{ }}{\frac {\partial F_{z}}{\partial y}}-{\frac {\partial F_{y}}{\partial z}}\right)\mathbf {e} _{x}+\left({\text{ }}{\frac {\partial F_{x}}{\partial z}}-{\frac {\partial F_{z}}{\partial x}}\right)\mathbf {e} _{y}+\left({\text{ }}{\frac {\partial F_{y}}{\partial x}}-{\frac {\partial F_{x}}{\partial y}}\right)\mathbf {e} _{z}\end{aligned}}}$

Ejemplo:

${\displaystyle f(x,y,z)=x+y+z}$

${\displaystyle \nabla f=\mathbf {e} _{x}{\partial f \over \partial x}+\mathbf {e} _{y}{\partial f \over \partial y}+\mathbf {e} _{z}{\partial f \over \partial z}=\left(1,1,1\right)}$

Del también puede expresarse en otros sistemas de coordenadas, véase por ejemplo del en coordenadas cilíndricas y esféricas .

Del se utiliza como una forma abreviada para simplificar muchas expresiones matemáticas largas. Se usa con mayor frecuencia para simplificar expresiones para el gradiente , la divergencia , el rotacional , la derivada direccional y el laplaciano .

Para cálculo vectorial :

${\displaystyle {\begin{aligned}\nabla (fg)&=f\nabla g+g\nabla f\\\nabla (\mathbf {u} \cdot \mathbf {v} )&=\mathbf {u} \times (\nabla \times \mathbf {v} )+\mathbf {v} \times (\nabla \times \mathbf {u} )+(\mathbf {u} \cdot \nabla )\mathbf {v} +(\mathbf {v} \cdot \nabla )\mathbf {u} \\\nabla \cdot (f\mathbf {v} )&=f(\nabla \cdot \mathbf {v} )+\mathbf {v} \cdot (\nabla f)\\\nabla \cdot (\mathbf {u} \times \mathbf {v} )&=\mathbf {v} \cdot (\nabla \times \mathbf {u} )-\mathbf {u} \cdot (\nabla \times \mathbf {v} )\\\nabla \times (f\mathbf {v} )&=(\nabla f)\times \mathbf {v} +f(\nabla \times \mathbf {v} )\\\nabla \times (\mathbf {u} \times \mathbf {v} )&=\mathbf {u} \,(\nabla \cdot \mathbf {v} )-\mathbf {v} \,(\nabla \cdot \mathbf {u} )+(\mathbf {v} \cdot \nabla )\,\mathbf {u} -(\mathbf {u} \cdot \nabla )\,\mathbf {v} \end{aligned}}}$

Para el cálculo matricial (para el cual${\displaystyle \mathbf {u} \cdot \mathbf {v} }$se puede escribir${\displaystyle \mathbf {u} ^{\text{T}}\mathbf {v} }$):

${\displaystyle {\begin{aligned}\left(\mathbf {A} \nabla \right)^{\text{T}}\mathbf {u} &=\nabla ^{\text{T}}\left(\mathbf {A} ^{\text{T}}\mathbf {u} \right)-\left(\nabla ^{\text{T}}\mathbf {A} ^{\text{T}}\right)\mathbf {u} \end{aligned}}}$

Otra relación de interés (véase, por ejemplo, las ecuaciones de Euler ) es la siguiente, donde${\displaystyle \mathbf {u} \otimes \mathbf {v} }$es el tensor de producto exterior :

${\displaystyle {\begin{aligned}\nabla \cdot (\mathbf {u} \otimes \mathbf {v} )=(\nabla \cdot \mathbf {u} )\mathbf {v} +(\mathbf {u} \cdot \nabla )\mathbf {v} \end{aligned}}}$

Cuando la operación `del` se aplica a un escalar o vector, devuelve un escalar o un vector. Debido a la diversidad de productos vectoriales (escalar, escalar, vectorial), una sola aplicación de `del` ya genera tres derivadas principales: el gradiente (producto escalar), la divergencia (producto escalar) y el rotacional (producto vectorial). Al aplicar nuevamente estos tres tipos de derivadas entre sí, se obtienen cinco posibles segundas derivadas para un campo escalar f o un campo vectorial v ; el uso del laplaciano escalar y el laplaciano vectorial proporciona dos más:

${\displaystyle {\begin{aligned}\operatorname {div} (\operatorname {grad} f)&=\nabla \cdot (\nabla f)=\nabla ^{2}f\\\operatorname {curl} (\operatorname {grad} f)&=\nabla \times (\nabla f)\\\operatorname {grad} (\operatorname {div} \mathbf {v} )&=\nabla (\nabla \cdot \mathbf {v} )\\\operatorname {div} (\operatorname {curl} \mathbf {v} )&=\nabla \cdot (\nabla \times \mathbf {v} )\\\operatorname {curl} (\operatorname {curl} \mathbf {v} )&=\nabla \times (\nabla \times \mathbf {v} )\\\Delta f&=\nabla ^{2}f\\\Delta \mathbf {v} &=\nabla ^{2}\mathbf {v} \end{aligned}}}$

Estas son de interés principalmente porque no siempre son únicas o independientes entre sí. Siempre que las funciones se comporten bien (${\displaystyle C^{\infty }}$en la mayoría de los casos), dos de ellos siempre son cero:

${\displaystyle {\begin{aligned}\operatorname {curl} (\operatorname {grad} f)&=\nabla \times (\nabla f)=0\\\operatorname {div} (\operatorname {curl} \mathbf {v} )&=\nabla \cdot (\nabla \times \mathbf {v} )=0\end{aligned}}}$

Dos de ellos siempre son iguales:

${\displaystyle \operatorname {div} (\operatorname {grad} f)=\nabla \cdot (\nabla f)=\nabla ^{2}f=\Delta f}$

Las 3 derivadas vectoriales restantes están relacionadas por la ecuación:

${\displaystyle \nabla \times \left(\nabla \times \mathbf {v} \right)=\nabla (\nabla \cdot \mathbf {v} )-\nabla ^{2}\mathbf {v} }$

Y una de ellas incluso puede expresarse con el producto tensorial, si las funciones se comportan adecuadamente:

${\displaystyle \nabla (\nabla \cdot \mathbf {v} )=\nabla \cdot (\mathbf {v} \otimes \nabla )}$

La mayoría de las propiedades vectoriales mencionadas anteriormente (excepto aquellas que dependen explícitamente de las propiedades diferenciales de del —por ejemplo, la regla del producto—) dependen únicamente de la reorganización de símbolos y deben cumplirse necesariamente si el símbolo del se reemplaza por cualquier otro vector. Esto forma parte de la ventaja de representar este operador mediante notación vectorial.

Aunque a menudo se puede reemplazar del por un vector y obtener una identidad vectorial, lo que hace que esas identidades sean mnemotécnicas, lo contrario no es necesariamente fiable, porque del no conmuta en general.

Un contraejemplo que demuestra la divergencia (${\displaystyle \nabla \cdot \mathbf {v} }$) y el operador de advección (${\displaystyle \mathbf {v} \cdot \nabla }$) no son conmutativas:

${\displaystyle {\begin{aligned}(\mathbf {u} \cdot \mathbf {v} )f&\equiv (\mathbf {v} \cdot \mathbf {u} )f\\(\nabla \cdot \mathbf {v} )f&=\left({\frac {\partial v_{x}}{\partial x}}+{\frac {\partial v_{y}}{\partial y}}+{\frac {\partial v_{z}}{\partial z}}\right)f={\frac {\partial v_{x}}{\partial x}}f+{\frac {\partial v_{y}}{\partial y}}f+{\frac {\partial v_{z}}{\partial z}}f\\(\mathbf {v} \cdot \nabla )f&=\left(v_{x}{\frac {\partial }{\partial x}}+v_{y}{\frac {\partial }{\partial y}}+v_{z}{\frac {\partial }{\partial z}}\right)f=v_{x}{\frac {\partial f}{\partial x}}+v_{y}{\frac {\partial f}{\partial y}}+v_{z}{\frac {\partial f}{\partial z}}\\\Rightarrow (\nabla \cdot \mathbf {v} )f&\neq (\mathbf {v} \cdot \nabla )f\\\end{aligned}}}$

Un contraejemplo que se basa en las propiedades diferenciales de del:

${\displaystyle {\begin{aligned}(\nabla x)\times (\nabla y)&=\left(\mathbf {e} _{x}{\frac {\partial x}{\partial x}}+\mathbf {e} _{y}{\frac {\partial x}{\partial y}}+\mathbf {e} _{z}{\frac {\partial x}{\partial z}}\right)\times \left(\mathbf {e} _{x}{\frac {\partial y}{\partial x}}+\mathbf {e} _{y}{\frac {\partial y}{\partial y}}+\mathbf {e} _{z}{\frac {\partial y}{\partial z}}\right)\\&=(\mathbf {e} _{x}\cdot 1+\mathbf {e} _{y}\cdot 0+\mathbf {e} _{z}\cdot 0)\times (\mathbf {e} _{x}\cdot 0+\mathbf {e} _{y}\cdot 1+\mathbf {e} _{z}\cdot 0)\\&=\mathbf {e} _{x}\times \mathbf {e} _{y}\\&=\mathbf {e} _{z}\\(\mathbf {u} x)\times (\mathbf {u} y)&=xy(\mathbf {u} \times \mathbf {u} )\\&=xy\mathbf {0} \\&=\mathbf {0} \end{aligned}}}$

Fundamental para estas distinciones es el hecho de que del no es simplemente un vector; es un operador vectorial . Mientras que un vector es un objeto con magnitud y dirección, del no tiene ni magnitud ni dirección hasta que opera sobre una función.

Por esa razón, las identidades que involucran del deben derivarse con cuidado, utilizando tanto identidades vectoriales como identidades de diferenciación , como la regla del producto.

• Del en coordenadas cilíndricas y esféricas
• Operador de Dirac
• Ecuaciones de Maxwell
• Símbolo de Nabla
• Ecuaciones de Navier-Stokes
• Notación para la diferenciación
• Operador de Quabla
• Tabla de símbolos matemáticos
• Identidades del cálculo vectorial

• Willard Gibbs y Edwin Bidwell Wilson (1901) Análisis vectorial , Yale University Press , 1960: Dover Publications .
• Schey, HM (1997). Div, Grad, Curl, and All That: An Informal Text on Vector Calculus . Nueva York: Norton. ISBN 0-393-96997-5.
• Miller, Jeff. "Primeros usos de los símbolos del cálculo" .
• Arnold Neumaier (26 de enero de 1998). Cleve Moler (ed.). "Historia de Nabla" . NA Digest, Volumen 98, Número 03. netlib.org.

• Tai, Chen-To (1994). Un estudio sobre el uso indebido de ∇ en el análisis vectorial (Informe). Laboratorio de Radiación, Universidad de Michigan. hdl : 2027.42/7869 .