Elemento global

En la teoría de categorías , un elemento global de un objeto A de una categoría es un morfismo.

${\displaystyle h\colon 1\to A,}$

donde 1 es un objeto terminal de la categoría. ^{[ 1 ]} En términos generales, los elementos globales son una generalización de la noción de "elementos" de la categoría de conjuntos , y pueden usarse para importar conceptos de la teoría de conjuntos a la teoría de categorías. Sin embargo, a diferencia de un conjunto, un objeto de una categoría general no tiene por qué estar determinado por sus elementos globales (ni siquiera salvo isomorfismo ).

• En la categoría de conjuntos , los objetos terminales son los singletons, por lo que un elemento global de${\displaystyle A}$puede asimilarse a un elemento de${\displaystyle A}$en el sentido habitual (de la teoría de conjuntos). Más precisamente, existe un isomorfismo natural.${\displaystyle (1\to A)\cong A}$.

• Para ilustrar que la noción de elementos globales a veces puede recuperar los elementos reales de los objetos en una categoría concreta , en la categoría de conjuntos parcialmente ordenados , los objetos terminales son nuevamente los singletons, por lo que los elementos globales de un poset${\displaystyle P}$puede identificarse con los elementos de${\displaystyle P}$Precisamente, existe un isomorfismo natural.${\displaystyle (1\to P)\cong \operatorname {Olvidar} (P)}$dónde${\displaystyle \operatorname {Olvidar} }$es el functor olvidadizo de la categoría de posets a la categoría de conjuntos. Lo mismo ocurre en la categoría de espacios topológicos .

• De manera similar, en la categoría de categorías (pequeñas) , los objetos terminales son categorías unitarias (que tienen un solo objeto y un solo morfismo que es la identidad de ese objeto). En consecuencia, un elemento global de una categoría es simplemente un objeto de esa categoría. Más precisamente, existe un isomorfismo natural.${\displaystyle (1\to {\mathcal {C}})\cong \operatorname {Ob} ({\mathcal {C}})}$(dónde${\displaystyle \operatorname {Ob} }$es el functor de objetos ).

• Como ejemplo donde los elementos globales no recuperan elementos de conjuntos, en la categoría de grupos , los objetos terminales son grupos cero . Para cualquier grupo${\displaystyle G}$, hay un morfismo único${\displaystyle 1\to G}$(mapear la identidad a la identidad de${\displaystyle G}$). De manera más general, en cualquier categoría con un objeto cero (como la categoría de grupos abelianos o la categoría de espacios vectoriales sobre un cuerpo), cada objeto tiene un elemento global único.

• En la categoría de grafos , los objetos terminales son grafos con un solo vértice y un solo bucle en ese vértice, ^{[ 2 ]} de donde los elementos globales de un grafo son sus bucles.

• En una sobrecategoría${\displaystyle {\mathcal {C}}/B}$, el objeto${\displaystyle B{\overset {\operatorname {id} }{\to }}B}$es terminal. Los elementos globales de un objeto${\displaystyle A{\overset {f}{\to }}B}$son las secciones de${\displaystyle f}$.

En un topos elemental, los elementos globales del clasificador de subobjetos forman un álgebra de Heyting cuando se ordenan por inclusión de los subobjetos correspondientes del objeto terminal. ^{[ 3 ]} Por ejemplo, Grph es un topos, cuyo clasificador de subobjetos Ω es una camarilla dirigida de dos vértices con un bucle propio adicional (es decir, cinco aristas, tres de las cuales son bucles propios y, por lo tanto, los elementos globales de Ω ). La lógica interna de Grph se basa, por lo tanto, en el álgebra de Heyting de tres elementos como sus valores de verdad .

• Categoría bien definida