Flujo geométrico

En el campo matemático de la geometría diferencial , un flujo geométrico , también llamado ecuación de evolución geométrica , es un tipo de ecuación diferencial parcial para un objeto geométrico como una métrica de Riemann o una incrustación . No es un término con un significado formal, pero normalmente se entiende que se refiere a ecuaciones diferenciales parciales parabólicas .

Ciertos flujos geométricos surgen como el flujo de gradiente asociado con un funcional en una variedad que tiene una interpretación geométrica, generalmente asociada con alguna curvatura extrínseca o intrínseca . Dichos flujos están relacionados fundamentalmente con el cálculo de variaciones e incluyen el flujo de curvatura media y el flujo de Yamabe .

Los flujos geométricos extrínsecos son flujos en subvariedades embebidas o, más generalmente, subvariedades sumergidas . En general, modifican tanto la métrica de Riemann como la inmersión.

• Flujo de curvatura media , como en películas de jabón ; los puntos críticos son superficies mínimas
• Flujo de acortamiento de curva , el caso unidimensional del flujo de curvatura media
• Flujo de Willmore , como en las eversiones minimax de esferas
• Flujo de curvatura media inversa

Los flujos geométricos intrínsecos son flujos en la métrica de Riemann , independientes de cualquier incrustación o inmersión.

• Flujo de Ricci , como en la solución de la conjetura de Poincaré y la prueba del teorema de uniformización de Richard S. Hamilton
• Flujo de Calabi , un flujo para las métricas de Kähler
• Flujo de Yamabe

Las clases importantes de flujos son los flujos de curvatura , los flujos variacionales (que extreman algunas funciones) y los flujos que surgen como soluciones de ecuaciones diferenciales parciales parabólicas . Un flujo dado admite con frecuencia todas estas interpretaciones, como se indica a continuación.

Dado un operador elíptico, la ecuación diferencial parcial parabólica produce un flujo, y los estados estacionarios para el flujo son soluciones de la ecuación diferencial parcial elíptica.${\estilo de visualización L,}$${\displaystyle u_{t}=Lu}$ ${\displaystyle Lu=0.}$

Si la ecuación es la ecuación de Euler-Lagrange para algún funcional , entonces el flujo tiene una interpretación variacional ya que el flujo de gradiente y los estados estacionarios del flujo corresponden a puntos críticos del funcional. ${\displaystyle Lu=0}$${\estilo de visualización F,}$${\estilo de visualización F,}$

En el contexto de los flujos geométricos, lo funcional es a menudo la norma de alguna curvatura. $Estilo de visualización L2$

Por lo tanto, dada una curvatura se puede definir la funcional que tiene la ecuación de Euler-Lagrange para algún operador elíptico y PDE parabólica asociada.${\estilo de visualización K,}$${\displaystyle F(K)=\|K\|_{2}:=\left(\int _{M}K^{2}\right)^{1/2},}$${\displaystyle Lu=0}$${\estilo de visualización L,}$${\displaystyle u_{t}=Lu.}$

De esta manera surgen el flujo de Ricci , el flujo de Calabi y el flujo de Yamabe (en algunos casos con normalizaciones).

Los flujos de curvatura pueden o no conservar el volumen (el flujo de Calabi lo hace, mientras que el flujo de Ricci no), y si no lo hace, el flujo puede simplemente contraer o aumentar la variedad, en lugar de regularizar la métrica. Por lo tanto, a menudo se normaliza el flujo, por ejemplo, fijando el volumen.

• Flujo de calor del mapa armónico
• Flujo que acorta la curva

• Bakas, Ioannis (14 de octubre de 2005) [28 de julio de 2005 (v1)]. "La estructura algebraica de flujos geométricos en dos dimensiones". Journal of High Energy Physics . 2005 (10): 038. arXiv : hep-th/0507284 . Bibcode :2005JHEP...10..038B. doi :10.1088/1126-6708/2005/10/038. S2CID  15924056.

• Bakas, Ioannis (2007). "Ecuaciones de grupos de renormalización y flujos geométricos". arXiv : hep-th/0702034 .