Flujo de Calabi

En los campos matemáticos de la geometría diferencial y el análisis geométrico , el flujo de Calabi es un flujo geométrico que deforma una métrica de Kähler en una variedad compleja . Precisamente, dada una variedad de Kähler $M$ , el flujo de Calabi viene dado por:

{\frac {\partial g_{\alpha {\overline {\beta }}}}{\partial t}}={\frac {\partial ^{2}R^{g}}{\partial z^{\alpha }\partial {\overline {z}}^{\beta }}}

,

donde $g$ es una aplicación de un intervalo abierto en la colección de todas las métricas de Kähler en $M$ , $R g$ es la curvatura escalar de las métricas de Kähler individuales, y los índices $α, β$ corresponden a coordenadas holomorfas arbitrarias $z α$ . Este es un flujo geométrico de cuarto orden, ya que el lado derecho de la ecuación involucra cuartas derivadas de $g$ .

El flujo de Calabi fue introducido por Eugenio Calabi en 1982 como una sugerencia para la construcción de métricas extremas de Kähler , que también se introdujeron en el mismo artículo. Es el flujo de gradiente de laFuncional de Calabi ; las métricas extremas de Kähler son lospuntos críticosdel funcional de Calabi.

Piotr Chruściel descubrió un teorema de convergencia para el flujo de Calabi en el caso de que $M$ tenga una dimensión compleja igual a uno. Xiuxiong Chen y otros han realizado varios estudios adicionales sobre el flujo, aunque a fecha de 2020 todavía no se comprende bien el flujo.

Referencias

Eugenio Calabi. Métricas extremas de Kähler. Ann. of Math. Stud. 102 (1982), págs. 259-290. Seminario sobre geometría diferencial. Princeton University Press (PUP), Princeton, NJ
E. Calabi y XX Chen. El espacio de las métricas de Kähler. II. J. Differential Geom. 61 (2002), núm. 2, 173–193.
XX Chen y WY He. Sobre el flujo de Calabi. Amer. J. Math. 130 (2008), núm. 2, 539–570.
Piotr T. Chruściel. Existencia semiglobal y convergencia de soluciones de la ecuación de Robinson-Trautman (Calabi bidimensional). Comm. Math. Phys. 137 (1991), núm. 2, 289–313.