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La conjetura de Goldbach

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La conjetura de Goldbach es uno de los problemas sin resolver más antiguos y conocidos de la teoría de números y de todas las matemáticas . Afirma que todo número natural par mayor que 2 es la suma de dos números primos .

Se ha demostrado que la conjetura es válida para todos los números naturales menores que4 × 10 18 , pero sigue sin estar probado a pesar de los considerables esfuerzos.

Historia

Orígenes

El 7 de junio de 1742, el matemático prusiano Christian Goldbach escribió una carta a Leonhard Euler (carta XLIII), [ 2 ] en la que propuso la siguiente conjetura:

Todo número entero que se puede escribir como la suma de dos números primos también se puede escribir como la suma de tantos números primos (incluida la unidad) como se desee, hasta que todos los términos sean unidades. [ a ]

Goldbach seguía la convención ahora abandonada de considerar 1 como un número primo , [ 3 ] de modo que una suma de unidades sería una suma de primos. Luego propuso una segunda conjetura en el margen de su carta, que implica la primera: [ b ]

Parece, al menos, que todo número entero mayor que 2 puede escribirse como la suma de tres números primos. [ c ]

Euler respondió en una carta fechada el 30 de junio de 1742 [ 4 ] y le recordó a Goldbach una conversación anterior que habían tenido ( "...  so Ew. vormals mit mir communicirt haben  ..." ), en la que Goldbach había comentado que la primera de esas dos conjeturas se derivaría de la declaración

Todo número par positivo se puede escribir como la suma de dos números primos.

Esto es, de hecho, equivalente a su segunda conjetura marginal. En la carta fechada el 30 de junio de 1742, Euler afirmó: [ 5 ] [ 6 ]

Que  ... todo número par es suma de dos números primos, lo considero un teorema completamente cierto, aunque no puedo demostrarlo. [ d ]

La conjetura de Descartes, más débil

René Descartes escribió: «Todo número par puede expresarse como la suma de, como máximo, tres números primos». [ 7 ] Esta proposición es similar a la conjetura de Goldbach, pero más débil. Paul Erdős dijo: «Descartes descubrió esto antes que Goldbach... pero es mejor que la conjetura lleve el nombre de Goldbach porque, matemáticamente hablando, Descartes era infinitamente rico y Goldbach muy pobre». [ 8 ]

Resultados parciales

La conjetura de Goldbach que involucra la suma de dos primos es mucho más difícil que la conjetura débil de Goldbach , que dice que todo entero impar mayor que 5 es la suma de tres primos. Usando el método de Vinogradov , Nikolai Chudakov , [ 9 ] Johannes van der Corput , [ 10 ] y Theodor Estermann [ 11 ] demostraron (1937–1938) que casi todos los números pares pueden escribirse como la suma de dos primos (en el sentido de que la fracción de números pares hasta algún N que pueden escribirse de esa manera tiende a 1 a medida que N aumenta). En 1930, Lev Schnirelmann demostró que cualquier número natural mayor que 1 puede escribirse como la suma de no más de C números primos, donde C es una constante efectivamente computable; véase la densidad de Schnirelmann . [ 12 ] [ 13 ] La constante de Schnirelmann es el número más bajo C con esta propiedad. El propio Schnirelmann obtuvo C <800 000 . Este resultado fue posteriormente ampliado por muchos autores, como Olivier Ramaré , quien en 1995 demostró que todo número par n ≥ 4 es, de hecho, la suma de como máximo 6 primos. El resultado más conocido proviene de la demostración de la conjetura débil de Goldbach por Harald Helfgott , [ 14 ] que implica directamente que todo número par n ≥ 4 es la suma de como máximo 4 primos. [ 15 ] [ 16 ]

En 1924, Hardy y Littlewood demostraron [ 17 ] bajo el supuesto de la hipótesis generalizada de Riemann que el número de números pares hasta X que violan la conjetura de Goldbach es mucho menor que X 1 ⁄ 2 + c para c pequeño . [ 18 ]

En 1948, utilizando métodos de la teoría de la criba , Alfréd Rényi demostró que todo número par suficientemente grande puede escribirse como la suma de un primo y un casi primo con como máximo K factores. [ 19 ] Chen Jingrun demostró en 1973, también utilizando la teoría de la criba, que todo número par suficientemente grande puede escribirse como la suma de dos primos, o de un primo y un semiprimo (el producto de dos primos). [ 20 ] Véase el teorema de Chen para más información.

En 1975, Hugh Lowell Montgomery y Bob Vaughan demostraron que la mayoría de los números pares pueden expresarse como la suma de dos números primos. Más precisamente, demostraron que existen constantes positivas c y C tales que, para todo número N suficientemente grande , todo número par menor que N es la suma de dos números primos, con como máximo CN 1 − c excepciones. En particular, el conjunto de enteros pares que no son la suma de dos números primos tiene densidad cero.

En 1951, Yuri Linnik demostró la existencia de una constante K tal que todo número par suficientemente grande es la suma de dos primos y como máximo K potencias de 2. János Pintz e Imre Ruzsa descubrieron en 2020 que K = 8 funciona. [ 21 ] Suponiendo la hipótesis generalizada de Riemann , K = 7 también funciona, como demostraron Roger Heath-Brown y Jan-Christoph Schlage-Puchta en 2002. [ 22 ]

En 2013, Harald Helfgott presentó una demostración de la conjetura débil a la serie de libros Annals of Mathematics Studies . El artículo fue aceptado, pero Helfgott decidió realizar modificaciones importantes sugeridas por el revisor. [ 23 ] [ 24 ] [ 25 ] La conjetura débil se deduce de la conjetura de Goldbach, como si n − 3 es suma de dos primos, entonces n es suma de tres primos. Pero la implicación recíproca y, por lo tanto, la conjetura de Goldbach, siguen sin demostrarse incluso si la demostración de Helfgott es correcta.

Resultados computacionales

Para valores pequeños de n , la conjetura de Goldbach (y por lo tanto la conjetura débil de Goldbach) se puede verificar directamente. Por ejemplo, en 1938, Nils Pipping verificó laboriosamente la conjetura hasta n =100 000 . [ 26 ] Con la llegada de las computadoras, se han comprobado muchos más valores de n ; T. Oliveira e Silva realizó una búsqueda distribuida por computadora que verificó la conjetura para n ≤4 × 10 18 (y doblemente comprobado hasta4 × 10 17 ) a partir de 2013. Un registro de esta búsqueda es que3 325 581 707 333 960 528 es el número más pequeño que no se puede escribir como suma de dos primos donde uno es menor que 9781. [ 27 ]

Declaración formal

Cada una de las tres conjeturas tiene un análogo natural en términos de la definición moderna de número primo, según la cual el 1 queda excluido. Una versión moderna de la primera conjetura es:

Todo número entero que se pueda escribir como la suma de dos números primos también se puede escribir como la suma de tantos números primos como se desee, hasta que todos los términos sean dos (si el número entero es par) o un término sea tres y todos los demás términos sean dos (si el número entero es impar).

Una versión moderna de la conjetura marginal es:

Todo número entero mayor que 5 se puede escribir como la suma de tres números primos.

Y una versión moderna de la antigua conjetura de Goldbach que Euler le recordó es:

Todo número par mayor que 2 se puede escribir como la suma de dos números primos.

Estas versiones modernas podrían no ser del todo equivalentes a las afirmaciones originales correspondientes. Por ejemplo, si existiera un entero par N = p + 1 mayor que 4, donde p es primo, que no pudiera expresarse como la suma de dos primos en el sentido moderno, entonces sería un contraejemplo a la versión moderna de la tercera conjetura (sin ser un contraejemplo a la versión original). Por lo tanto, la versión moderna es probablemente más fuerte (pero para confirmarlo, habría que demostrar que la primera versión, aplicada libremente a cualquier entero par positivo n , no podría descartar la existencia de un contraejemplo N tan específico ). En cualquier caso, las afirmaciones modernas tienen las mismas relaciones entre sí que las afirmaciones antiguas. Es decir, la segunda y la tercera afirmación moderna son equivalentes, y cualquiera de ellas implica la primera afirmación moderna.

La tercera formulación moderna (equivalente a la segunda) es la forma en que la conjetura se suele expresar hoy en día. También se la conoce como la conjetura de Goldbach " fuerte ", "par" o "binaria". Una forma más débil de la segunda formulación moderna, conocida como " conjetura débil de Goldbach ", "conjetura impar de Goldbach" o "conjetura ternaria de Goldbach", afirma que

Todo número entero impar mayor que 7 se puede escribir como la suma de tres números primos impares.

Justificación heurística

Sumas de dos números primos en las intersecciones de tres líneas.

Las consideraciones estadísticas que se centran en la distribución de probabilidad de los números primos presentan evidencia informal a favor de la conjetura (tanto en su forma débil como fuerte) para enteros suficientemente grandes : cuanto mayor sea el entero, más formas hay disponibles para que ese número se represente como la suma de otros dos o tres números y más "probable" es que al menos una de estas representaciones consista enteramente en números primos.

Número de maneras de escribir un número par n como suma de dos números primos (secuencia A002375 en la OEIS ).

Una versión muy simple del argumento heurístico probabilístico (para la forma fuerte de la conjetura de Goldbach) es la siguiente. El teorema de los números primos afirma que un entero m seleccionado al azar tiene aproximadamente una probabilidad de 1 / ln m de ser primo. Por lo tanto, si n es un entero par grande y m es un número entre 3 y n / 2 , entonces se podría esperar que la probabilidad de que m y n − m sean primos simultáneamente sea 1 / ln m ln ( n − m ) . Si se sigue esta heurística, se podría esperar que el número total de maneras de escribir un entero par grande n como la suma de dos primos impares sea aproximadamente

∑metro=3norte21ln⁡metro1ln⁡(norte−metro)≈norte2(ln⁡norte)2.{\displaystyle \sum _{m=3}^{\frac {n}{2}}{\frac {1}{\ln m}}{\frac {1}{\ln(nm)}}\approx {\frac {n}{2(\ln n)^{2}}}.}

Desdeln⁡norte≪norte{\displaystyle \ln n\ll {\sqrt {n}}}Esta cantidad tiende al infinito a medida que n aumenta, y cabría esperar que cada entero par grande no tenga solo una representación como suma de dos primos, sino de hecho muchísimas representaciones de este tipo.

Este argumento heurístico es, en realidad, algo impreciso, ya que presupone que los eventos de que m y n − m sean primos son estadísticamente independientes entre sí. Por ejemplo, si m es impar, entonces n − m también lo es, y si m es par, entonces n − m también lo es, una relación no trivial porque, aparte del 2, solo los números impares pueden ser primos. De manera similar, si n es divisible por 3, y m ya era primo distinto de 3, entonces n − m también sería coprimo con 3 y, por lo tanto, tendría una probabilidad ligeramente mayor de ser primo que un número cualquiera. Profundizando en este tipo de análisis, GH Hardy y John Edensor Littlewood en 1923 conjeturaron (como parte de su conjetura de tuplas primas de Hardy-Littlewood ) que para cualquier c ≥ 2 fijo , el número de representaciones de un entero grande n como la suma de c primos n = p 1 + ⋯ + p c con p 1 ≤ ⋯ ≤ p c debería ser asintóticamente igual a

(∏pagpagγdo,pag(norte)(pag−1)do)∫2≤incógnita1≤⋯≤incógnitado:incógnita1+⋯+incógnitado=nortedincógnita1⋯dincógnitado−1ln⁡incógnita1⋯ln⁡incógnitado,{\displaystyle \left(\prod _{p}{\frac {p\gamma _{c,p}(n)}{(p-1)^{c}}}\right)\int _{2\leq x_{1}\leq \cdots \leq x_{c}:x_{1}+\cdots +x_{c}=n}{\frac {dx_{1}\cdots dx_{c-1}}{\ln x_{1}\cdots \ln x_{c}}},}

donde el producto se extiende sobre todos los primos p, y γc, p ( n ) es el número de soluciones de la ecuación n = q1 + ... + qc mod p en aritmética modular , sujeta a las restricciones q1 , ... , qc ≠ 0 mod p . Esta fórmula ha sido rigurosamente probada como asintóticamente válida para c ≥ 3 a partir del trabajo de Ivan Matveevich Vinogradov , pero sigue siendo solo una conjetura cuando c = 2. En este último caso, la fórmula anterior se simplifica a 0 cuando n es impar, y a

2Π2(∏pag∣norte;pag≥3pag−1pag−2)∫2nortedincógnita(ln⁡incógnita)2≈2Π2(∏pag∣norte;pag≥3pag−1pag−2)norte(ln⁡norte)2{\displaystyle 2\Pi _{2}\left(\prod _{p\mid n;p\geq 3}{\frac {p-1}{p-2}}\right)\int _{2}^{n}{\frac {dx}{(\ln x)^{2}}}\approx 2\Pi _{2}\left(\prod _{p\mid n;p\geq 3}{\frac {p-1}{p-2}}\right){\frac {n}{(\ln n)^{2}}}}

cuando n es par, donde Π 2 es la constante prima gemela de Hardy-Littlewood.

Π2:=∏pagpagrimetromi≥3(1−1(pag−1)2)≈0,660161815846869573927812110014…{\displaystyle \Pi _{2}:=\prod _{p\;{\rm {prime}}\geq 3}\left(1-{\frac {1}{(p-1)^{2}}}\right)\approx 0.66016\,18158\,46869\,57392\,78121\,10014\dots }

A veces se la conoce como la conjetura extendida de Goldbach . De hecho, la conjetura de Goldbach es muy similar a la conjetura de los primos gemelos , y se cree que ambas conjeturas tienen una dificultad aproximadamente comparable.

función de partición de Goldbach

Cometa de Goldbach; los puntos rojo, azul y verde corresponden respectivamente a los valores 0, 1 y 2 módulo 3 del número.

ElLa función de partición de Goldbach asocia a cada entero par el número de maneras en que puede descomponerse en una suma de dos primos. Su gráfica se asemeja a uncometay, por lo tanto, se denominacometa de Goldbach. [ 28 ]

El experimento del cometa de Goldbach sugiere límites superiores e inferiores estrictos para el número de representaciones de un número par como suma de dos números primos, y también que el número de estas representaciones depende fuertemente del valor módulo 3 del número.

Aunque la conjetura de Goldbach implica que todo entero positivo mayor que uno puede escribirse como suma de, como máximo, tres primos, no siempre es posible hallar dicha suma utilizando un algoritmo voraz que emplea el primo más grande posible en cada paso. La secuencia de Pillai rastrea los números que requieren la mayor cantidad de primos en sus representaciones voraces. [ 29 ]

Existen problemas similares a la conjetura de Goldbach en los que los números primos se reemplazan por otros conjuntos particulares de números, como los cuadrados:

La conjetura de Goldbach se utiliza para estudiar la complejidad computacional. [ 35 ] La conexión se establece a través de la función Busy Beaver , donde BB( n ) es el número máximo de pasos que puede dar cualquier máquina de Turing de n estados antes de detenerse. Existe una máquina de Turing de 27 estados que se detiene si y solo si la conjetura de Goldbach es falsa. [ 35 ] Por lo tanto, si se conociera BB(27) y la máquina de Turing no se detuviera en ese número de pasos, se sabría que funciona indefinidamente y, por consiguiente, no existirían contraejemplos (lo que demostraría la conjetura). Esta es una forma completamente impráctica de resolver la conjetura; en cambio, se utiliza para sugerir que BB(27) será muy difícil de calcular, al menos tan difícil como resolver la conjetura de Goldbach.

La conjetura de Goldbach ( chino :哥德巴赫猜想) es el título de la biografía de Xu Chi del matemático y teórico de números chino Chen Jingrun .

La conjetura es un punto central en la trama de la novela de Apostolos Doxiadis de 1992, El tío Petros y la conjetura de Goldbach , en el cuento de Isaac Asimov " Sesenta millones de billones de combinaciones " y en la novela de misterio de Michelle Richmond de 2008, Nadie que conozcas . [ 36 ]

La conjetura de Goldbach forma parte de la trama de la película española de 2007, La habitación de Fermat .

La conjetura de Goldbach se presenta como el tema principal de investigación del personaje epónimo Marguerite en la película franco-suiza de 2023 Marguerite's Theorem . [ 37 ]

La conjetura de Goldbach es un recurso argumental en la novela corta de Frederik Pohl " El oro al final del arcoíris ". [ 38 ]

Notas

  1. ↑ En alemán : ...  dass jede Zahl, welche aus zweyen numeris primis zusammengesetzt ist, ein aggregatum so vieler numerorum primorum sey, als man will (die unitatem mit dazu gerechnet), bis auf die congeriem omnium unitatum
  2. ↑ En la versión impresa publicada por P. H. Fuss [ 1 ] el 2 aparece mal impreso como 1 en la conjetura marginal.
  3. ↑ En alemán : Es scheinet wenigstens, dass eine jede Zahl, die grösser ist als 2, ein aggregatum trium numerorum primorum sey.
  4. ↑ En alemán : Dass  ... ein jeder numerus par eine summa duorum primorum sey, halte ich für ein ganz gewisses theorema, ungeachtet ich dasselbe nicht demonstriren kann.

Referencias

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Lecturas adicionales

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  • Logotipo de Wikimedia CommonsContenido multimedia relacionado con la conjetura de Goldbach en Wikimedia Commons.
  • "Problema de Goldbach" , Enciclopedia de Matemáticas , EMS Press , 2001 [1994]
  • Carta original de Goldbach a Euler — formato PDF (en alemán y latín) Archivada el 16 de septiembre de 2009 en Wayback Machine
  • La conjetura de Goldbach se archivó el 18 de septiembre de 2008 en Wayback Machine , parte de las Prime Pages de Chris Caldwell.
  • Verificación de la conjetura de Goldbach , búsqueda informática distribuida de Tomás Oliveira e Silva.