Número práctico

En teoría de números , un número práctico o número panarítmico ^{[ 1 ]} es un entero positivo.${\displaystyle n}$de tal manera que todos los enteros positivos más pequeños se pueden representar como sumas de divisores distintos de${\displaystyle n}$Por ejemplo, 12 es un número práctico porque todos los números del 1 al 11 se pueden expresar como sumas de sus divisores 1, 2, 3, 4 y 6: además de estos divisores mismos, tenemos 5 = 3 + 2, 7 = 6 + 1, 8 = 6 + 2, 9 = 6 + 3, 10 = 6 + 3 + 1 y 11 = 6 + 3 + 2.

La secuencia de números prácticos (secuencia A005153 en el OEIS ) comienza

Fibonacci utilizó números prácticos en su Liber Abaci (1202) en relación con el problema de representar números racionales como fracciones egipcias . Fibonacci no define formalmente los números prácticos, pero proporciona una tabla de expansiones de fracciones egipcias para fracciones con denominadores prácticos. ^{[ 2 ]}

El término «número práctico» se debe a Srinivasan (1948) . Él observó que «las subdivisiones de dinero, pesos y medidas involucran números como 4, 12, 16, 20 y 28, que generalmente se consideran tan inconvenientes que merecen ser reemplazados por potencias de 10». Su clasificación parcial de estos números fue completada por Stewart (1954) y Sierpiński (1955) . Esta caracterización permite determinar si un número es práctico examinando su factorización prima. Todo número par perfecto y toda potencia de dos también son números prácticos.

También se ha demostrado que los números prácticos son análogos a los números primos en muchas de sus propiedades. ^{[ 3 ]}

La caracterización original de Srinivasan (1948) establecía que un número práctico no puede ser un número deficiente , es decir, uno cuya suma de todos los divisores (incluidos 1 y él mismo) sea menor que el doble del número, a menos que la deficiencia sea uno. Si el conjunto ordenado de todos los divisores del número práctico${\displaystyle n}$es${\displaystyle {d_{1},d_{2},...,d_{j}}}$con${\displaystyle d_{1}=1}$y${\displaystyle d_{j}=n}$Entonces, la afirmación de Srinivasan puede expresarse mediante la desigualdad. $${\displaystyle 2n\leq 1+\sum _{i=1}^{j}d_{i}.}$$ En otras palabras, la secuencia ordenada de todos los divisores${\displaystyle {d_{1}<d_{2}<...<d_{j}}}$de un número práctico tiene que ser una subsecuencia completa .

Esta caracterización parcial fue extendida y completada por Stewart (1954) y Sierpiński (1955), quienes demostraron que es sencillo determinar si un número es práctico a partir de su factorización prima . Un entero positivo mayor que uno con factorización prima${\displaystyle n=p_{1}^{\alpha _{1}}...p_{k}^{\alpha _{k}}}$(con los números primos ordenados${\displaystyle p_{1}<p_{2}<\dots <p_{k}}$) es práctico si y solo si cada uno de sus factores primos${\displaystyle p_{i}}$es lo suficientemente pequeño para${\displaystyle p_{i}-1}$tener una representación como suma de divisores más pequeños. Para que esto sea cierto, el primer primo${\displaystyle p_{1}}$debe ser igual a 2 y, para cada i desde 2 hasta k , cada primo sucesivo ${\displaystyle p_{i}}$debe obedecer la desigualdad

${\displaystyle p_{i}\leq 1+\sigma (p_{1}^{\alpha _{1}}p_{2}^{\alpha _{2}}\dots p_{i-1}^{\alpha _{i-1}})=1+\sigma (p_{1}^{\alpha _{1}})\sigma (p_{2}^{\alpha _{2}})\dots \sigma (p_{i-1}^{\alpha _{i-1}})=1+\prod _{j=1}^{i-1}{\frac {p_{j}^{\alpha _{j}+1}-1}{p_{j}-1}},}$

dónde${\displaystyle \sigma (x)}$denota la suma de los divisores de x . Por ejemplo, 2 × 3² ^× 29 × 823 = 429606 es práctico, porque la desigualdad anterior se cumple para cada uno de sus factores primos: 3 ≤ σ(2) + 1 = 4, 29 ≤ σ(2 × 3² ⁾ + 1 = 40 y 823 ≤ σ(2 × 3² ^× 29) + 1 = 1171.

La condición antes mencionada es necesaria y suficiente para que un número sea práctico. En una dirección, esta condición es necesaria para poder representar${\displaystyle p_{i}-1}$como suma de divisores de${\displaystyle n}$, porque si la desigualdad no fuera cierta, incluso sumando todos los divisores más pequeños se obtendría una suma demasiado pequeña para alcanzar${\displaystyle p_{i}-1}$. En la otra dirección, la condición es suficiente, como se puede demostrar por inducción. Más fuertemente, si la factorización de${\displaystyle n}$satisface la condición anterior, entonces cualquier${\displaystyle m\leq \sigma (n)}$puede representarse como una suma de divisores de${\displaystyle n}$, mediante la siguiente secuencia de pasos: ^{[ 4 ]}

• Por inducción en${\displaystyle j\in [1,\alpha _{k}]}$, se puede demostrar que${\displaystyle p_{k}^{j}\leq 1+\sigma (n/p_{k}^{\alpha _{k}-(j-1)})}$. Por eso${\displaystyle p_{k}^{\alpha _{k}}\leq 1+\sigma (n/p_{k})}$.
• Dado que los componentes internos${\displaystyle [qp_{k}^{\alpha _{k}},qp_{k}^{\alpha _{k}}+\sigma (n/p_{k})]}$cubrir${\displaystyle [1,\sigma (n)]}$para${\displaystyle 1\leq q\leq \sigma (n/p_{k}^{\alpha _{k}})}$, hay tales${\displaystyle q}$y algunos${\displaystyle r\in [0,\sigma (n/p_{k})]}$de tal manera que${\displaystyle m=qp_{k}^{\alpha _{k}}+r}$.
• Desde${\displaystyle q\leq \sigma (n/p_{k}^{\alpha _{k}})}$y${\ Displaystyle n/p_ {k} ^ {\ alpha _ {k}}}$Se puede demostrar por inducción que es práctico, podemos encontrar una representación de q como suma de divisores de${\ Displaystyle n/p_ {k} ^ {\ alpha _ {k}}}$.
• Desde${\displaystyle r\leq \sigma (n/p_{k})}$y desde entonces${\displaystyle n/p_{k}}$Se puede demostrar por inducción que es práctico, podemos encontrar una representación de r como suma de divisores de${\displaystyle n/p_{k}}$.
• Los divisores que representan r , junto con${\ Displaystyle p_ {k} ^ {\ alpha _ {k}}}$veces cada uno de los divisores que representan q , juntos forman una representación de m como una suma de divisores de${\displaystyle n}$.

• El único número práctico impar es 1, porque si${\displaystyle n}$es un número impar mayor que 2, entonces 2 no puede expresarse como la suma de divisores distintos de${\displaystyle n}$. De manera más contundente, Srinivasan (1948) observa que, aparte de 1 y 2, cualquier número práctico es divisible por 4 o 6 (o ambos).
• El producto de dos números prácticos también es un número práctico. ^{[ 5 ]} De forma equivalente, el conjunto de todos los números prácticos es cerrado bajo la multiplicación. Más concretamente, el mínimo común múltiplo de dos números prácticos cualesquiera también es un número práctico.
• De la caracterización anterior de Stewart y Sierpiński se puede ver que si${\displaystyle n}$es un número práctico y${\displaystyle d}$es uno de sus divisores entonces${\displaystyle n\cdot d}$También debe ser un número práctico. Además, un número práctico multiplicado por combinaciones de potencias de cualquiera de sus divisores también es práctico.
• En el conjunto de todos los números prácticos hay un conjunto primitivo de números prácticos. Un número práctico primitivo es práctico y libre de cuadrados o práctico y, cuando se divide por cualquiera de sus factores primos cuyo exponente de factorización es mayor que 1, deja de ser práctico. La secuencia de números prácticos primitivos (secuencia A267124 en la OEIS ) comienza

• Cada entero positivo tiene un múltiplo práctico. Por ejemplo, para cada entero${\displaystyle n}$, sus múltiples${\displaystyle 2^{\lfloor \log _{2}n\rfloor }n}$es práctico. ^{[ 6 ]}
• Cada primo impar tiene un múltiplo práctico primitivo. Por ejemplo, para cada primo impar${\displaystyle p}$, sus múltiples${\displaystyle 2^{\lfloor \log _{2}p\rfloor }p}$es primitivo práctico. Esto se debe a que${\displaystyle 2^{\lfloor \log _{2}p\rfloor }p}$es práctico ^{[ 6 ]} pero cuando se divide por 2 ya no es práctico. Un buen ejemplo es un primo de Mersenne de la forma${\displaystyle 2^{p}-1}$Su múltiplo práctico primitivo es${\displaystyle 2^{p-1}(2^{p}-1)}$que es un número par perfecto .

Otros conjuntos notables de números enteros constan únicamente de números prácticos:

• De las propiedades anteriores con${\displaystyle n}$un número práctico y${\displaystyle d}$uno de sus divisores (es decir,${\displaystyle d|n}$) entonces${\displaystyle n\cdot d}$También debe ser un número práctico, por lo tanto, seis veces cada potencia de 3 debe ser un número práctico, al igual que seis veces cada potencia de 2.
• Toda potencia de dos es un número práctico. ^{[ 7 ]} Las potencias de dos satisfacen trivialmente la caracterización de los números prácticos en términos de sus factorizaciones primas: el único primo en sus factorizaciones, p ₁ , es igual a dos como se requiere.
• Todo número par perfecto es también un número práctico. ^{[ 7 ]} Esto se deduce del resultado de Leonhard Euler de que un número par perfecto debe tener la forma${\displaystyle 2^{k-1}(2^{k}-1)}$La parte impar de esta factorización es igual a la suma de los divisores de la parte par, por lo que todo factor primo impar de dicho número debe ser, como máximo, igual a la suma de los divisores de la parte par. Por lo tanto, este número debe cumplir con la caracterización de los números prácticos. Un argumento similar puede utilizarse para demostrar que un número par perfecto, al dividirse por 2, deja de ser práctico. En consecuencia, todo número par perfecto es también un número práctico primitivo.
• Cada primorial (el producto del primero)${\displaystyle i}$primos, para algunos${\displaystyle i}$) es práctico. ^{[ 7 ]} Para los dos primeros primoriales, dos y seis, esto es claro. Cada primorial sucesivo se forma multiplicando un número primo.${\displaystyle p_{i}}$por un primorial más pequeño que sea divisible tanto por dos como por el siguiente primo más pequeño,${\displaystyle p_{i-1}}$. Por el postulado de Bertrand ,${\displaystyle p_{i}<2p_{i-1}}$Por lo tanto, cada factor primo sucesivo en el primorial es menor que uno de los divisores del primorial anterior. Por inducción, se deduce que todo primorial satisface la caracterización de los números prácticos. Dado que un primorial es, por definición, libre de cuadrados, también es un número práctico primitivo.
• Generalizando los primordios, cualquier número que sea producto de potencias no nulas del primero${\displaystyle k}$Los números primos también deben ser prácticos. Esto incluye los números altamente compuestos de Ramanujan (números con más divisores que cualquier entero positivo menor), así como los números factoriales . ^{[ 7 ]}

Si${\displaystyle n}$es práctico, entonces cualquier número racional de la forma${\displaystyle m/n}$con${\displaystyle m<n}$puede representarse como una suma${\textstyle \sum d_{i}/n}$donde cada${\displaystyle d_{i}}$es un divisor distinto de${\displaystyle n}$Cada término de esta suma se simplifica a una fracción unitaria , por lo que dicha suma proporciona una representación de${\displaystyle m/n}$como una fracción egipcia . Por ejemplo, $${\displaystyle {\frac {13}{20}}={\frac {10}{20}}+{\frac {2}{20}}+{\frac {1}{20}}={\frac {1}{2}}+{\frac {1}{10}}+{\frac {1}{20}}.}$$

En su libro Liber Abaci ^{[ 2 ]} de 1202, Fibonacci enumera varios métodos para encontrar representaciones fraccionarias egipcias de un número racional. El primero consiste en comprobar si el número es ya una fracción unitaria, mientras que el segundo consiste en buscar una representación del numerador como suma de divisores del denominador, como se describió anteriormente. Este método solo tiene éxito garantizado para denominadores prácticos. Fibonacci proporciona tablas de estas representaciones para fracciones cuyos denominadores son los números prácticos 6, 8, 12, 20, 24, 60 y 100.

Vose (1985) demostró que cada número racional${\displaystyle x/y}$tiene una representación de fracción egipcia con${\displaystyle O({\sqrt {\log y}})}$términos. La demostración implica encontrar una secuencia de números prácticos.${\displaystyle n_{i}}$con la propiedad de que cada número menor que${\displaystyle n_{i}}$puede escribirse como una suma de${\displaystyle O({\sqrt {\log n_{i-1}}})}$divisores distintos de${\displaystyle n_{i}}$. Entonces,${\displaystyle i}$se elige de modo que${\displaystyle n_{i-1}<y<n_{i}}$, y${\displaystyle xn_{i}}$está dividido por${\displaystyle y}$cociente de donación${\displaystyle q}$y el resto${\displaystyle r}$De estas elecciones se deduce que${\displaystyle {\frac {x}{y}}={\frac {q}{n_{i}}}+{\frac {r}{yn_{i}}}}$. Expandiendo ambos numeradores del lado derecho de esta fórmula en sumas de divisores de${\displaystyle n_{i}}$da como resultado la representación de fracción egipcia deseada. Tenenbaum y Yokota (1990) utilizan una técnica similar que involucra una secuencia diferente de números prácticos para demostrar que cada número racional${\displaystyle x/y}$tiene una representación de fracción egipcia en la que el denominador más grande es${\displaystyle O(y\log ^{2}y/\log \log y)}$.

Según una conjetura de septiembre de 2015 de Zhi-Wei Sun , ^{[ 8 ]} todo número racional positivo tiene una representación de fracción egipcia en la que cada denominador es un número práctico. La conjetura fue demostrada por David Eppstein ( 2021 ) . 

Una de las razones del interés en los números prácticos es que muchas de sus propiedades son similares a las de los números primos . De hecho, se conocen teoremas análogos a la conjetura de Goldbach y a la conjetura de los primos gemelos para los números prácticos: todo entero par positivo es la suma de dos números prácticos, y existen infinitas ternas de números prácticos.${\displaystyle (x-2,x,x+2)}$. ^{[ 9 ]} Melfi también demostró ^{[ 10 ]} que existen infinitos números de Fibonacci prácticos (secuencia A124105 en la OEIS ) ; y Sanna ^{[ 11 ]} demostró que al menos${\displaystyle Cn/\log n}$del primero${\displaystyle n}$Los términos de cada secuencia de Lucas son números prácticos, donde${\displaystyle C>0}$es una constante y${\displaystyle n}$es suficientemente grande. Las cuestiones análogas de la existencia de infinitos primos de Fibonacci , o primos en una sucesión de Lucas, están abiertas. Hausman y Shapiro (1984) demostraron que siempre existe un número práctico en el intervalo${\displaystyle [x^{2},(x+1)^{2})]}$para cualquier real positivo${\displaystyle x}$, un resultado análogo a la conjetura de Legendre para los números primos. Además, para todo suficientemente grande${\displaystyle x}$, el intervalo${\displaystyle [xx^{0.4872},x]}$Contiene muchos números prácticos. ^{[ 12 ]}

Dejar${\displaystyle p(x)}$cuenta cuántos números prácticos hay como máximo${\displaystyle x}$. Margenstern (1991) conjeturó que${\displaystyle p(x)}$es asintótico a${\displaystyle cx/\log x}$por alguna constante${\displaystyle c}$, una fórmula que se asemeja al teorema de los números primos , reforzando la afirmación anterior de Erdős y Loxton (1979) de que los números prácticos tienen densidad cero en los enteros. Mejorando una estimación de Tenenbaum (1986) , Saias (1997) encontró que${\displaystyle p(x)}$tiene orden de magnitud${\displaystyle x/\log x}$. Weingartner (2015) demostró la conjetura de Margenstern. Tenemos ^{[ 13 ]}$${\displaystyle p(x)={\frac {cx}{\log x}}\left(1+O\!\left({\frac {1}{\log x}}\right)\right),}$$ dónde${\displaystyle c=1.33607...}$^{[ 14 ]} Por lo tanto, los números prácticos son aproximadamente un 33,6% más numerosos que los números primos. El valor exacto del factor constante${\displaystyle c}$está dado por ^{[ 15 ]}$${\displaystyle c={\frac {1}{1-e^{-\gamma }}}\sum _{n\ {\text{práctico}}}{\frac {1}{n}}{\Biggl (}\sum _{p\leq \sigma (n)+1}{\frac {\log p}{p-1}}-\log n{\Biggr )}\prod _{p\leq \sigma (n)+1}\left(1-{\frac {1}{p}}\right),}$$ dónde${\displaystyle \gamma }$es la constante de Euler-Mascheroni y${\displaystyle p}$Se ejecuta sobre números primos.

Al igual que con los números primos en una progresión aritmética, dados dos números naturales${\displaystyle a}$y${\displaystyle q}$, tenemos ^{[ 16 ]}$${\displaystyle |\{n\leq x:n{\text{ práctico y }}n\equiv a{\bmod {q}}\}|={\frac {c_{q,a}x}{\log x}}+O_{q}\left({\frac {x}{(\log x)^{2}}}\right).}$$ El factor constante${\displaystyle c_{q,a}}$es positivo si y solo si hay más de un número práctico congruente con${\displaystyle a{\bmod {q}}}$. Si${\displaystyle \gcd(q,a)=\gcd(q,b)}$, entonces${\displaystyle c_{q,a}=c_{q,b}}$Por ejemplo, alrededor del 38,26% de los números prácticos tienen un último dígito decimal de 0, mientras que los últimos dígitos 2, 4, 6 y 8 aparecen cada uno con la misma frecuencia relativa del 15,43%.

El teorema de Erdős-Kac implica que para un entero aleatorio grande${\displaystyle n}$, el número de factores primos de${\displaystyle n}$(contado con o sin multiplicidad) sigue una distribución normal aproximada con media${\displaystyle \log \log n}$y varianza${\displaystyle \log \log n}$. El resultado correspondiente para números prácticos ^{[ 17 ]} implica que para un número práctico aleatorio grande${\displaystyle n}$, el número de factores primos es aproximadamente normal con media${\displaystyle C\log \log n}$y varianza${\displaystyle V\log \log n}$, dónde${\displaystyle C=1/(1-e^{-\gamma })=2.280\ldots }$y${\displaystyle V=0.414\ldots }$. Es decir, la mayoría de los números enteros grandes${\displaystyle n}$tener sobre${\displaystyle \log \log n}$factores primos, mientras que la mayoría de los números prácticos grandes${\displaystyle n}$tener sobre${\displaystyle C\log \log n\approx 2.28\log \log n}$factores principales.

Como consecuencia, la mayoría de los números enteros grandes${\displaystyle n}$ tener${\displaystyle 2^{(1+o(1))\log \log n}=(\log n)^{0.693\ldots }}$divisores, mientras que la mayoría de los números prácticos grandes${\displaystyle n}$tener${\displaystyle 2^{(C+o(1))\log \log n}=(\log n)^{1.580\ldots }}$ divisores. En ambos casos, el número promedio de divisores es mucho mayor que el número típico de divisores: para enteros${\displaystyle n\leq x}$, el número promedio de divisores es aproximadamente${\displaystyle \log x}$mientras que para números prácticos${\displaystyle n\leq x}$Se trata de${\displaystyle (\log x)^{1.713\ldots }}$. ^{[ 18 ]}

El valor promedio de la función suma de divisores${\displaystyle \sigma (n)}$, para números enteros${\displaystyle n\leq x}$así como para números prácticos${\displaystyle n\leq x}$tiene orden de magnitud${\displaystyle x}$. ^{[ 19 ]}

• Tablas de números prácticos. Archivadas el 26/12/2017 en la Wayback Machine . Compiladas por Giuseppe Melfi.
• Números prácticos en PlanetMath .
• Weisstein, Eric W. , "Número práctico" , MathWorld