Número de Giuga

Un número de Giuga es un número compuesto n tal que para cada uno de sus factores primos distintos p _i tenemos , o equivalentemente tal que para cada uno de sus factores primos distintos p _i tenemos . ${\displaystyle p_{i}|\left({n \sobre p_{i}}-1\right)}$ ${\displaystyle p_{i}^{2}|(n-p_{i})}$

Los números de Giuga reciben su nombre del matemático Giuseppe Giuga y están relacionados con su conjetura sobre la primalidad.

La definición alternativa de un número de Giuga debido a Takashi Agoh es: un número compuesto n es un número de Giuga si y solo si la congruencia

${\displaystyle nB_{\varphi (n)}\equiv -1{\pmod {n}}}$

es cierto, donde B es un número de Bernoulli y es la función totiente de Euler . ${\displaystyle \varphi (n)}$

Una formulación equivalente debida a Giuseppe Giuga es: un número compuesto n es un número de Giuga si y solo si la congruencia

${\displaystyle \sum_{i=1}^{n-1}i^{\varphi (n)}\equiv -1{\pmod {n}}}$

y si y solo si

${\displaystyle \sum _{p|n}{\frac {1}{p}}-\prod _{p|n}{\frac {1}{p}}\in \mathbb {N} .}$

Todos los números de Giuga conocidos n satisfacen de hecho la condición más fuerte

${\displaystyle \sum_{p|n}{\frac {1}{p}}-\prod_{p|n}{\frac {1}{p}}=1.}$

La secuencia de números de Giuga comienza

30, 858, 1722, 66198, 2214408306, 24423128562, 432749205173838, … (secuencia A007850 en la OEIS ).

Por ejemplo, 30 es un número de Giuga ya que sus factores primos son 2, 3 y 5, y podemos comprobar que

• 30/2 - 1 = 14, que es divisible por 2,
• 30/3 - 1 = 9, que es 3 al cuadrado, y
• 30/5 - 1 = 5, el tercer factor primo.

Los factores primos de un número de Giuga deben ser distintos. Si divide a , entonces se deduce que , donde es divisible por . Por lo tanto, no sería divisible por , y por lo tanto no sería un número de Giuga. $estilo de visualización p^{2}}$${\estilo de visualización n}$${\displaystyle {n \sobre p}-1=m-1}$${\displaystyle m=n/p}$${\estilo de visualización p}$${\estilo de visualización m-1}$${\estilo de visualización p}$${\estilo de visualización n}$

Por lo tanto, sólo los números enteros sin cuadrados pueden ser números de Giuga. Por ejemplo, los factores de 60 son 2, 2, 3 y 5, y 60/2 - 1 = 29, que no es divisible por 2. Por lo tanto, 60 no es un número de Giuga.

Esto descarta los cuadrados de los primos, pero los semiprimos tampoco pueden ser números de Giuga, ya que si , con primos, entonces , por lo tanto no dividirá a , y por lo tanto no es un número de Giuga. $estilo de visualización n=p_{1}p_{2}}$$estilo de visualización p_{1}<p_{2}}$${\displaystyle {n \sobre p_{2}}-1=p_{1}-1<p_{2}}$$estilo de visualización p_{2}$${\displaystyle {n \sobre p_{2}}-1}$${\estilo de visualización n}$

Todos los números de Giuga conocidos son pares. Si existe un número de Giuga impar, debe ser el producto de al menos 14 primos . No se sabe si existen infinitos números de Giuga.

Paolo P. Lava (2009) ha conjeturado que los números de Giuga son las soluciones de la ecuación diferencial n' = n+1 , donde n' es la derivada aritmética de n . (Para números libres de cuadrados , , entonces n' = n+1 es simplemente la última ecuación en la sección anterior Definiciones , multiplicada por n .) ${\displaystyle n=\prod_{i}{p_{i}}}$${\displaystyle n'=\sum _{i}{\frac {n}{p_{i}}}}$

José Mª Grau y Antonio Oller-Marcén han demostrado que un entero n es un número de Giuga si y sólo si satisface n' = an + 1 para algún entero a > 0, donde n' es la derivada aritmética de n . (De nuevo, n' = an + 1 es idéntica a la tercera ecuación de Definiciones , multiplicada por n .)

• Número de Carmichael
• Número pseudoperfecto primario
• El problema de Znám

• Weisstein, Eric W. "Número de Giuga". MathWorld .
• Borwein, D. ; Borwein, JM ; Borwein, PB ; Girgensohn, R. (1996). "Conjetura de Giuga sobre la primalidad" (PDF) . American Mathematical Monthly . 103 (1): 40–50. CiteSeerX  10.1.1.586.1424 . doi :10.2307/2975213. JSTOR  2975213. Zbl  0860.11003. Archivado desde el original (PDF) el 2005-05-31.
• Balzarotti, Giorgio; Lava, Paolo P. (2010). Centotre curiosità matematiche . Milán: Hoepli Editore. pag. 129.ISBN​ 978-88-203-4556-3.