Versión Minimax

En geometría , las eversiones minimax son una clase de eversiones de esferas , construidas mediante el uso de modelos intermedios .

Es un método variacional y consiste en homotopías especiales (son los caminos más cortos con respecto a la energía de Willmore ); a diferencia de las ondulaciones de Thurston, que son genéricas.

El método original de modelos intermedios no era óptimo: las homotopías regulares pasaban por los modelos intermedios, pero el camino desde la esfera redonda hasta el modelo intermedio se construía manualmente y no era un ascenso/descenso de gradiente.

Francis y Morin denominan eversiones de bolsa de tabaco a través de modelos intermedios . ^{[ 1 ]}

Un modelo intermedio es una inmersión de la esfera.${\displaystyle S^{2}}$en${\displaystyle \mathbb {R} ^{3}}$, que se denomina así porque es el punto medio de una eversión de la esfera . Esta clase de eversiones tiene simetría temporal: la primera mitad de la homotopía regular va de la esfera redonda estándar al modelo intermedio, y la segunda mitad (que va del modelo intermedio a la esfera invertida) es el mismo proceso a la inversa.

Rob Kusner propuso eversiones óptimas utilizando la energía de Willmore en el espacio de todas las inmersiones de la esfera.${\displaystyle S^{2}}$en${\displaystyle \mathbf {R} ^{3}}$La esfera redonda y la esfera redonda invertida son los únicos mínimos globales para la energía de Willmore, y una eversión minimax es un camino que los conecta pasando por un punto de silla (como viajar entre dos valles a través de un paso de montaña). ^{[ 2 ]}

Los modelos intermedios de Kusner son puntos de silla para la energía de Willmore, que surgen (según un teorema de Bryant) de ciertas superficies mínimas completas en el espacio tridimensional; las eversiones minimax consisten en un ascenso de gradiente desde la esfera redonda hasta el modelo intermedio, y luego un descenso de gradiente hacia abajo (el descenso de gradiente para la energía de Willmore se denomina flujo de Willmore ). De forma más simétrica, se parte del modelo intermedio; se empuja en una dirección y se sigue el flujo de Willmore hacia abajo hasta una esfera redonda; se empuja en la dirección opuesta y se sigue el flujo de Willmore hacia abajo hasta la esfera redonda invertida.

Existen dos familias de modelos intermedios (esta observación se debe a Francis y Morin):

• orden impar: generalización de la superficie de Boy : simetría triple, quíntuple, etc.; el modelo intermedio es un plano proyectivo doblemente cubierto (genéricamente una esfera inmersa 2-1).
• orden par: generalización de la superficie de Morin : simetría de 2x, 4x, etc.; el modelo intermedio es una esfera inmersa genéricamente 1-1, y una torsión de media simetría intercambia las láminas de la esfera.

La primera eversión esférica explícita fue realizada por Shapiro y Phillips a principios de la década de 1960, utilizando la superficie de Boy como modelo intermedio. Posteriormente, Morin descubrió la superficie de Morin y la utilizó para construir otras eversiones esféricas. Kusner concibió las eversiones minimax a principios de la década de 1980: detalles históricos .

• Energía de flexión y las eversiones minimax (en "El Optiverso" y otras eversiones de la esfera, de John M. Sullivan )